ListaCalcII_toda matéria
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(c) que contém a origem e passa pelos
pontos (1, 1, 1) e (1, 1,\u22121);
(d) que contém a reta (1 + t, 1\u2212 t, t) e
o ponto (1, 1, 1).
43. Os planos 3x+4y+5z = 6 e x\u2212y+z =
4 intersectam-se numa reta. Determine
uma equação dessa reta.
44. Determine a reta em que os planos x+
y = z e y + z = x se intersectam, in-
dicando um ponto da reta e um vetor-
direção dela.
45. Calcule a distância entre o ponto
(1, 1, 1) e o plano x\u2212 y \u2212 z + 10 = 0.
46. Determine a distância entre o ponto
(2,\u22121, 2) ao plano 2x\u2212 y + z = 5.
47. Determine a distância da origem
ao plano que passa pelos pontos
(1, 2, 3), (\u22121, 2, 3) e (0, 0, 1).
48. Calcule a distância do ponto (4, 2, 0) ao
plano que passa por (0, 0, 0), (1, 1, 1) e
(1, 1, 2).
2.2 Função de uma variável
real a valores em R2
49. Seja F a função dada por F (t) = (t, 2t).
Calcule F (0) e F (1) e desenhe a imagem
de F .
50. Desenhe a imagem da função F dada
por F (t) = (t, t2).
51. Desenhe a imagem da função F dada
por F (t) = (cos t, sin t), t \u2208 [0, 2pi].
52. Desenhe a imagem da função F dada
por F (t) = (2 cos t, sin t), t \u2208 [0, 2pi].
53. Desenhe a imagem de:
(a) F (t) = (1, t);
(b) F (t) = (t, t+ 1);
(c) F (t) = (2t\u2212 1, t+ 2);
(d) F (t) = (t, t3);
(e) F (t) = (t2, t);
(f) F (t) = (t2, t4);
(g) F (t) = (cos t, 2 sin t);
(h) F (t) = (sin t, sin t).
2.3 Função de uma variável
real a valores em R3
54. Desenhe a imagem de:
(a) F (t) = (t, t, t);
(b) F (t) = (cos t, sin t, 1);
(c) F (t) = (cos t, sin t, bt), b > 0 e t \u2265
0;
2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 6
(d) F (t) = (1, t, 1);
(e) F (t) = (1, 1, t);
(f) F (t) = (t, t, 1);
(g) F (t) = (1, 0, t);
(h) F (t) = (t, t, 1 + sin t);
(i) F (t) = (t, cos t, sin t).
55. Seja F dada por F (t) =
(log t, t,
\u221a
1\u2212 t2, t2). Determine o
domínio de F . Resp: 0 < t \u2264 1
56. Determine o domínio de
F (t) = (t,
\u221a
t\u2212 2
t+ 1
, log(5\u2212 t2), e\u2212t).
Resp: \u2212\u221a5 < t < \u22121 ou 2 \u2264 t < \u221a5
2.4 Operações com funções
de uma variável real a valores
em R3
57. Sejam
~F (t) = (t, sin t, 2) e ~G(t) =
(3, t, t2). Calcule:
(a)
~F (t) · ~G(t). Resp: 3t+ t sin t+ 2t2;
(b) e\u2212t ~F (t). Resp:
(e\u2212t, e\u2212t sin t, 2e\u2212t);
(c)
~F (t)\u2212 2~G(t). Resp: (t\u2212 6, sin t\u2212
2t, 2\u2212 2t2);
(d)
~F (t)\u2227 ~G(t). Resp: (t2 sin t\u22122t, 6\u2212
t3, t2 \u2212 3 sin t).
58. Calcule ~r(t)\u2227~x(t), onde ~r(t) = t~i+2~j+
t2~k e ~x(t) = t~i\u2212~j+~k. Resp: (2 + t2)~i+
(t3 \u2212 t)~j \u2212 3t~k.
59. Calcule ~u(t) · ~v(t), onde ~u(t) = sin t~i +
cos t~j + t~k e ~v(t) = sin t~i + cos t~j + ~k.
Resp: 1 + t.
60. Sejam
~F , ~G, ~H três funções de\ufb01nidas em
A \u2208 R e a valores em R3. Veri\ufb01que que:
(a)
~F \u2227 ~G = \u2212~G \u2227 ~F ;
(b)
~F · (~G+ ~H) = ~F · ~G+ ~F · ~H;
(c)
~F \u2227 (~G+ ~H) = ~F \u2227 ~G+ ~F \u2227 ~H;
2.5 Limite de uma função
de uma variável real a valores
em R3
61. Calcule:
(a) limt\u21921 ~F (t), onde ~F (t) =
(
\u221a
t\u22121
t\u22121 , t
2, t\u22121
t
). Resp: (1
2
, 1, 0);
(b) limt\u21920 ~F (t), onde ~F (t) =
( tan 3t
t
, e
2t\u22121
t
, t3). Resp: (3, 2, 0).
