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DisciplinaProbabilidade e Estatística11.228 materiais110.638 seguidores
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adesão em 22 corpos-de-prova de liga U-700. A
carga no ponto de falha de corpo-de-prova é dada a seguir (em
megapascal).
19.8 10.1 14.9 7.5 15.4 15.4 15.4 18.5 7.9 12.7 11.9 11.4
11.4 14.1 17.6 16.7 15.8 19.5 8.8 13.6 11.9 11.411.4 14.1 17.6 16.7 15.8 19.5 8.8 13.6 11.9 11.4
A carga média nessa amostra é igual a 13.71 megapascal e o
desvio-padrão é de 3.55 megapascal.
A suspeita é de que a carga média no ponto de falha para este
tipo de liga seja diferente de 15.0 megapascal.
Os dados desses testes confirmam essa suspeita?
*vol. II, n. 4, pp. 275-281, 1989
Exemplo 1:
Parâmetro:
µ = carga média no ponto de falha (em megapascal).
H0: µ = 15.0
Ha: µ \u2260 15.0
\u3b1 = 0.02
Estatística de teste: 13.71 15.00 1.29 1.700.76/ 3.55 / 22
o
obs
xT
s n
µ\u2212 \u2212 \u2212
= = = = \u2212
Dados amostrais: , s=3.55 e n=2213.71x =
Região de 
Rejeição: 
2.518obsT < \u2212
2.518obsT >
OU
2.518-2.518
0.01 0.01
t21 g.l. 
Exemplo 1:
Como o valor de Tobs não pertence à região de rejeição 
(2.518 < -1.70 < -2.518), então não se rejeita H0 ao nível de 2% de 
significância.
Conclusão em termos do problema:
\u201cAo nível de significância de 2%, não há evidências estatísticas\u201cAo nível de significância de 2%, não há evidências estatísticas
suficientes a favor da hipótese de que a carga média no ponto de
falha da liga U-700 seja diferente de 15.0 megapascal\u201d
Probabilidade de Significância (valor P)
Lembrando que 
o nível de significância (\u3b1) é o valor máximo pré-
fixado para a probabilidade de Erro Tipo I;
o valor de \u3b1 é arbitrário e definido pelo pesquisador.
De posse dos dados amostrais, podemos perguntar: 
Qual é a probabilidade de errarmos ao rejeitar a 
hipótese nula com esses dados amostrais ?
Essa probabilidade é o valor P do teste 
Probabilidade de Significância (valor P)
É a probabilidade de errar ao decidir pela rejeição da 
hipótese nula com base nos dados observados.
Se valor p < \u3b1\u2192 Rejeita-se H0 ao nível de significância \u3b1
Se valor p \u2265 \u3b1\u2192 Não se rejeita H0 ao nível de 
significância \u3b1
Método do valor P
Raciocínio no qual se baseia o método do valor p
Se o valor p é \u201cpequeno\u201d, a probabilidade de cometermos um 
erro ao rejeitarmos H0 é pequena. 
Então, devemos rejeitar H0. 
Se o valor p é \u201cgrande\u201d, a probabilidade de cometermos um Se o valor p é \u201cgrande\u201d, a probabilidade de cometermos um 
erro ao rejeitarmos H0 é grande. 
Então, não devemos rejeitar H0. 
\u201cpequeno\u201d
\u201cgrande\u201d
\u3b1
em comparação com
Como calcular o valor p de 
um teste de hipóteses?
O valor p é a probabilidade de a estatística de 
teste ter valores mais \u201cextremos\u201d do que seu 
valor calculado com os dados amostrais, 
supondo H0 verdadeira.
Exemplo 1 (continuação):
H0: µ = 15.0
Ha: µ \u2260 15.0
Valor observado para a estatística de teste: 1.70obsT = \u2212
\u3b1 = 0.02
Valores \u201cmais extremos\u201d do que TValores \u201cmais extremos\u201d do que Tobs
-1.70 1.70
menores maiores
1.70-1.70
t21 g.l. 
Valor p = P[t21 < -1.70] + P[t21 > 1.70]
1.70
P[t21 > 1.323] = 0.10
P[t21 > 1.721] = 0.05
0.05< P[t21 > 1.70] < 0.10
Por simetria, 
P[t21 < -1.70] = P[t21 > 1.70] 
0.05< P[t21 < -1.70] < 0.10
1.70-1.70
t21 g.l. 
Exemplo 1 (continuação):
H0: µ = 15.0
Ha: µ \u2260 15.0
Valor observado para a estatística de teste: 1.70obsT = \u2212
\u3b1 = 0.02
Valores \u201cmais extremos\u201d do que Tobs t21 g.l. Valores \u201cmais extremos\u201d do que Tobs
-1.70 1.70
menores maiores
1.70-1.70
< 0.10 < 0.10
t21 g.l. 
Valor p = P[t21 < -1.70] + P[t21 > 1.70]
= 2xP[t21 > 1.70]
0.10 < Valor p < 0.20, pois 0.05< P[t21 < -1.70] < 0.10
Exemplo 1:
Como o valor p é maior do que o valor do nível de significância 
adotado, então não se rejeita H0 ao nível de 2% de significância.
Conclusão em termos do problema:
Exemplo 1 (continuação):
\u201cAo nível de significância de 2%, não há evidências estatísticas
suficientes a favor da hipótese de que a carga média no ponto de
falha da liga U-700 seja diferente de 15.0 megapascal\u201d (0.10 <
valor p < 0.20)\u201d.
Teste de Hipóteses Unilateral 
H0: µ = 15.0
Ha: µ < 15.0
\u3b1 = 0.05
13.71 15.00 1.29ox µ\u2212 \u2212 \u2212
= = = = \u2212
Dados amostrais: , s=3.55 e n=2213.71x =
Estatística de teste: 13.71 15.00 1.29 1.700.76/ 3.55 / 22
o
obs
xT
s n
µ\u2212 \u2212 \u2212
= = = = \u2212
Região de 
Rejeição: 1.721obsT < \u2212
-1.721
0.05
t21 g.l. 
Teste de Hipóteses Unilateral 
H0: µ = 15.0
Ha: µ < 15.0
\u3b1 = 0.05
Valor observado para a estatística de teste: 1.70obsT = \u2212
Valores \u201cmais extremos\u201d do que Tobs
-1.70
Valor 
p
t21 g.l. 
Valores \u201cmais extremos\u201d do que Tobs
-1.70
menores
Valor p = P[t21 < -1.70] 
0.05 < Valor p < 0.10, pois 0.05< P[t21 < -1.70] < 0.10
Como o valor p é maior do que o valor do nível de significância 
adotado, então não se rejeita H0 ao nível de 5% de significância.
Conclusão em termos do problema:
Exemplo 1: (continuação, teste unilateral):
\u201cAo nível de significância de 5%, não há evidências estatísticas
suficientes a favor da hipótese de que a carga média no ponto de
falha da liga U-700 seja menor do que 15.0 megapascal\u201d (0.05 <
valor p < 0.10)\u201d.
De maneira geral
Hipóteses Rejeita-se H0(ao n.s = \u3b1)
Região de Rejeição 
de H0
Valor p
H0: µ = µ0
HA: µ< µ0
P( T(n-1) < Tobs ));1( \u3b1\u2212\u2212< ntTobs
ns
xT oobs
µ\u2212
=
H0: µ = µ0
HA: µ > µ0
P( T(n-1) > Tobs )
H0: µ = µ0
HA: µ \u2260 µ0
2 x P(T(n-1) > |Tobs |)
);1( \u3b1\u2212> ntTobs
)2;1(
\u3b1
\u2212
\u2212<
n
tTobs
)2;1(
\u3b1
\u2212
>
n
tTobs
ou
Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses
Intervalos de Confiança podem ser usados para se 
fazer Testes de Hipóteses Bilaterais.
H0: µ = µ00 0
HA: µ \u2260 µ0
A região de não-rejeição de um teste bilateral sobre µ é o 
intervalo de confiança para µ.
( 1; )
2
n
obsT t \u3b1
\u2212
< \u2212
)2;1(
\u3b1
\u2212
>
n
tTobs
OU
 
