Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração
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Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração


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0
10
20
30
40
50
60
70
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
potência
exponencial
O leitor deve observar que as funções são diferentes. Apresentam valores próximos 
até x = 4, mas para x > 4 a exponencial cresce mais que a polinomial.
ead
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matemática aPlicada à administração
exemplo 2.5.3 \u2013 Vamos fazer uma tabela e um esboço do gráfico das funções: y = 
2x e y=2-x.
solução: Observe que estimando valores para x e calculando os valores de y de 
acordo com as funções dadas, obtemos os dados da tabela e com eles, podemos fazer 
o gráfico.
x y=2x y=2-x
-4 0,0625 16
 -3 0,125 8
-2 0,25 4
-1 0,5 2
0 1 1
1 2 0,5
2 4 0,25
3 8 0,125
4 16 0,0625
 
 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
X
Y
Y=2 (^-X)
Y=2^X
eXercícios 2.5.2
1. Faça uma tabela e um gráfico das funções dadas (use o mesmo plano cartesiano)
 a) y = 4x c) y = 3x e) y = 2-3x
 b) y = 5x d) y = 6x f) y = 2-2x
2. Compare as funções exponenciais de (a) a (d) do Ex.1. Qual delas cresce mais?
3. Compare as funções exponenciais de (a) a (d) com as funções (e) e (f) do Ex.1. O que você 
pode afirmar sobre a influência do sinal do expoente no comportamento de crescimento/de-
crescimento das funções exponenciais? Explique sua resposta.
4. Faça os gráficos das funções a seguir em uma planilha eletrônica:
 a) y = 5.2x b) y = 5.ex
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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equações exponenciais
As equações exponenciais são igualdades entre expressões, onde a variável está no expo-
ente. A solução destas equações é obtida empregando as propriedades das potências.
exemplo 2.5.4 \u2013 Resolver a equação exponencial: 4 \u22c5 2x = 16
solução: Para usar a propriedade PP8 precisamos antes igualar as bases dos dois lados 
da igualdade. Nesse caso, dividindo ambos os lados da equação por 4, obtemos:
2x = 4
2x = 22 . Usando a propriedade PP8, temos:
x = 2.
exemplo 2.5.5 \u2013 A depreciação de um imóvel pode ser dada pela função 
V = Vo 2
-bt, (2.5.3)
onde V é o valor do imóvel, Vo é o valor do imóvel novo, b é um número real e t é o 
tempo, em anos. Sendo Vo = R$ 110.000,00 e b = 0,2 :
a) Calcule o valor do imóvel depois de 10 anos.
b) Em quanto tempo o valor do imóvel atingirá a metade do seu valor inicial 
Vo ?
c) Segundo esse modelo, o preço do imóvel pode ser nulo? 
solução
(a) Substituindo os dados de Vo = R$ 110.000,00 , b = 0,2, e t=10 anos na Eq. 
2.5.3, temos:
ead
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matemática aPlicada à administração
V = R$ 110.000 \u22c5 2-0,2\u22c5 10 
V = R$ 27.500,00
(b) Usando V = Vo/2 e b = 0,2 na Eq. 2.5.3, temos
Vo/2 = Vo \u22c5 2-0,2\u22c5 t 
Dividindo ambos os lados da equação por Vo, temos:
½ = 2-0,2\u22c5 t 
Usando a propriedade PP2, temos:
2-1 = 2-0,2\u22c5 t
Como as bases de ambos os lados são iguais, usando a propriedade PP8, temos:
-1 = -0,2t
t = 5 anos.
(c) Se o leitor colocar valores de t cada vez maiores (fazer t tender a infinito) na Eq. 
2.5.3 observará que o valor do imóvel tenderá a zero. Assim, só para t=\u221e o preço 
do imóvel será nulo, no entanto. Para efeitos práticos, observe que para t = 50 anos, 
V = R$ 107,42, o que corresponde a 0,097 do valor inicial.
eXercícios 2.5.3
1. Resolva as equações exponenciais:
 a) 2x = 8 c) 3x = 1/729
 b) 3x+1 = 27 d) 160254 x =
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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2. A depreciação de um carro pode ser dada pela Eq. 2.5.3.
 a) Elabore uma fórmula para calcular o tempo em que o carro terá a metade do seu valor inicial Vo.
 b) Sabendo que b = 0,23, determine o tempo para o valor do carro atingir ¼ Vo .
exemplo 2.5.3 \u2013 População de ratos
As populações de insetos, ratos, microorganismos e também de humanos cresce 
exponencialmente, sob determinadas condições. Analisemos o crescimento de uma 
população de ratos.
Consideremos a geração \u201czero\u201d, composta apenas pelo ratão-pai, portanto 1 indivíduo. 
Considerando que cada indivíduo tenha, na sua existência, apenas 3 filhos, o número 
de ratos-filhos da primeira geração será 3. Na segunda geração será 3 vezes, 3 que 
dá 9, na terceira 3\u22c53\u22c53 = 27, e assim por diante. A coluna 2 da Tabela 2.5.1 mostra 
as gerações e a população de ratos para esse caso. Como os ratos só comem e fazem 
filhos, se não morrer nenhum dos bichinhos, para a geração n podemos dizer que a 
população de ratos é 3n ratos. Confira na Tabela 2.5.1.
Se cada pai tiver 4 filhos, a população de ratos cresce muito mais rapidamente do 
que com 3. Veja a comparação na Tab. 2.5.1 e na Fig. 2.5.1. Se a população humana 
cresce exponencialmente, pense um pouco mais antes de fazer 4 filhos !
 tabela 2.5.1: População de ratos 
Geração População
3 filhos por pai 4 filhos por pai
0 1 1
1 3 4
2 9 16
3 27 64
4 81 256
... ... ...
n 3n 4n
 