2.6 Derivada de uma função
de uma variável real a valores
em R3
62. Calcule
d~F
dt
e
d2 ~F
dt2
(a)
~F (t) = (3t2, e\u2212t, log(t2 +1)). Resp:
(6t,\u2212e\u2212t, 2t
1+t2
) e (6, e\u2212t, 2\u22122t
2
(1+t2)2
);
(b)
~F (t) = (
\u221a
3t2, cos t2, 3t).
Resp: ( 2
3
\u221a
3t
,\u22122t sin t2, 3) e
( \u22122
9t
\u221a
3t
,\u2212(2 sin t2 + 4t2 cos t2), 0;
(c)
~F (t) = (sin 5t, cos 4t,\u2212e\u22122t).
Resp: (5 cos 5t,\u22124 sin 4t, 2e\u22122t) e
(\u221225 sin 5t,\u221216 cos 4t,\u22124e\u22122t).
63. Determine a equação da reta tangente
à trajetória da função dada, no ponto
dado.
2 FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES EM R2 E R3 7
(a)
~F (t) = (cos t, sin t, t) e ~F (pi
3
).
Resp: (x, y, z) = (1
2
,
\u221a
3
2
, pi
3
) +
t(\u2212
\u221a
3
2
, 1
2
, 1), t \u2208 R;
(b)
~F (t) = (t2, t) e ~F (1). Resp:
(x, y) = (1, 1) + t(2, 1), t \u2208 R;
(c)
~F (t) = (1
t
, 1
t
, t2) e ~F (2).
Resp: (x, y, z) = (1
2
, 1
2
, 4) +
t(\u22121
4
,\u22121
4
, 4), t \u2208 R;
(d)
~F (t) = (t, t2, t, t2) e ~F (1).
Resp: (x, y, z, w) = (1, 1, 1, 1) +
t(1, 2, 1, 2), t \u2208 R.
64. Seja
~F : I \u2192 R3, I intervalo, derivável
até a segunda ordem em I. Suponha
que existe um real \u3bb tal que, para todo
o t \u2208 I, d2 ~F
dt2
(t) = \u3bb~F (t). Prove que
~F (t) \u2227 d~F
dt
(t) é constante em I.
65. Suponha que
~F : R\u2192 R3 seja derivável
até a segunda ordem e que, para todo o
t \u2265 0, ||~F (t)|| = \u221at.
(a) Prove que
d~F
dt
(t) · d~F
dt
(t) = \u2212~F ·
d2 ~F
dt2
(t) em [0,+\u221e];
(b) Seja \u3b8 o ângulo entre ~F e d
2 ~F
dt2
(t).
Conclua que
pi
2
\u2264 \u3b8 \u2264 pi.
66. Suponha ||~v(t)|| 6= 0 para todo o t. Faça
~T (t) = ~v(t)||~v(t)|| . Prove que
~T e d
~T
dt
(t) são
ortogonais.
67. Seja ~r(t) = (a coswt, b sinwt), onde
a, b, w são constantes não nulas. Mostre
que
d2~r
dt2
(t) = \u2212w2~r.
2.7 Integral de uma função
de uma variável real a valores
em R3
68. Mostre que:
(a)
\u222b 1
0
(t, et)dt = (1
2
, (e\u2212 1));
(b)
\u222b 1
\u22121(sin 3t,
1
1+t2
, 1)dt = (0, pi
2
, 2);
(c)
\u222b 2
1
(3, 2, 1)dt = (3, 2, 1).
69. Sejam
~T (t) = (t, 1, et) e ~G(t) = (1, 1, 1).
Mostre que:
(a)
\u222b 1
0
(~T (t)\u2227 ~G(t)) = (2\u2212e, e\u2212 3
2
,\u22121
2
);
(b)
\u222b 1
0
(~T (t) · ~G(t)) = 1
2
+ e.
70. Seja
~F (t) uma força, dependente do
tempo t, que actua sobre uma partícula
entre os instantes t1 e t2. Supondo ~F (t)
integrável em [t1, t2], o vetor
~I =
\u222b t2
t1
~F (t)dt
denomina-se impulso de
~F no intervalo
de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de
~F no intervalo de tempo dado.
(a)
~F (t) = (t, 1, t2); t1 = 0, t2 = 2.
Resp: (2, 2, 8
3
)
(b)
~F (t) = ( 1
t+1
, t2, 1); t1 = 0, t2 = 1.
Resp: (2, 1
3
, 1).
