Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração
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Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração

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Pereira Borges

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100
1

 =
m

D

10

Empregando a propriedade f1, multiplicamos o numerador e o denominador da

segunda razão por 10 e obtemos duas razões com denominadores iguais.

100
1

=

100
D10

1010
10D =

⋅
⋅

Se os denominadores são iguais, então os numeradores também serão iguais. Por-

tanto:

10⋅D = 1

D = 0,10m.

Agora que você conheceu (e entendeu) a primeira aplicação para a razão, vamos passar

para outra aplicação: Velocidade.

velocidade

A velocidade (V) de um objeto qualquer, se deslocando em uma trajetória, é a razão entre

a distância percorrida e o tempo.

(h) tempo
(km) distância

V =

(Observe que neste caso as unidades das grandezas são diferentes).

exemplo 1.1.8:

150km/2h = 75km/h (as unidades km/h não podem ser simplificadas)

taXa

As taxas são razões entre duas grandezas. Estas taxas podem ser relacionadas a conjuntos de

100, 1000,... unidades das grandezas envolvidas. Em outras palavras, multiplicadas por 100, 1000,...

Dois exemplos desse tipo de taxa são a taxa de crescimento populacional e a taxa de juros.

ead

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matemática aPlicada à administração

exemplo 1.1.9: A taxa de variação (crescimento ou decrescimento) da população de

uma cidade, em um certo período, é uma razão entre a variação do número de habi-

tantes (∆P, delta P), pelo número de habitantes que moravam na cidade no início do

período considerado. Uma cidade tinha 80.000 habitantes no fim de 2007 e 86.000

habitantes no fim de 2008. Qual é a taxa de crescimento da população desta cidade,

no período considerado?

solução: A variação do número de habitantes é ∆P=86.000-80.000=6.000. A taxa de

crescimento é

075,0
80000
6000

P
P

t ==∆=

Isto significa que a população aumentou 0,075 habitante para cada habitante residen-

te em 2007. Esta taxa é mais útil quando associada à população de 100 habitantes.

Multiplicando a taxa por 100, temos:

t = 7,5 para cada 100 habitantes residentes em 2007. Isso, porém, não é tudo. Se você

percebeu a importância de entender esse conteúdo, veja uma outra aplicação...

taXa de jUros

A taxa de juros de um capital aplicado, em um certo período, é uma razão entre a varia-

ção do capital (∆C, delta C), pelo capital aplicado (C), multiplicada por 100. Ficou interessado?

Aguarde, pois estudaremos este tipo de taxa mais adiante. Agora ainda é preciso apresentar

você aos “Índices”!

1.1.3 – índices

São obtidos por meio da comparação entre duas grandezas independentes. Ou, em outras

palavras: índices são razões entre duas grandezas independentes. Veja alguns exemplos:

ead
sonia Beatriz teles drews – Pedro augusto Pereira Borges

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total superfície
total população

ademográfic Densidade =

nonacional/a população

nonacional/a renda
capitaper Renda =

Além dessas aplicações, muito utilizadas quando se trata de censo, por exemplo, também

temos uma outra aplicação muito conhecida, que são os índices econômicos.

índices econÔmicos

população

produto do totalvalor
capitaper Produção =

Onde o “valor total do produto” é o PIB (Produto Interno Bruto).

população

país um de bens de total consumo
capitaper Consumo =

população

 totalreceita
capitaper Receita =

Percebeu como é importante o estudo dos índices? Ainda precisamos, no entanto, citar os

coeficientes. Veja por que na seqüência.

coeFicientes

São razões entre o número de ocorrências e o número total.

total população
snascimento de n

natalidade de eCoeficient
o

=

total população
óbitos de n

emortalidad de eCoeficient
o

=

ead

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matemática aPlicada à administração

Não são poucas as vezes em que ouvimos falar sobre esses dois coeficientes, não é mesmo?

