Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração
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Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração

Disciplina:Matemática para Negócios4.909 materiais45.733 seguidores
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superior. As disciplinas de funções, cálculo diferencial e

integral, cálculo numérico e equações diferenciais ocuparam grande

parte do meu tempo, principalmente com relação as suas aplicações

nas Ciências, Engenharia e Economia. A questão que passou a me

preocupar era:

– Qual é a função da Matemática nos cursos em que ela é ensi-

nada como disciplina formadora básica?

Em 1997 concluí o Mestrado em Matemática na Unijuí, em que

não só entendi como a Matemática é usada nas Ciências, mas como ela

é empregada para resolver problemas reais (Modelagem Matemática).

Entusiasmado com o esclarecimento das questões de aplicação, fiz o

Doutorado em Engenharia Mecânica/UFRGS (1998-2002), durante o

qual tive a oportunidade de conhecer métodos matemáticos, que são

a base da ciência moderna.

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sonia Beatriz teles drews – Pedro augusto Pereira Borges

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Trabalho na Unijuí desde 1986 e atualmente dedico-me às ativi-

dades de ensino na Graduação e no Mestrado em Modelagem Mate-

mática. Neste Mestrado pesquiso aplicações de equações diferenciais

em problemas de transferência de calor e massa, tais como: secagem

de grãos, movimento da água no solo, irrigação e aquecimento/resfria-

mento de sólidos. Os problemas de economia e finanças também são

de meu interesse e este livro é um passo nessa direção.

ead

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matemática aPlicada à administração

grandeZas: raZão e ProPorção

Por meio do estudo dessa Unidade você terá condições de dominar a aplicação das pro-

priedades algébricas empregadas para resolver situações-problema da área de Administração e

que envolvam grandezas direta e inversamente proporcionais. Parece difícil? Não se preocupe,

porque vamos percorrer esse caminho juntos, passo a passo.

Para que possamos alcançar esses objetivos, as seções desta Unidade são:

Seção 1.1 Grandezas

Seção 1.2 Proporção

Seção 1.3 Regra de três

Seção 1.4 Porcentagem

Seção 1.5 Regra de Sociedade

Vamos dar o primeiro passo?

seção 1.1

grandezas

Uma grandeza é algo que podemos medir. Medir é comparar a quantidade de uma gran-

deza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como unidade padrão.

Quando usamos uma régua para medir o comprimento de uma mesa estamos comparando uma

Unidade I

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sonia Beatriz teles drews – Pedro augusto Pereira Borges

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unidade de medida padrão (metro, centímetro...) com o tamanho da grandeza comprimento. Nesse

caso estamos interessados em saber quantos centímetros cabem no comprimento da mesa. Assim,

comprimentos, áreas e volumes são grandezas. O peso de uma mercadoria, o comprimento de

uma corda, o tempo de uma reunião, a massa corporal, a velocidade de um carro, o custo de uma

mercadoria, a produção, o trabalho, a matéria-prima, o preço, etc., são exemplos de grandezas.

A propriedade de uma grandeza é a sua capacidade de ser medida.

Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar, (lembre-se: o dinheiro

é uma grandeza especial: cada país tem suas próprias unidades).

1.1.1 raZão

Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b # 0, ao quociente entre eles.

Indica-se a razão de a para b por
b
a

, a/b ou a: b, onde o primeiro termo chama-se antecedente

e o segundo chama-se conseqüente.

exemplo 1.1.1: Estão matriculados na EaD da Unijuí 30 rapazes e 35 moças. Encon-

tre a razão entre o número de rapazes e o número de moças (lembre-se que razão é

divisão).

solução:

35
30

 simplificando temos
7

6
 (dividimos por 5 os dois termos da razão)

7

6
 (indica que para cada 6 rapazes existem 7 moças).

7

6
 (lê-se 6 está para 7) e significa que para cada 6 corresponde 7.

Nessa razão, o 6 é o antecedente e o 7 o conseqüente.

Simples, não é?

ead

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matemática aPlicada à administração

Se a e b são dois números naturais (com b ≠ 0), chamamos de fração as expressões do tipo

b

a
, onde o número colocado acima do traço chama-se numerador e indica quantas partes do

inteiro foram tomadas e o número abaixo do traço chama-se denominador e indica em quantas

partes iguais o inteiro foi dividido.

