Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração
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Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração

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temos pela definição que:

100
x

=

30
6 Usando a propriedade fundamental, temos:

x =

30
6100 ⋅ = 20. Então, a taxa percentual é 20%.

 Além de princípio fundamental e dos outros três apresentados até aqui, também temos

o princípio de igualdade que, por sua vez, também se subdivide em outros dois princípios, o

aditivo e o multiplicativo.

Princípios de equivalência de igualdade

iGUaLdade – é uma sentença matemática em que as expressões matemáticas estão li-

gadas pelo sinal =.

A expressão situada à esquerda do sinal = é denominada 1º membro da igualdade.

A expressão situada à direita do sinal = é denominada 2º membro da igualdade.

ead

21

matemática aPlicada à administração

Assim, vale lembrar que as equações são igualdades. A solução de uma equação consiste

em obter o valor da incógnita (neste caso nos referimos à incógnita da equação, que não sabemos

qual é) usando os “princípios da igualdade”, expostos a seguir.

Os princípios da igualdade são:

1) Princípio aditivo: em uma igualdade, podemos adicionar um mesmo número aos dois mem-

bros e a igualdade permanece.

exemplo 1.2.2 – resolver a equação:

x + 10 = – 5

solução: Aplicando o princípio aditivo: adicionamos (-10) a ambos os membros da

equação, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.

x + 10 + (-10) = -5 + (-10)

Simplificando a equação equivalente, obtemos

x = -15.

2) Princípio multiplicativo: em uma igualdade, podemos multiplicar ou dividir os dois membros

por um mesmo número não nulo, e a igualdade permanece.

exemplo 1.2.3 – resolver as equações:

a) 5x = 25 b) -3x = 9

solução:

a) Ainda usando o princípio multiplicativo, multiplicamos ambos os lados da equação

dada por 1/5, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.

5x .
5

1
 = 25 .

5

1

ead
sonia Beatriz teles drews – Pedro augusto Pereira Borges

22

5

5x
=

5
25

x = 5.

b) Ainda usando o princípio multiplicativo, dividimos ambos os lados da equação

dada por (-3), com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.

3

3

−
− x

 =
3

9

−

x = -3

exemplo 1.2.4 – determinar a e b na proporção
6

a
 =

3

b
, sabendo-se que a sua soma

é 21.

solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos

36
ba

+
+

=
3

b

 Usando a condição do problema: a + b = 21, temos

9

21 =
6

a
=

3

b

Usando a primeira igualdade, temos

9

21 =
6

a

Aplicando a propriedade fundamental das proporções em cada uma das igualdades,

temos:

Na primeira igualdade: Na segunda igualdade:

21 · 6 =9 · a 21 x 3 = 9 x b

126 = 9 a 63= 9b

ead

23

matemática aPlicada à administração

9

126
=a

9
63 = 9b

a=14 b = 7

exemplo 1.2.5 – Dadas as razões
2

x
=

5

y
=

8

z
 encontre o valor de x, y e z, sabendo-

se que x+y+z =150.

solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos:

852 ++
++ Zyx

=
2

x
=

5

y
=

8

z
 .

Usando a condição do problema, temos

15
150 =

2

x
;

15
150 =

5

y
 ;

15
150 =

8

z

Aplicando a propriedade fundamental das proporções:

150.2 = 15.x 150.5 = 15y 150.8 = 15z

 300 = 15x 750 = 15y 1200 = 15z

15
300 = x

15
750 = y

15

1200 = z

X=20 y= 50 z= 80

exemplo 1.2.6 – Dadas as razões =
2

x
 =

5

y

8

z
 calcule o valor de x, y e z sabendo-se

que 5x+2y+3z=440.

solução: Como precisamos de 5x, 2y e 3z para empregarmos o valor de sua soma,

isto é, 440, usando a propriedade f1 das frações, multiplicaremos os termos da

primeira razão por 5, os da segunda por 2 e os da terceira por 3. Teremos então:

=
10
5x =

10
2y

24
3z

ead
sonia Beatriz teles drews – Pedro augusto Pereira Borges

24

Aplicando a propriedade PP2 das proporções:

=
++
++

241010
325 zyx

 =
10
5x =

10
2y

24
3z

Substituindo o numerador da 1ª igualdade, temos

=
44

440

2

x
 =

44

440

5

Y
 =

44

440

8

Z

Usando a propriedade fundamental das proporções, nas três equações anteriores,

obtemos:

x = 20 ; y = 50 e z = 80.

