Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração
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Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração


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superior. As disciplinas de funções, cálculo diferencial e 
integral, cálculo numérico e equações diferenciais ocuparam grande 
parte do meu tempo, principalmente com relação as suas aplicações 
nas Ciências, Engenharia e Economia. A questão que passou a me 
preocupar era: 
\u2013 Qual é a função da Matemática nos cursos em que ela é ensi-
nada como disciplina formadora básica?
Em 1997 concluí o Mestrado em Matemática na Unijuí, em que 
não só entendi como a Matemática é usada nas Ciências, mas como ela 
é empregada para resolver problemas reais (Modelagem Matemática). 
Entusiasmado com o esclarecimento das questões de aplicação, fiz o 
Doutorado em Engenharia Mecânica/UFRGS (1998-2002), durante o 
qual tive a oportunidade de conhecer métodos matemáticos, que são 
a base da ciência moderna. 
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sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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Trabalho na Unijuí desde 1986 e atualmente dedico-me às ativi-
dades de ensino na Graduação e no Mestrado em Modelagem Mate-
mática. Neste Mestrado pesquiso aplicações de equações diferenciais 
em problemas de transferência de calor e massa, tais como: secagem 
de grãos, movimento da água no solo, irrigação e aquecimento/resfria-
mento de sólidos. Os problemas de economia e finanças também são 
de meu interesse e este livro é um passo nessa direção.
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matemática aPlicada à administração
grandeZas: raZão e ProPorção
Por meio do estudo dessa Unidade você terá condições de dominar a aplicação das pro-
priedades algébricas empregadas para resolver situações-problema da área de Administração e 
que envolvam grandezas direta e inversamente proporcionais. Parece difícil? Não se preocupe, 
porque vamos percorrer esse caminho juntos, passo a passo.
Para que possamos alcançar esses objetivos, as seções desta Unidade são:
Seção 1.1 Grandezas
Seção 1.2 Proporção
Seção 1.3 Regra de três
Seção 1.4 Porcentagem
Seção 1.5 Regra de Sociedade
Vamos dar o primeiro passo?
seção 1.1
grandezas
Uma grandeza é algo que podemos medir. Medir é comparar a quantidade de uma gran-
deza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como unidade padrão. 
Quando usamos uma régua para medir o comprimento de uma mesa estamos comparando uma 
Unidade I
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sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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unidade de medida padrão (metro, centímetro...) com o tamanho da grandeza comprimento. Nesse 
caso estamos interessados em saber quantos centímetros cabem no comprimento da mesa. Assim, 
comprimentos, áreas e volumes são grandezas. O peso de uma mercadoria, o comprimento de 
uma corda, o tempo de uma reunião, a massa corporal, a velocidade de um carro, o custo de uma 
mercadoria, a produção, o trabalho, a matéria-prima, o preço, etc., são exemplos de grandezas. 
A propriedade de uma grandeza é a sua capacidade de ser medida.
Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar, (lembre-se: o dinheiro 
é uma grandeza especial: cada país tem suas próprias unidades). 
1.1.1 raZão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b # 0, ao quociente entre eles. 
Indica-se a razão de a para b por 
b
a
, a/b ou a: b, onde o primeiro termo chama-se antecedente 
e o segundo chama-se conseqüente.
exemplo 1.1.1: Estão matriculados na EaD da Unijuí 30 rapazes e 35 moças. Encon-
tre a razão entre o número de rapazes e o número de moças (lembre-se que razão é 
divisão).
solução:
 
35
30
 simplificando temos 
7
6
 (dividimos por 5 os dois termos da razão) 
7
6
 (indica que para cada 6 rapazes existem 7 moças). 
7
6
 (lê-se 6 está para 7) e significa que para cada 6 corresponde 7.
Nessa razão, o 6 é o antecedente e o 7 o conseqüente.
Simples, não é?
ead
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matemática aPlicada à administração
Se a e b são dois números naturais (com b \u2260 0), chamamos de fração as expressões do tipo 
b
a
, onde o número colocado acima do traço chama-se numerador e indica quantas partes do 
inteiro foram tomadas e o número abaixo do traço chama-se denominador e indica em quantas 
partes iguais o inteiro foi dividido.
As frações representam uma parte, ou algumas partes, de um todo que foi dividido em 
partes iguais.
Fração 
7
6
: lê-se 6 sétimos e significa 6 partes do total de 7.
Propriedades das Frações
\uf046 Usaremos f1, f2, ..., para numerar as propriedades das frações:
f1 \u2013 Uma fração não se altera quando se multiplica seus dois termos pelo mesmo número dife-
rente de zero ou mesmo fazendo a divisão desta fração pelo mesmo divisor comum. 
exemplo 1.1.2: Vamos testar a propriedade F1:
 