As frações representam uma parte, ou algumas partes, de um todo que foi dividido em

partes iguais.

Fração
7

6
: lê-se 6 sétimos e significa 6 partes do total de 7.

Propriedades das Frações

 Usaremos f1, f2, ..., para numerar as propriedades das frações:

f1 – Uma fração não se altera quando se multiplica seus dois termos pelo mesmo número dife-

rente de zero ou mesmo fazendo a divisão desta fração pelo mesmo divisor comum.

exemplo 1.1.2: Vamos testar a propriedade F1:

5

3
 =

65
63

⋅
⋅

 =

30

18

Você deve observar que obtemos 0,6 fazendo a divisão tanto em
5

3
 quanto em

30

18 .

O mesmo teste pode ser feito dividindo numerador e denominador pelo mesmo nú-

mero:

30

18 =

6:30
6:18 =

5

3

f2 – Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma fração por um número, a fração é mul-

tiplicada ou dividida por esse número.

exemplo 1.1.3: Seja a fração
3
2

. Multiplicando o numerador por 4, temos:

3
42 ⋅

 =
3
8

 (multiplicada por 4). Ou seja,
3
8

 é quatro vezes maior que
3
2

.

ead
sonia Beatriz teles drews – Pedro augusto Pereira Borges

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3
2:2

=
3
1

(dividida por 2). Ou seja,
3
1

 é a metade de
3
2

.

f3 – Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma fração por um número, a fração

é dividida ou multiplicada por esse número.

exemplo 1.1.4: Seja a fração
4
3

. Multiplicando o denominador por 2, temos:

24
3
⋅

 =
8
3

 (a fração ficou dividida por 2). Ou seja,
8
3

 é a metade de
4
3

.

2:4
3

 =
2
3

 (a fração ficou multiplicada por 2). Ou seja,
2
3

 é o dobro de
4
3

.

Agora que você já foi “apresentado” à Razão, conhecerá a sua parente, a Razão Inversa.

Vamos lá?

razão inversa

Duas razões são inversas quando:

1) o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente da outra e vice-versa; ou

2) o produto de uma razão pela outra for igual a 1.

exemplo 1.1.5: As razões

10
5 e

5
10 são inversas, pois o antecedente da primeira é

igual ao conseqüente da segunda e vice-versa. Também podemos ver que são razões

inversas por que

10
5 .

5
10 = =

50

50 1.

Você deve estar se perguntando, há algum tempo:

– Mas... E daí? Por que estudar grandezas, a Razão é importante? Siga adiante e você vai

compreender.

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matemática aPlicada à administração

1.1.2 – aPlicações de raZão

escala

Você já ouviu falar em escala?

Os desenhos de casas e mapas são feitos usando escalas. A escala é uma razão entre a

medida no desenho e a medida do objeto real.

real medida
desenho no medida

Escala =

exemplo 1.1.6: A distância entre as cidades A e B é de aproximadamente 800 km e o

mapa que mostra esta distância corresponde a 2,5 cm. Qual a escala utilizada?

(lembre-se que na escala as medidas devem estar na mesma unidade).

solução: Usando a definição de escala anterior temos:

E=
km

cm

800
5,2

 =
cm

cm

000.000.80
5,2

Aplicando a propriedade f1 das frações, dividimos antecedente e conseqüente por

2,5 e obtemos:

E=

cm

cm

000.000.32
1 . Escrevendo na forma de razão, temos:

E = 1: 32.000.000 (lê-se 1 para 32.000.000)

exemplo 1.1.7: Uma maquete de um edifício foi feita na escala de 1:100.

A altura real do edifício é de 10 m. Qual é a altura aproximada do edifício na ma-

quete?

solução: A razão das grandezas da escala (
100

1
) é igual à razão entre as alturas do

edifício na maquete (D) e na construção real (10 m). Assim,

ead
sonia Beatriz teles drews – Pedro augusto
João Catramby fez um comentário
  • Pelo que eu vi, vai me ajudar e muito! Excelente.
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    Estudante PD fez um comentário
  • :)
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