Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração
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Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração


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que dividindo um termo posterior pelo anterior, dá sempre o mesmo número. Teste essa idéia 
nas Tabelas 2.5.1 e 2.5.2.
n
1n
a
a
r += (2.5.8)
Da mesma forma que nos problemas dos ratos e dos juros, o termo geral da PG é calculado, 
fazendo
nroana \u22c5= para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.9)
Observe que as Eqs. 2.5.4, 2.5.6 e 2.5.9 são muito semelhantes. Todas elas expressam 
problemas exponenciais.
Um resultado importante para as Ciências Econômicas é a soma dos termos de uma PG:
r1
r1
as
n
on \u2212
\u2212= (2.5.10)
Onde Sn é a soma de \u201cn\u201d termos da PG.
eXercícios 2.5.4
1.a) Construa uma PG de 5 termos, ao = 1 e razão r = 3.
 b) Some manualmente os 5 termos da PG.
c) Use a Eq. 2.5.9 para calcular a soma dos 5 termos da PG. Compare o resultado obtido com 
o resultado da letra (b).
2. Observe esta PG: {1, i, i2, i3 , i4 }
 a) Qual é o ao? Qual é a razão? Qual é o número de termos?
 b) Calcule a soma dos cinco primeiros termos usando a Eq. 2.5.9.
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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3. Observe esta PG: {1, i, i2, i3 , i4 , ..., in-1}
 a) Qual é o ao? Qual é a razão? Qual é o número de termos?
 b) Calcule a soma dos \u201cn\u201d primeiros termos usando a Eq. 2.5.9.
4. Observe esta PG: {1; 1,04; 1,04i2; 1,04i3 ; 1,044 ; ...; in-1}
 a) Qual é o ao ? Qual é a razão ? Qual é o número de termos ?
 b) Calcule a soma dos \u201cn\u201d primeiros termos usando a Eq. 2.5.9.
5. Calcule a população de ratos para 5 gerações, considerando que 3 ratos-pais formam suas 
famílias, fazendo 5 filhos cada um, a cada geração.
6. Verifique se as seqüências das colunas da Tabela a seguir são exponenciais. (Use a idéia da 
Eq. 2.5.7.
Tempo
(meses)
S1 S2 S3 S4
0 1.250,00 3.200,00 10.000,00 7.500,00
1 1.500,00 3.520,00 10.001,01 7.725,00
2 1.800,00 3.840,00 10.002,02 7.956,75
3 2.160,00 4.160,00 10.003,03 8.195,45
4 2.592,00 4.480,00 10.004,04 8.441,31
5 3.110,40 4.800,00 10.005,05 8.694,55
7. a) Faça uma tabela semelhante à Tab. 2.5.2, considerando o capital inicial R$ 2.450,00, a taxa 
de juros de 0,9% ao mês, para uma aplicação com juros compostos de 6 meses (Use a Eq. 2.5.6 
para encontrar o capital em cada mês).
 b) Elabore um gráfico com os resultados.
 c) Você acha que a seqüência de dados no gráfico forma uma reta? Justifique sua resposta.
8. Um pai de família fez uma aplicação R$ 15.000,00 com taxa fixa de 1,1% ao mês pensando em 
custear as despesas com a universidade de sua filha de 7 anos. Calcule o capital disponível 
quando a filha tiver 17 anos.
ead
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matemática aPlicada à administração
logaritmos
definição: N é o logaritmo na base b de um número x, se b na potência N é igual a x.
log b x =N se, e somente se b
N = x . (2.5.10)
para b \u2208 r, tal que b > 0 e b \u2260 1
x \u2208 r , tal que x > 0.
Da definição anterior a base \u201cb\u201d pode ser qualquer número real positivo e diferente de 1, 
no entanto as calculadoras disponibilizam apenas duas bases: a base 10 e a base e.
Os logaritmos na base 10 (logaritmos decimais) podem ser escritos omitindo a base, usando 
apenas \u201clog\u201d: 
log102 = log 2; log105 = log 5; log107 = log 7
Os logaritmos na base e (logaritmos naturais) podem ser escritos omitindo a base, usando 
apenas \u201cln\u201d: 
loge2 = ln 2; loge5 = ln 5; loge7 = ln 7
Propriedade dos logaritmos 
Para qualquer b > 0 e b \u2260 1:
PL1) 01logb =
PL2) 1blogb =
PL3) nlogmlog)nm(log bbb +=\u22c5
PL4) nlogmlog)n/m(log bbb \u2212=
PL5) nblog nb =
PL6) clognclog b
n
b =
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sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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PL7) clog
n
m
clog b
n m
b =
PL8) Mudança da base b para base c;
 
