Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração
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Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração


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isto não é possível. Observe que, neste exemplo, calculamos as derivadas 
usando uma função pronta, construída com base em preços já praticados. Na prática não dispomos 
desta função, pois não conhecemos previamente os preços das ações. Essa análise, no entanto, 
pode ser útil para avaliar se as decisões tomadas durante o pregão foram acertadas. 
exemplo 3.6.2: Análise do preço de uma ação II
Suponhamos que dispomos dos preços da ação do Exemplo 3.6.1 durante as quatro 
primeiras horas de pregão e podemos encontrar a função que os descreve:
 y = 0,04x3 -0,4x2 +0,59x + 25 . 
O leitor deve entender que esta função limita-se ao tempo trasnscorrido (primeiras 4h 
de pregão). NÃO PODEMOS AFIRMAR que o preço da ação vai obedecer à função 
a partir das 4h. Podemos, no entanto, usar a função obtida como uma orientação para 
nossa decisão de comprar ou vender. 
Na Tabela 3.6.1 observamos que 4h encontra-se no intervalo 3,33 < x < 5,82, ou ao 
menos, x > 3,33, que é depois do ponto de inflexão, quando a função passou a ter 
concavidade para cima e tende para o ponto de mínimo. Com essa informação é pos-
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sível tomar as decisões propostas na 6ª coluna da tabela: COMPRAR, pois o preço 
tende a um mínimo (função decrescente com concavidade para cima) e , se o mínimo 
de fato se configurar, o preço irá subir; NÃO VENDER, pois se o preço tende a um 
mínimo, é melhor esperar uma alta, visando a uma venda mais lucrativa. 
É importante observar que este tipo de análise não garante a lucratividade das opções. 
É apenas uma indicação para a tomada de decisão!
23,4
23,6
23,8
24
24,2
24,4
24,6
24,8
25
25,2
25,4
0 1 2 3 4 5
Tempo (h)
P
re
ço
 d
a 
aç
ão
 (
$)
Figura 3.6.2: Gráfico do preço de uma ação
exemplo 3.6.3: Custo de produção e custo marginal de um produto 
Na Unidade 2 já comentamos sobre as funções Custo de Produção/Fabricação C(x) 
e Custo Marginal CM(x). Vamos retomar esses assuntos e aplicar os conceitos de 
derivadas e extremos locais.
Suponhamos que o Custo de Fabricação de um produto seja dado pela função
C(x) = 0,0123 x3 -0,415x2 + 4,8727x.
A derivada do Custo de Fabricação é a taxa de variação do custo por unidade produ-
zida, que é o próprio Custo Marginal. Assim, o Custo Marginal é
C´(x)=CM(x) = 0,0369 x2 \u2013 0,83x + 4,87 
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sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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Se calcularmos as raízes de C´(x), obtemos raízes não reais, as quais não têm signi-
ficado no nosso problema. Isto quer dizer, no entanto, que a primeira derivada não 
indica pontos críticos. Em outras palavras, a função custo não terá pontos de máximo 
nem mínimos locais.
A segunda derivada é 
C\u201d(x)=0,0738 x \u20130,83.
Fazendo C\u201d(x)=0 obtemos o ponto crítico \u201ccandidato\u201d a ponto de inflexão: xi = 11,24. 
Substituindo valores ligeiramente menores do que xi em C\u201d(x) verificamos que essa 
derivada é negativa. Substituindo valores ligeiramente maiores do que xi em C\u201d(x) 
verificamos que essa derivada é positiva. Assim, em xi = 11,24 C(x) tem um PONTO 
DE INFLEXÃO (Ver Figura 3.6.3 (a)). Este ponto também corresponde ao PONTO 
DE MÍNIMO da função custo marginal (Ver Figura 3.6.3 (b)).
 
Figura 3.6.3 (a): Custo de produção Figura 3.6.3 (b): Custo marginal
exemplo 3.6.4 \u2013 análise da variação da cesta básica 
A Tabela 3.6.2 mostra os valores da cesta básica em Porto Alegre, em 2008, e as res-
pectivas variações.
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tabela 3.6.2: custo da cesta básica de Porto alegre, 2008
Tempo(meses) C (R$) V (R$)
0 220 2,272727
1 225 2,222222
2 230 0,869565
3 232 -1,2931
4 229 -3,93013
5 220 0,909091
6 222 2,702703
7 228 2,631579
8 234 1,709402
9 238 0,840336
10 240 0
11 240 -0,41667
12 239 -
Os valores da coluna (C) são os valores da cesta básica e da coluna V são as variações 
mensais de C, calculadas com a fórmula:
\u22c5
\u2212
\u2212=
+
+
i1i
i1i
tt
CC
V (3.6.1)
Observe que esta fórmula é a derivada de C (taxa de variação de C em relação ao 
tempo, se C fosse uma função contínua):
Como ti+1 \u2013 ti =1 para um mês, podemos dizer que, numericamente,
 