71. Suponha que
~F (t) é a força resultante
que actua, no instante t, sobre uma
partícula de massa m que se move no
espaço. Mostre que o impulso de
~F no
intervalo de tempo [t1, t2] é igual à vari-
ação da quantidade de movimrento, isto
é, \u222b t2
t1
~F (t)dt = m~v2 \u2212m~v1,
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 8
onde ~v2 e ~v1 são, respectivamente, as ve-
locidades nos instantes t2 e t1. (Sug-
estão: pela Lei de Newton
~F (t) = m~a.)
3 Funções de várias
variáveis a valores reais
72. Represente gra\ufb01camente o domínio da
função f dada por
f(x, y) =
\u221a
y \u2212 x+
\u221a
1\u2212 y.
73. Represente gra\ufb01camente o domínio da
função w = f(u, v) dada por
u2 + v2 + w2 = 1, w \u2265 0.
74. Represente gra\ufb01camente o domínio da
função z = f(x, y) dada por
z =
\u221a
y \u2212 x2.
75. Diga qual o domínio das seguintes
funções:
(a) f(x, y) = y/x;
(b) f(x, y) = x+y
x\u2212y ;
(c) f(x, y) = x+y
x2+y2\u22121 ;
(d) f(x, y) = 2xy
x2+y2
;
(e) f(x, y, z) = 2x+y\u2212z
x2+y2+z2\u22121 ;
(f) f(x, y, z) = z
x2\u22124y2\u22121 ;
(g) f(x, y) = x
2+y2
x2\u2212y2 ;
(h) f(x, y) = 2x\u2212sin(y)
1+cos(x)
;
(i) f(x, y) = e
x\u2212ey
1+sin(x)
;
(j) f(x, y) = sin(xy)\u221a
x2+y2\u22121
.
76. Seja f(x, y) = 3x+ 2y. Mostre que:
(a) f(1,\u22121) = 1;
(b) f(a, x) = 3a+ 2x;
(c)
f(x+h,y)\u2212f(x,y)
h
= 3;
(d)
f(x,y+k)\u2212f(x,y)
k
= 2;
77. Seja f(x, y) = x\u2212y
x+2y
.
(a) Determine o domínio. Resp:
{(x, y) \u2208 R2 : x 6= \u22122y};
(b) Calcule f(2u+ v, v \u2212 u). Resp: u
v
.
78. Represente gra\ufb01camente o domínio da
função z = f(x, y) dada por:
(a) x+ y \u2212 1 + z2 = 0, z \u2265 0.
(b) f(x, y) = x\u2212y\u221a
1\u2212x2\u2212y2
.
(c) z =
\u221a
y \u2212 x2 +\u221a2x\u2212 y.
(d) z = log(2x2 + y2 \u2212 1).
(e) z2 + 4 = x2 + y2, z \u2265 0.
(f) z =
\u221a|x| \u2212 |y|.
79. Seja f : R2 \u2192 R uma função linear.
Sabendo que f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3,
calcule f(x, y). Resp: f(x, y) = 2x+3y.
80. Veri\ufb01que se a função é homogénea. Em
caso a\ufb01rmativo, determine o grau de ho-
mogeneidade.
(a) f(x, y) = x
3+2xy2
x3\u2212y3 . Resp: ho-
mogénea de grau 0;
(b) f(x, y) =
\u221a
x4 + y4. Resp: ho-
mogénea de grau 2;
(c) f(x, y) = 5x3y+x4 + 3. Resp: não
é homogénea;
(d) f(x, y) = 2
x2+y2
. Resp: homogénea
de grau -2.
81. Suponha f : R2 \u2192 R homogénea de
grau 2 e f(a, b) = a para todos os pares
(a, b), com a2 + b2 = 1. Mostre que:
3 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS A VALORES REAIS 9
(a) f(4
\u221a
3, 4) = 32
\u221a
3;
(b) f(0, 3) = 0;
(c) f(x, y), (x, y) 6= (0, 0).
82. Suponha f : R2 \u2192 R homogénea e
suponha que f(a, b) = 0 para todo o
(a, b) com a2 + b2 = 1. Mostre que
f(x, y) = 0 para todo (x, y) 6= (0, 0).
83. Seja g : [0, 2pi[\u2192 R uma função dada.
Prove que existe uma única função f :
R2 \u2192 R, homogénea de grau \u3bb 6=
0, tal que, para todo o \u3b1 \u2208 [0, 2pi[,
f(cos\u3b1, sin\u3b1) = g(\u3b1). (NOTA: este
exercício nos
Monallisa
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De qual livro são essas questões?
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Francielle
Francielle fez um comentário
Você teria a resolução da 135.
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Lucas
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Gabarito?
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Igor
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Você teria a resolução dela??
2 aprovações
Carlos
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ótima lista
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