blog
xlog
xlog
c
c
b =
oBserVaÇÕes
1. Usaremos as letras \u201cPL\u201d com referência às propriedades dos logaritmos.
2. Relembrando: você deve sempre consultar estas propriedades para operar com logaritmos.
equações logarítmicas
Algumas equações não podem ser resolvidas empregando somente as propriedades das 
potências. Por exemplo:
10x = 3 (2.5.11)
Veja que não podemos usar a propriedade PP8 por que não podemos transformar 10x e 3 em 
potências de mesma base. Mesmo assim, deve existir um x que seja solução da equação, pois:
Se x = 0, temos 100 =1 < 3.
Se x = 1, temos 101 =10 > 3.
Assim, 0 < x < 1.
Nesse caso, aplicando logaritmo nos dois lados da Eq. 2.5.11, temos:
log 10x = log 3 (2.5.12)
Usando a propriedade PL5 no lado esquerdo da Eq. 2.5.12, temos:
log 10x= xlog10 = x \u22c5 1 = x
Então, x = log 3.
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matemática aPlicada à administração
Usando a calculadora obtemos um valor aproximado para
 x = log 3= 0,477121254...
Convidamos o leitor a usar sua calculadora científica e testar este valor de x na Eq. (2.5.11). 
(O valor a seguir foi obtido com uma calculadora de 10 dígitos).
10 0,477121254 = 2,999999995.
exemplo 2.5.7: Resolva a equação
e5x = 12.
solução: Aplicando logaritmo natural nos dois lados da equação dada, temos:
ln e5x = ln 12
Usando a PL5 no lado esquerdo da equação, temos:
5x = ln 12
x = 1/5 ln 12 \u2248 0,496981.
exemplo 2.5.8 \u2013 Resolver a equação: 5 = 4 \u22c5 2x.
solução: Dividindo a equação por 4, temos:
x2
4
5 = .
Aplicando logaritmo decimal dos dois lados da equação, temos:
x2log
4
5
log = . 
Usando a PL6, temos:
2logx
4
5
log = . 
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Dividindo por log 2, temos:
2log
)4/5log(
x = , que é a solução da equação.
Se o leitor colocar esses números na calculadora científica, obterá:
x = 0,321928.
exemplo 2.5.9: A fórmula para calcular o montante em um financiamento com juros 
compostos é
t
oiC)t(C = (2.5.13)
Onde C é o capital (montante), Co é o capital inicial, i é a taxa de juros e t é o tempo, 
em meses. Resolva a fórmula dada para o tempo t.
solução: Resolver a fórmula dada para o tempo t significa \u201cisolar\u201d o t. Podemos co-
meçar dividindo toda a equação por Co.
t
o
i
C
)t(C = (2.5.14)
Aplicando logaritmo decimal nos dois lados da equação, obtemos:
t
o
ilog
C
)t(C
log = (2.5.15)
Usando a propriedade PL6 no lado direito da equação, temos:
ilogtilog t = (2.5.16)
Substituindo (2.5.4) em (2.5.3), temos:
oC
)t(C
log
ilog
1
t = .
Na seqüência, desafiamos você a utilizar seus conhecimentos e resolver as questões 
a seguir!
ead
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matemática aPlicada à administração
eXercícios 2.5.5
1. Resolva as equações exponenciais usando as propriedades dos logarítimos:
 a) 103x = 2 f) e-x = 3 
 b) 10x-4 = 8 g) ex-2 = 5 
 c) 15 = 53x-5 h) 10 = ex-4 
 d) 
2x34 = i) 
2xe8 =
 e) 
2/1x4
3
1 = j) 
2/1xe
4
1 =
2. A fórmula para calcular o montante em um financiamento com juros compostos é
 
t
oiC)t(C =
Onde C é o capital (montante), Co é o capital inicial, i é a taxa de juros e t é o tempo, em 
meses. Resolva a equação dada para o tempo t. Sendo Co = R$10.000,00 e i = 1,008, encontre o 
tempo necessário para que o capital aplicado seja de R$ 11.269,58.
atividade 2.5.1 \u2013 Financiamento com caPitaliZação e sem entrada
Considere o financiamento de um Capital Mo, sem entrada, taxa de juros j % ao mês e 
prestações mensais fixas P.
tabela 2.5.3: montante de um financiamento
n M(n)
0 Mo
1 (Mo i \u2013 P)
2 (Mo i \u2013 P)i-P
3 ((Mo i \u2013 P)i-P)i-P
4 (((Mo i \u2013 P)i-P)i-P)i-P
.....
n Mo i
n-P(in-1+ in-2+...+ i+1) 
ead
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A Tabela 2.5.3 mostra o número de prestações e o valor ainda não pago M(n). Observe 
que o valor financiado é Mo. A incidência dos juros ocorre sobre Mo depois de um mês (o
João
João fez um comentário
Pelo que eu vi, vai me ajudar e muito! Excelente.
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Estudante
Estudante fez um comentário
:)
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GILSON
GILSON fez um comentário
Excelente material!!
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