i1i CC)t('Cdt
dC \u2212== + (3.6.2)
Essa taxa é, em regra, relacionada ao valor de Ci e escrita como uma taxa percen-
tualizada. Fazendo uma regra-de-três em que 100% é considerado o valor de C do 
mês anterior, temos:
100 Ci
V dV/dt
Podemos afirmar então que V é a TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUALIZADA da 
cesta básica e portanto, é uma \u201ctaxa percentualizada\u201d.
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sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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A função \u201cCesta Básica\u201d é uma função discreta, pois só temos valores de C ao final 
de cada mês. Por isso, para calcular a taxa de variação usamos a fórmula (3.6.1) e não 
as regras de derivação. As Figuras 3.6.5 e 3.6.6 apresentam os gráficos das funções 
C e V em função do tempo. Vamos analisar as informações que a derivada V nos dá 
sobre a função C.
Lembre-se que a derivada V é a taxa de variação de cada período (neste caso o pe-
ríodo é 1 mês). Assim, 
V(1) significa a variação de C no 1º mês; 
V(2) significa a variação de C no 2º mês; 
V(3) significa a variação de C no 3º, e assim por diante.
Observe que:
1. No 1º e 2º mês C aumenta quase linearmente, ou seja, as taxas de variação destes 
meses são muito próximas (veja a Tabela 3.6.2). Isto é mostrado na Figura 3.6.5 
com V(1) ~ V(2). (Variação do 1º mês semelhante à variação do 2º mês). Nestes 
meses V é positiva e C é crescente.
2. No 3º mês V diminui em relação ao 2º mês (Figura 3.6.5), mas continua positiva. 
Observe que C continua crescendo.
3. No 4º e 5º mês V torna-se negativa. Isso significa que C está decrescendo. Observe 
que ao passar do 3º para o 4º mês, V deve assumir um valor nulo neste intervalo. 
Isto significa que C parou de crescer (taxa de variação nula) exatamente neste 
ponto e passou a decrescer nos instantes seguintes.
Convidamos você a continuar a análise da cesta básica usando a taxa de variação, 
do 5o ao 12o mês.
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220 
225 
230 
235 
240 
245 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Tempo (meses) 
Ce
st
a 
Bá
si
ca 
($) 
Figura 3.6.4: Custo da Cesta Básica
 
-5 
-4 
-3 
-2 
-1 
0 
1 
2 
3 
4 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Tempo (meses) 
Va
ria
çã
o 
C
B 
($) 
Figura 3.6.5: Variação da Cesta Básica
Parabéns, você venceu a terceira Unidade. E, temos certeza, pôde verificar que as funções 
estão presentes no nosso dia-a-dia e são essenciais para facilitar algumas ações e também pla-
nejar decisões. Agora, vamos fazer mais um esforço e completar o estudo deste componente com 
as matrizes e sistemas lineares.
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matemática aPlicada à administração
matriZes e sistemas lineares
Nesta que é a última Unidade deste livro, nossos objetivos são:
1. Estudar matrizes como uma ferramenta matemática para organização e interpretação de dados 
referentes às necessidades do curso de Administração.
2. Apresentar e aplicar as propriedades e operações de matrizes.
3. Resolver problemas empregando matrizes e sistemas lineares.
E, para alcançar estas metas, dividimos a Unidade em quatro seções, a saber:
Seção 4.1 \u2013 Noções de matrizes e organização de dados com matrizes
Seção 4.2 \u2013 Tipos de matrizes
Seção 4.3 \u2013 Operações com matrizes
Seção 4.4 \u2013 Sistemas lineares
seção 4.1
noções de matrizes e organização de dados com matrizes
As matrizes são agrupamentos usados para resolver problemas que apresentam muitos 
dados e operações em seqüência, tais como controle de estoques, orçamentos de custos e recei-
tas,
João
João fez um comentário
Pelo que eu vi, vai me ajudar e muito! Excelente.
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Estudante
Estudante fez um comentário
:)
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GILSON
GILSON fez um comentário
Excelente material!!
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