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Disciplina:Probabilidade e Estatística6.775 materiais99.577 seguidores
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adesão em 22 corpos-de-prova de liga U-700. A

carga no ponto de falha de corpo-de-prova é dada a seguir (em
megapascal).

19.8 10.1 14.9 7.5 15.4 15.4 15.4 18.5 7.9 12.7 11.9 11.4
11.4 14.1 17.6 16.7 15.8 19.5 8.8 13.6 11.9 11.411.4 14.1 17.6 16.7 15.8 19.5 8.8 13.6 11.9 11.4

A carga média nessa amostra é igual a 13.71 megapascal e o
desvio-padrão é de 3.55 megapascal.

A suspeita é de que a carga média no ponto de falha para este
tipo de liga seja diferente de 15.0 megapascal.

Os dados desses testes confirmam essa suspeita?

*vol. II, n. 4, pp. 275-281, 1989

Exemplo 1:

Parâmetro:
µ = carga média no ponto de falha (em megapascal).

H0: µ = 15.0
Ha: µ ≠ 15.0

α = 0.02

Estatística de teste: 13.71 15.00 1.29 1.700.76/ 3.55 / 22
o

obs
xT

s n

µ− − −
= = = = −

Dados amostrais: , s=3.55 e n=2213.71x =

Região de
Rejeição:

2.518obsT < −

2.518obsT >
OU

2.518-2.518

0.01 0.01

t21 g.l.

Exemplo 1:
Como o valor de Tobs não pertence à região de rejeição

(2.518 < -1.70 < -2.518), então não se rejeita H0 ao nível de 2% de
significância.

Conclusão em termos do problema:

“Ao nível de significância de 2%, não há evidências estatísticas“Ao nível de significância de 2%, não há evidências estatísticas
suficientes a favor da hipótese de que a carga média no ponto de
falha da liga U-700 seja diferente de 15.0 megapascal”

Probabilidade de Significância (valor P)
Lembrando que

o nível de significância (α) é o valor máximo pré-
fixado para a probabilidade de Erro Tipo I;

o valor de α é arbitrário e definido pelo pesquisador.

De posse dos dados amostrais, podemos perguntar:

Qual é a probabilidade de errarmos ao rejeitar a
hipótese nula com esses dados amostrais ?

Essa probabilidade é o valor P do teste

Probabilidade de Significância (valor P)
É a probabilidade de errar ao decidir pela rejeição da

hipótese nula com base nos dados observados.

Se valor p < α→ Rejeita-se H0 ao nível de significância α

Se valor p ≥ α→ Não se rejeita H0 ao nível de
significância α

Método do valor P

Raciocínio no qual se baseia o método do valor p

Se o valor p é “pequeno”, a probabilidade de cometermos um
erro ao rejeitarmos H0 é pequena.
Então, devemos rejeitar H0.

Se o valor p é “grande”, a probabilidade de cometermos um Se o valor p é “grande”, a probabilidade de cometermos um
erro ao rejeitarmos H0 é grande.

Então, não devemos rejeitar H0.

“pequeno”
“grande”

α
em comparação com

Como calcular o valor p de
um teste de hipóteses?

O valor p é a probabilidade de a estatística de
teste ter valores mais “extremos” do que seu

valor calculado com os dados amostrais,
supondo H0 verdadeira.

Exemplo 1 (continuação):

H0: µ = 15.0
Ha: µ ≠ 15.0

Valor observado para a estatística de teste: 1.70obsT = −

α = 0.02

Valores “mais extremos” do que TValores “mais extremos” do que Tobs

-1.70 1.70

menores maiores

1.70-1.70

t21 g.l.

Valor p = P[t21 < -1.70] + P[t21 > 1.70]

1.70

P[t21 > 1.323] = 0.10
P[t21 > 1.721] = 0.05

0.05< P[t21 > 1.70] < 0.10

Por simetria,
P[t21 < -1.70] = P[t21 > 1.70]

0.05< P[t21 < -1.70] < 0.10
1.70-1.70

t21 g.l.

Exemplo 1 (continuação):

H0: µ = 15.0
Ha: µ ≠ 15.0

Valor observado para a estatística de teste: 1.70obsT = −

α = 0.02

Valores “mais extremos” do que Tobs t21 g.l. Valores “mais extremos” do que Tobs

-1.70 1.70

menores maiores
1.70-1.70

< 0.10 < 0.10

t21 g.l.

Valor p = P[t21 < -1.70] + P[t21 > 1.70]
= 2xP[t21 > 1.70]

0.10 < Valor p < 0.20, pois 0.05< P[t21 < -1.70] < 0.10

Exemplo 1:

Como o valor p é maior do que o valor do nível de significância
adotado, então não se rejeita H0 ao nível de 2% de significância.

Conclusão em termos do problema:

Exemplo 1 (continuação):

“Ao nível de significância de 2%, não há evidências estatísticas
suficientes a favor da hipótese de que a carga média no ponto de
falha da liga U-700 seja diferente de 15.0 megapascal” (0.10 <
valor p < 0.20)”.