5
3
 = 
65
63
\u22c5
\u22c5
 = 
30
18 
Você deve observar que obtemos 0,6 fazendo a divisão tanto em 
5
3
 quanto em 
30
18 .
O mesmo teste pode ser feito dividindo numerador e denominador pelo mesmo nú-
mero:
 
30
18 = 
6:30
6:18 = 
5
3
 
f2 \u2013 Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma fração por um número, a fração é mul-
tiplicada ou dividida por esse número. 
exemplo 1.1.3: Seja a fração 
3
2
. Multiplicando o numerador por 4, temos:
3
42 \u22c5
 = 
3
8
 (multiplicada por 4). Ou seja, 
3
8
 é quatro vezes maior que 
3
2
.
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sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
12
3
2:2
= 
3
1
(dividida por 2). Ou seja, 
3
1
 é a metade de 
3
2
.
f3 \u2013 Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma fração por um número, a fração 
é dividida ou multiplicada por esse número. 
exemplo 1.1.4: Seja a fração 
4
3
. Multiplicando o denominador por 2, temos:
24
3
\u22c5
 = 
8
3
 (a fração ficou dividida por 2). Ou seja, 
8
3
 é a metade de 
4
3
.
2:4
3
 = 
2
3
 (a fração ficou multiplicada por 2). Ou seja, 
2
3
 é o dobro de 
4
3
.
Agora que você já foi \u201capresentado\u201d à Razão, conhecerá a sua parente, a Razão Inversa. 
Vamos lá? 
razão inversa
Duas razões são inversas quando:
1) o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente da outra e vice-versa; ou 
2) o produto de uma razão pela outra for igual a 1.
exemplo 1.1.5: As razões 
10
5 e 
5
10 são inversas, pois o antecedente da primeira é 
igual ao conseqüente da segunda e vice-versa. Também podemos ver que são razões 
inversas por que
 
10
5 . 
5
10 = =
50
50 1.
Você deve estar se perguntando, há algum tempo:
\u2013 Mas... E daí? Por que estudar grandezas, a Razão é importante? Siga adiante e você vai 
compreender.
ead
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matemática aPlicada à administração
1.1.2 \u2013 aPlicações de raZão 
escala
Você já ouviu falar em escala?
Os desenhos de casas e mapas são feitos usando escalas. A escala é uma razão entre a 
medida no desenho e a medida do objeto real.
 
real medida
desenho no medida
Escala = 
exemplo 1.1.6: A distância entre as cidades A e B é de aproximadamente 800 km e o 
mapa que mostra esta distância corresponde a 2,5 cm. Qual a escala utilizada?
(lembre-se que na escala as medidas devem estar na mesma unidade). 
solução: Usando a definição de escala anterior temos:
E= 
km
cm
800
5,2
 = 
cm
cm
000.000.80
5,2
 
Aplicando a propriedade f1 das frações, dividimos antecedente e conseqüente por 
2,5 e obtemos:
E= 
cm
cm
000.000.32
1 . Escrevendo na forma de razão, temos:
E = 1: 32.000.000 (lê-se 1 para 32.000.000)
exemplo 1.1.7: Uma maquete de um edifício foi feita na escala de 1:100. 
A altura real do edifício é de 10 m. Qual é a altura aproximada do edifício na ma-
quete?
solução: A razão das grandezas da escala (
100
1
) é igual à razão entre as alturas do 
edifício na maquete (D) e na construção real (10 m). Assim,
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto
João
João fez um comentário
Pelo que eu vi, vai me ajudar e muito! Excelente.
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Estudante
Estudante fez um comentário
:)
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GILSON
GILSON fez um comentário
Excelente material!!
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