A seguir você terá exemplo comentado de como calcular uma razão, porém o que vimos até aqui

servirá de subsídio para você resolver alguns exercícios que propomos no intuito de que tenha

segurança de que aprendeu o que acabamos de ver.

exemplo 1.1.10 – Determine a razão que é igual a
5
3

 e cujo antecedente seja igual

a 9.

solução: Das condições do problema podemos afirmar que
5
3

=
x
9

 . Observe que se

multiplicarmos o antecedente por 3, obtemos o antecedente 9. Usando a propriedade

das frações f1, multiplicamos também por 3 o conseqüente e obtemos x= 15. Então

a nova razão é 9/15.

eXercícios 1.1.

1. Calcular as razões de:

 a) 5 e 15 d)
2

7
 e

3
14

 b) 64 e 4 e) 1,2 e
5

4

 c)
3

2
 e 6 f) 3,5 m e 0,7 dam

2. Determinar o antecedente e/ou conseqüente das seguintes razões, sabendo que:

 a) o conseqüente é 10 e a razão é
5
3

;

 b) o antecedente é
3
2

 e a razão é

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12

ead
sonia Beatriz teles drews – Pedro augusto Pereira Borges

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3. A miniatura de um colégio foi feita na escala de 1 : 100, a altura real do colégio é de 20 m.

Qual a altura aproximada da miniatura?

4. Um copo de suco corresponde a 250 ml. Um bar fez suco para 48 copos. Quantos litros de

suco foram feitos?

Se você realizou todos os cálculos, poderá conferir se as respostas estão corretos no final

deste livro, mas não engane a si mesmo. Só depois de ter se esforçado para responder e achar o

resultado é que você deve CONFERIR se está correto.

 Lembre-se: enganar a si mesmo é uma grande bobagem e dominar esses conteúdos
básicos é essencial para o seu progresso!

Após esta “combinação”, passaremos para o estudo da segunda seção desta Unidade:

Proporção!

seção 1.2

Proporção

Uma proporção é a igualdade entre razões

b

a
=

d

c

Os números que formam a proporção chamam-se, em geral, termos. O primeiro (a) e o

quarto (d) chamam-se de extremos, o segundo (b) e o terceiro (c), meios.

Exemplo: =
4

12
2

6
 formam uma proporção.

Essa proporção também pode ser escrita da seguinte forma: 12:4::6:2, e lê-se 12 está para

4, assim como 6 está para 2.

ead

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matemática aPlicada à administração

Assim como as frações, as proporções também têm propriedades, as quais apresentaremos

para você e, da mesma forma, também utilizaremos PP1, PP2 para numerá-las.

ProPriedades das ProPorções

Propriedade fundamental: em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto

dos meios.

Na proporção
d
c

b
a = , multiplicando os extremos e os meios, obtemos a igualdade ad = bc.

PP1) Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro

(ou para o segundo), assim como a soma ou diferença dos dois últimos está para o terceiro

(ou quarto).

No exemplo anterior:

 =
4

12 =
2
6

 =±
12

412

6
26 ± ou =±

4
412

2
26 ±

PP2) Em uma proporção, a soma do primeiro com o terceiro (a+c) está para a soma do segundo

com o quarto termo (b+d), assim como o terceiro está para o quarto.

Seja a proporção
d
c

b
a = . Usando a PP2, temos

b
a

d
c

db
ca ==

+
+

Deixamos para você substituir as letras por números e verificar se esta propriedade é cor-

reta!

PP3) Em uma proporção, a troca de posições entre o primeiro e o quarto termos não altera a

proporção. O mesmo ocorre para a troca entre o segundo e o terceiro.

ead
sonia Beatriz teles drews – Pedro augusto Pereira Borges

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Seja a proporção
d
c

b
a = . Usando a PP3, temos

d
b

c
a

a
c

b
d == ou .

exemplo 1.2.1 – Taxa percentual

Chama-se taxa percentual ou porcentagem de um número “a” sobre o número “b”,

com b # 0, à razão:
100

x
 tal que

100

x
=

b

a
 (indica-se

100
x

 por x%)

Você deve lembrar que o símbolo % lê-se “por cento” e significa centésimos.

Qual é a taxa percentual de 6 sobre 30?

solução:

Sendo x % a taxa percentual,
João Catramby fez um comentário
  • Pelo que eu vi, vai me ajudar e muito! Excelente.
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    Estudante PD fez um comentário
  • :)
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