 
0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4
Gerações
P
o
p
u
la
çã
o
 (
in
d
iv
íd
u
o
)
P3
P4
 Figura 2.5.1: População de ratos
ead
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matemática aPlicada à administração
Observe que nesse modelo o número de ratos da geração posterior (P(n+1)) é calculado 
multiplicando por 3 (se três filhos) ou 4 (se quatro filhos) o número de ratos da geração 
anterior (P(n)). Podemos afirmar que a população da geração posterior (P(n+1)) depende 
da população da geração anterior (P(n)). Assim, podemos expressar a população de 
ratos da seguinte forma: 
P(n) = 3n para 3 filhos por pai e
P(n) = 4n para 4 filhos por pai.
Genericamente, 
nq)n(P = , para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.4)
onde P(n) é a população de ratos na geração n (indivíduos), n é a geração e
q é o número de filhos que cada pai tem em cada geração (indivíduos). 
Se existirem N ratos na geração \u201czero\u201d, basta multiplicar o lado direito da Eq. 2.5.4 
por N: 
 
nNq)n(P = , para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.5)
exemplo 2.5.5 \u2013 Juros compostos
Uma aplicação financeira do tipo poupança com taxa mensal constante também tem 
crescimento exponencial. A Tab. 2.5.2 mostra uma aplicação de R$ 1.500,00 corrigida 
mês a mês com uma taxa de 1%. Observe que para obter o Capital do mês posterior 
(C(n+1)) multiplicamos o mês anterior (C(n)) por 1,01. Confira!
De forma semelhante ao crescimento da população dos ratos, podemos encontrar 
uma função para calcular o capital.
tioC)t(C = para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.6)
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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onde Co é o capital inicial (R$),
100
j
1i += , onde j é a taxa de rendimento mensal e
t é o tempo em meses.
tabela 2.5.2: aplicação com juros compostos
Tempo, t
(meses)
Capital, C(t)
(R$)
0 1500,00
1 1515,00
2 1530,15
3 1545,45
4 1560,90
... .....
22 1867,07
23 1885,74
24 1904,60
 
 
1500
2000
2500
3000
3500
0 4 8 12 16 20 24
Tempo (meses)
C
ap
it
al
 (
R
$)
j=1,01
j=1,02
j=1,03
 Figura 2.5.2: Juros compostos com diferentes taxas
A Figura 2.5.2 mostra três aplicações com taxas de juros j = 1, 2 e 3 %. Observe que 
temos curvas (não são retas!), sendo que quanto maior é a taxa de juros, mais cresce 
o capital. 
Progressões geométricas
As seqüências mostradas nas Tabs. 2.5.1 e 2.5.2, população e capital, respectivamente, são 
Progressões Geométricas. Escrevemos uma PG da seguinte forma:
PG : { ao, a1, a2, .... , an }
Nestas progressões, o termo posterior (an+1) é obtido multiplicando o anterior pela razão r.
rna1na \u22c5=+ (2.5.7)
ead
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matemática aPlicada à administração
Esta equação eferece uma maneira fácil de reconhecer seqüências exponenciais. Observe
João
João fez um comentário
Pelo que eu vi, vai me ajudar e muito! Excelente.
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Estudante
Estudante fez um comentário
:)
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GILSON
GILSON fez um comentário
Excelente material!!
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