Chegou a vez de testar os seus conhecimentos!

eXercícios 1.2.1

1. Escreva sob a forma de número decimal as seguintes porcentagens:

 a) 12% b) 140%

2. Calcule:

 a) 30% de 270 b) 0,7% de 4.900

3. Calcule 20% de 50% (lembre-se: escrever 20% de 50% significa 20% ⋅ 50%).

ead

25

matemática aPlicada à administração

Considerando que você já fez todos os exercícios, ainda queremos retomar o tema da seção

1.1 que trata de grandezas e pensá-las com base nas proporções, tema desta seção 1.2.

grandeZas diretamente ProPorcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra

também aumenta na mesma proporção, ou diminuindo uma delas, a outra também diminui na

mesma proporção.

Se duas grandezas a e b são diretamente proporcionais, então os números que expressam

essas grandezas variam na mesma razão, isto é

b

a
=k , onde k é um número chamado constante de proporcionalidade.

exemplo 1.2.7 – Os números 3, 4 e 6, respectivamente, são diretamente proporcionais

a 12,16, 24. Qual é a constante de proporcionalidade ?

solução: Se os números dados são diretamente proporcionais, significa que a razão

entre eles é a mesma.

12
3

=
16
4

=
24
6

Usando a propriedade f1 das frações é fácil mostrar que podemos reduzir todas

essas razões a ¼.

Assim, k =
4

1
 é a constante de proporcionalidade.

exemplo 1.2.8 – A soma das idades de Carlos e Jair é 36 anos. Sabe-se que elas estão

na razão de 2 para 10. Qual a idade de cada um?

solução: O dado do problema indica que C+J = 36. Fazendo a proporção sugerida

no problema, temos

ead
sonia Beatriz teles drews – Pedro augusto Pereira Borges

26

J

C
=

10
2

Observe que
J

C
=

10
2

 pode ser escrito
2

C
 =

10
J aplicando a propriedade PP3 das

proporções. Usando a propriedade PP2, temos:

102 +
+ JC

=
12
36

=
2
C

=
10
J

Usando a propriedade fundamental das proporções, na segunda igualdade, obte-

mos

C=6.

Usando a propriedade fundamental das proporções, na proporção entre a segunda

e a terceira razão, obtemos

J=30.

Carlos tem 6 anos e Jair 30 anos.

Atenção: Uma maneira de conferirmos se as respostas estão corretas é verificar se o

produto dos meios é igual ao produto dos extremos, substituindo os valores de C e J na pro-

porção do problema.

30
6

=
10

2

Observe que 6 • 10 = 30 • 2.

exemplo 1.2.9 – Dividir o número 55 em partes diretamente proporcionais a 2, 3

e 6.

solução: Do problema, podemos concluir que

a+b+c=55 e
2

a
=

3

b
=

6

c
.

Usando a propriedade PP2 e a equação do problema, temos:

ead

27

matemática aPlicada à administração

632 ++
++ cba

=

11
55 =

2

a
=

3

b
 =

6

c

Da segunda proporção, temos:

11
55 =

2

a
 e usando a propriedade fundamental, temos; a = 10.

Da igualdade da 2ª e 4ª razão, temos:

11
55 =

3

b
 e usando a propriedade fundamental, temos; b = 15.

Da igualdade da 2ª e 5ª razão, temos:

11
55 =

6

c
 e usando a propriedade fundamental, temos; c = 30.

Verificação:
2

10
=

3

15
=

6

30
 (todos os quocientes são igual a 5 )

grandeZas inversamente ProPorcionais:

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra di-
João Catramby fez um comentário
  • Pelo que eu vi, vai me ajudar e muito! Excelente.
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    Estudante PD fez um comentário
  • :)
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