Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração
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Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração


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d) y = x2 \u2013 x +1 
 b) y = -x2-2x + 3 e) y = -x2 +6x \u2013 9
 c) y = x2 \u20134x \u2013 5 f) y = x2 -2x + 3
2. Analise a concavidade das funções do Ex.1.
Atenção: não siga adiante se você não fez os exercícios anteriores. Lembre-se de que 
cada item estudado é pré-requisito para seguir adiante e compreender o conteúdo.
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sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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o vértice da parábola
O vértice de uma função quadrática é o ponto onde a função tem um valor máximo ou 
mínimo. A dedução das fórmulas das coordenadas do vértice podem ser encontradas na Uni-
dade 3. Neste estágio de nosso estudo vamos apenas usá-las. Retomando a Eq. (2.4.2), temos 
y(x) =Ax2 + Bx + C. 
A coordenada x do vértice é dada pela fórmula: 
A2
B
xv \u2212= (2.4.8)
A coordenada y do vértice é dada pelas fórmulas: CBxAxy v
2
vv ++= ou (2.4.9)
 
A4
BAC4
y
2
v
\u2212= (2.4.10)
exemplo 2.4.4: O custo marginal de um produto é a variação do custo de produção, 
à medida que mais uma unidade é produzida. Suponhamos que a função 
CM(x) = 0,0369 x2 \u2013 0,83x + 4,87 
dá o custo marginal da fabricação de um determinado produto até 20 unidades. 
A Figura 2.4.4 mostra o gráfico desta função. O leitor pode observar que existe um 
custo marginal mínimo próximo de 10, 11 ou 12 unidades. Para determinar com 
precisão o vértice da parábola vamos usar as Eqs. 2.4.8 e 2.4.9.
 
24,11
0369,02
83,0
xv =\u22c5
\u2212\u2212=
 20,087,424,1183,024,110369,0y 2v =+\u22c5\u2212\u22c5=
O vértice exato da parábola é V=(11,24, 0,20), no entanto não existem unidades fra-
cionárias do produto. Por isso, procuramos um valor de x mais próximo. Nesse caso, é 
x = 11 unidades. Esses resultados significam que para 11 unidades o custo marginal 
é mínimo e com valor de R$ 0,20 . O leitor pode ver isso na Figura 2.4.4.
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matemática aPlicada à administração
Figura 2.4.4: Vértice da parábola
Perceba que buscamos trabalhar com exemplos concretos para que você possa perceber a 
importância deste componente curricular para a sua formação e desempenho da atividade que 
escolheu para si: a de administrador!
eXercícios 2.4.2
1. Dadas as funções quadráticas, calcule o vértice e faça um esboço do gráfico.
 a) y = x2 \u2013 4x \u2013 3 c) y = -3x2 \u2013 6 x +4 
 b) y =-2 x2+2x \u2013 5 d) y = 3x2 \u2013 6x + 5
2. A função custo marginal de um produto é CM(x) = 0,03 x2 \u2013 x + 10 . 
 a) Essa função tem raízes reais?
 b) Calcule o custo marginal mínimo. 
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Funções Polinomiais
Existem funções polinomiais de ordem (grau) maiores do que dois. Uma função polinomial 
de grau \u201cn\u201d pode ser escrita na seguinte forma:
Pn(x) = anx
n + ... + a3x
3 + a2x
2 + a1x + ao . 
Para os objetivos deste livro, vamos restringir nosso estudo às funções polinomiais de grau 
menor ou igual a 3. Você deve ter observado que já estudamos os gráficos e raízes das funções de 
1º e 2º Graus. Vamos analisar agora uma função importante para a economia, que geralmente 
é um polinômio de 3º Grau.
função Custo de Produção: O custo para gerar um produto é uma função da quantidade 
de unidades produzidas. Para pequenas quantidades (como as pizzas da Dona Maria) a depen-
dência pode ser linear, mas à medida que aumentamos o número de unidades produzidas a 
dependência torna-se não-linear.
Geralmente usamos funções polinomiais de 3o Grau para descrever as funções custo: 
C(x) = a3x
3 + a2x
2 + a1x + ao 
onde C é o custo (em unidades monetárias) 
 x é o número de unidades produzidas e 
a3 , a2 , a1 e ao são parâmetros (números reais).
exemplo 2.4.5:: A função C(x) = 0,0123 x3 -0,415x2 + 4,8727x é uma função poli-
nomial de 3o Grau e fornece o custo de produção de um determinado produto até 20 
unidades. O leitor pode observar no gráfico que se trata de uma função não-linear, 
ou seja, o custo de produção não é diretamente proporcional ao número de unida-
des produzidas. Esse custo aumenta de forma diferente para cada unidade a mais 
fabricada.
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matemática aPlicada à administração
 