Teste de Hipóteses Unilateral

H0: µ = 15.0
Ha: µ < 15.0

α = 0.05

13.71 15.00 1.29ox µ− − −
= = = = −

Dados amostrais: , s=3.55 e n=2213.71x =

Estatística de teste: 13.71 15.00 1.29 1.700.76/ 3.55 / 22
o

obs
xT

s n

µ− − −
= = = = −

Região de
Rejeição: 1.721obsT < −

-1.721

0.05

t21 g.l.

Teste de Hipóteses Unilateral

H0: µ = 15.0
Ha: µ < 15.0

α = 0.05

Valor observado para a estatística de teste: 1.70obsT = −

Valores “mais extremos” do que Tobs

-1.70

Valor
p

t21 g.l.

Valores “mais extremos” do que Tobs
-1.70

menores

Valor p = P[t21 < -1.70]
0.05 < Valor p < 0.10, pois 0.05< P[t21 < -1.70] < 0.10

Como o valor p é maior do que o valor do nível de significância
adotado, então não se rejeita H0 ao nível de 5% de significância.

Conclusão em termos do problema:

Exemplo 1: (continuação, teste unilateral):

“Ao nível de significância de 5%, não há evidências estatísticas
suficientes a favor da hipótese de que a carga média no ponto de
falha da liga U-700 seja menor do que 15.0 megapascal” (0.05 <
valor p < 0.10)”.

De maneira geral

Hipóteses Rejeita-se H0(ao n.s = α)
Região de Rejeição

de H0
Valor p

H0: µ = µ0
HA: µ< µ0

P( T(n-1) < Tobs ));1( α−−< ntTobs

ns

xT oobs
µ−

=

H0: µ = µ0
HA: µ > µ0

P( T(n-1) > Tobs )

H0: µ = µ0
HA: µ ≠ µ0

2 x P(T(n-1) > |Tobs |)

);1( α−> ntTobs

)2;1(
α

−

−<
n

tTobs

)2;1(
α

−

>
n

tTobs
ou

Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses

Intervalos de Confiança podem ser usados para se
fazer Testes de Hipóteses Bilaterais.

H0: µ = µ00 0
HA: µ ≠ µ0

A região de não-rejeição de um teste bilateral sobre µ é o
intervalo de confiança para µ.

( 1; )
2

n
obsT t α

−

< −

)2;1(
α

−

>
n

tTobs
OU

( 1; ) ( 1; )
2 2

n n
obst T tα α

− −

− < <

Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses

Região de Rejeição Região de Não-Rejeição

oxt t
µ−

− < <
)2;1( −n

Se um intervalo com 100(1-α)% de confiança é usado para
se fazer um teste bilateral, o nível de significância associado
ao teste é α%.

( 1; ) ( 1; )
2 2

/
o

n n

x
t t

s n
α α

µ
− −

−

− < <

0( 1; ) ( 1; )
2 2

/ /
n n

x t s n x t s nα αµ
− −

− ⋅ < < − ⋅

Como usar um Intervalo de Confiança
para fazer um Teste de Hipóteses ?

NÃO
rejeitamos H0 ao nível

de α% de significância

H0: µ = µ0
HA: µ ≠ µ0

O intervalo de 100(1-α)% de
confiança para µ contém o

valor µ0 ?

NÃO

SIM

de α% de significância

não rejeitamos H0 ao
nível de α% de

significância

Exemplo: energia de impacto em placas de aço A238

O teste Charpy V-notch (CVN) mede a energia de impacto (em J) e
é frequentemente usado para determinar se um material
experimenta ou não uma transição dúctil-frágil com um decréscimo
de temperatura.
Em um experimento com 10 corpos-de-prova de aço A238,
cortados a 60o C, a energia de impacto média foi de 64,46 J e o
desvio-padrão foi de 1.07 J.

Considerando que energia de impacto seja normalmente
distribuída, a energia de impacto média nas placas de aço A238

está entre 63.84 J e 65.08 J, com 95% de confiança.

Supondo que uma norma de qualidade determine que a energia de
impacto média seja de 64.0 J. Os resultados do experimento
mostram evidências estatísticas contra a hipótese de que as placas
de aço do lote atendem à norma de qualidade?

Nível de confiança =0.95 � α=0.05

Exemplo: energia de impacto em placas de aço A238

[ ]95% 63.84 ; 65.08 ICµ =

H0: µ = 65.0 (atende)
µHA: µ ≠ 65.0 (não atende)

Como o intervalo de 95% de confiança contém o valor de µ sob
H0, não podemos rejeitá-la ao nível de 5% de significância

Ao nível de 5% de significância, não há evidências estatísticas
suficientes contra a hipótese de que as placas de aço do lote

atendam à norma de qualidade.

Teste de Hipóteses para a Proporção

Teste de Hipóteses para a Variância
de uma População Normal