( 1; ) ( 1; )
2 2
 
n n
obst T t\u3b1 \u3b1
\u2212 \u2212
\u2212 < <
Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses
Região de Rejeição Região de Não-Rejeição
 
oxt t
µ\u2212
\u2212 < <
)2;1( \u2212n
Se um intervalo com 100(1-\u3b1)% de confiança é usado para
se fazer um teste bilateral, o nível de significância associado
ao teste é \u3b1%.
( 1; ) ( 1; )
2 2
 
/
o
n n
x
t t
s n
\u3b1 \u3b1
µ
\u2212 \u2212
\u2212
\u2212 < <
0( 1; ) ( 1; )
2 2
/ /
n n
x t s n x t s n\u3b1 \u3b1µ
\u2212 \u2212
\u2212 \u22c5 < < \u2212 \u22c5
Como usar um Intervalo de Confiança 
para fazer um Teste de Hipóteses ?
NÃO
rejeitamos H0 ao nível 
de \u3b1% de significância
H0: µ = µ0
HA: µ \u2260 µ0
O intervalo de 100(1-\u3b1)% de 
confiança para µ contém o 
valor µ0 ?
NÃO
SIM
de \u3b1% de significância
não rejeitamos H0 ao 
nível de \u3b1% de 
significância
Exemplo: energia de impacto em placas de aço A238
O teste Charpy V-notch (CVN) mede a energia de impacto (em J) e
é frequentemente usado para determinar se um material
experimenta ou não uma transição dúctil-frágil com um decréscimo
de temperatura.
Em um experimento com 10 corpos-de-prova de aço A238,
cortados a 60o C, a energia de impacto média foi de 64,46 J e o
desvio-padrão foi de 1.07 J.
Considerando que energia de impacto seja normalmente 
distribuída, a energia de impacto média nas placas de aço A238 
está entre 63.84 J e 65.08 J, com 95% de confiança.
Supondo que uma norma de qualidade determine que a energia de 
impacto média seja de 64.0 J. Os resultados do experimento 
mostram evidências estatísticas contra a hipótese de que as placas 
de aço do lote atendem à norma de qualidade?
Nível de confiança =0.95 \ufffd \u3b1=0.05
Exemplo: energia de impacto em placas de aço A238
[ ]95% 63.84 ; 65.08 ICµ =
H0: µ = 65.0 (atende)
µHA: µ \u2260 65.0 (não atende)
Como o intervalo de 95% de confiança contém o valor de µ sob 
H0, não podemos rejeitá-la ao nível de 5% de significância
Ao nível de 5% de significância, não há evidências estatísticas 
suficientes contra a hipótese de que as placas de aço do lote 
atendam à norma de qualidade.
Teste de Hipóteses para a Proporção
Teste de Hipóteses para a Variância 
de uma População Normal