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15 20
 X (unidades)
C
u
st
o
 (
$)
Figura 2.4.5: Custo de produção polinomial
Vamos estudar as técnicas específicas para analisar estas funções na Unidade 3, que abor-
dará o tema Taxas de variação e derivadas.
seção 2.5
Funções exponenciais e logaritmos
O trabalho de aplicação de funções exponenciais depende do conhecimento das proprie-
dades das potências.
Propriedades das potências (PP)
Nas propriedades a seguir as constantes a e b são números reais positivos diferentes de 
1 e as letras m e n são constantes ou variáveis reais quaisquer. Em linguagem matemática es-
crevemos:
a e b \u2208 r , tal que a > 0, b > 0 e a \u2260 1 e b \u2260 1; e
m e n \u2208 r 
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PP1) bm \u22c5 bn = bm+n (produto de potências de mesma base)
PP2) 
m
m
b
1
b =\u2212 (expoente negativo)
PP3) bm ÷ bn = bm-n (quociente de potências de mesma base)
PP4) nmnm b)b( \u22c5= (potência de potência)
PP5) am \u22c5 bm = (ab)m (produto de potências com expoentes iguais)
PP6) 
m
m
m
b
a
b
a \uf8f7
\uf8f8
\uf8f6\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb= (quociente de potências com expoentes iguais)
PP7) i/ei e aa = (raiz e expoente fracionário)
PP8) Se am =\u22c5 an então m = n.
oBserVaÇÕes
1. Usaremos as letras \u201cPP\u201d com referência às propriedades das potências.
2. Você deve lembrar sempre de consultar estas propriedades para operar com potências.
exemplo 2.5.1 \u2013 Resolva as potências usando as propriedades.
a) =\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u22121
2
1
 b) =\u22c5 23 216 
solução:
(a) Usando a PP2: .2
2
1
1
2
1
1
1
=
\uf8f7\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u2212
(b) Sabendo que 16 = 24 , temos: .22 23 4 \u22c5 
Usando a PP7 e em seguida a PP1, temos; 3/1023/4 222 =\u22c5 .
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matemática aPlicada à administração
eXercícios 2.5.1
1. Resolva as potências usando as propriedades.
 a) 23 \u22c5 22 = f) 43 48 \u22c5 =
 b) 32 \u22c5 34 \u22c5 35 = g) 41/2=
 c) =
4
3
2
2
 h) 
23
32
)2(
)4(
=
 d) =
\u22c5
\u22c5
52
43
33
33
 i) =\u22c5
2
3
3
2 4
2
 e) =32 )5( j) 24 216 ÷ =
2. Use sua calculadora para resolver:
 a) 23/2 c) 20.5 e) 31,5 
 b) 5 d) 3 5 f) 3 25
Funções exponenciais
A Função Exponencial expressa uma série de fenômenos da ciência (crescimento popula-
cional, reações químicas, desintegração radioativa) e particularmente nas Ciências Econômicas 
expressa aplicações ou financiamentos com capitalização. Inicialmente vamos aprender como é 
o crescimento exponencial, suas características e a álgebra envolvida, para depois fazer aplica-
ções em problemas de economia.
As funções exponenciais têm a forma
y = bax (2.5.1)
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onde y é a variável dependente, x a variável independente, a e b são números reais (cons-
tantes), sendo que b > 0 e b \u2260 1 .
Se a base b é o número de Euler e = 2,718281828... chamamos a função de \u201cexponencial 
natural\u201d e escrevemos:
y = eax (2.5.2)
O leitor deve observar a diferença entre as funções polinomiais e as exponenciais. 
As funções polinomiais têm a variável na base e o expoente é constante:
Por exemplo: y = x2. 
As funções exponenciais têm a variável no expoente e a base é constante:
Por exemplo: y = 2x.
exemplo 2.5.2 \u2013 Qual das funções a seguir cresce mais?
y = x2 ou y = 2x 
solução: Vamos fazer tabelas de valores de x e y para as duas funções, inserir esses 
valores no gráfico e comparar.
x x2 2x
0 0 1
João
João fez um comentário
Pelo que eu vi, vai me ajudar e muito! Excelente.
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Estudante
Estudante fez um comentário
:)
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GILSON
GILSON fez um comentário
Excelente material!!
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