Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração
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Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração


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a base com o expoente no denominador, por exemplo: (ver propriedade PP2 
das potências).
x3
x3
2
1
2y == \u2212
Se o x cresce, o denominador cresce e a fração tende a zero. Dê alguns valores para x, cada 
vez maiores e verifique esta tendência (use a calculadora).
4. (a) e (b) Use EXP(X) para a base \u201ce\u201d.
 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-2 -1 0 1 2
X
Y
a
b
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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exercícios 2.5.3
1 a) x = 3
 b) x = 2
 c) x = -6
 d) x = 20.
2 a) Use V = Vo/2 na Eq. 2.5.3 e resolva a equação resultante para t, usando as propriedades das 
potências. Você deve encontrar t = 1/b.
b) Nesse caso, t = 2/b. Se b = 0,23, então t = 2/0,23 = 8,6 anos, ou aproximadamente t = 8 
anos e 8 meses.
exercícios 2.5.4
1 a) PG: {1,3,9,27,81}
 b) S5=121
 c) S5=121
2. a) ao = 1; r = i; n = 5.
 b) 
i1
i1
S
5
5 \u2212
\u2212=
3.a) ao = 1; r = i; n .
 b) 
i1
i1
S
n
n \u2212
\u2212=
4.a) ao = 1; r = 1,04; n .
 b) 
 
04,11
04,11
S
n
n \u2212
\u2212=
ead
169
matemática aPlicada à administração
5. Nessas condições, a população de ratos é P = 3·5n. Para n = 5, temos
 P = 3·55=9.375 ratos.
6. S1, S3 e S4 são exponenciais. S2 não é.
7. a) t (me-
ses)
C(t)
0 2450
1 2472,05
 2 2494,298
3 2516,747
4 2539,398
5 2562,252
6 2585,313
 b) 
2440
2460
2480
2500
2520
2540
2560
2580
2600
0 1 2 3 4 5 6
Tempo, t (meses)
C
ap
it
al
,C
,(
$)
c) A curva é uma função exponencial. Se você calcular \u2206C/\u2206t para cada dois pontos (lembre 
do coeficiente angular da reta), obterá resultados diferentes, portanto, não é uma reta.
8. C = R$ 55.748,08. (Lembre-se que a taxa dada é mensal).
exercícios 2.5.5
1 a) 2log
3
1
x = f) 3lnx \u2212= 
 b) 8log4x += g) 5ln2x += 
 c) ( )15log5
3
1
x 5+= h) 10ln4x += 
 d) 4logx 3= i) 8lnx = 
 e) ( )24 3/1logx = j) ( )24/1lnx = 
2. Dividindo a equação dada por Co, temos:
 
t
o
i
C
C =
.
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Aplicando logaritmo de base 10 nos dois lados, temos:
 
t
o
ilog
C
C
log =
Usando a propriedade PL6 no lado direito, temos:
 
ilogt
C
C
log
o
=
E, finalmente:
 ilog
C/Clog
t o=
Usando os dados do problema:
 t= 15 meses.
Unidade 3
exercícios 3.1
1. tempos (a) (b)
t inicial t final \u2206P/\u2206t Cresce/decresce
1 2 1,52 Cresce
1 3 1,25 Cresce
5 7 0,91 Decresce
 c) 
39,5
40
40,5
41
41,5
42
42,5
43
43,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tempo (h)
P
re
ço
 (
$)
2. a) crescimento: meses 1,2,6,7 e 8.
 b) decrescimento: meses 3,4 e 5.
 c) o mês em que a arrecadação mais cresceu foi o 8º.
ead
171
matemática aPlicada à administração
exercícios 3.2
1) Resposta da letra (a) na 5ª coluna.
t P(R$) dP (R$) dt (dia) TP (R$/dia)
1 2,5 -0,3 4 -0,075
5 2,2 0,4 10 0,04
15 2,6 0,2 15 0,013333
30 2,8 - - -
 b) 
Preço do feijão ($)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 10 20 30 40
Tempo (dias)
P
re
ço
 (
$)
 c) 
Taxa de variação Média
-0,1
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0 5 10 15 20 25 30
Tempo (dias)
T
P
 (
$/
d
ia
)
d) Do dia 1 ao 5 a taxa de variação foi negativa (-0,08), o que significa que o preço do feijão 
baixou 0,08 R$/dia, em média. Do dia 5 ao 10, a taxa foi de 0,04 R$/dia (feijão subiu 0,04 
R$/dia) e do 15 ao 30 dia o preço do feijão aumentou 0,013 R$/dia, em média.
2. a) 
Preço do Petróleo ($)
0
20
40
60
80
100
120
140
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Tempo (dias)
P
 (
$)
2 b) A função cresce até o mês 10 (derivada positiva). Mantém o preço no mês 11 (derivada zero) 
e decresce nos meses seguintes (derivada negativa).
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2c) Nos dias 10 e 11 o preço é máximo. Observe que a derivada para o dia 10 (taxa de variação) 
é nula.
t (dia) Preço(R$) Derivada(R$/dia)
1 21 12,6
2 33,6 13,6
3 47,2 14
4 61,2 13,8
5 75 13
6 88 11,6
7 99,6 9,6
8 109,2 7
9 116,2 3,8
10 120 0
11 120 -4,5
12 115,5 -9,3
13 106,2 -15
14 91,2 -21,2
15 70
exercícios 3.3.1
1.a) y\u2019 = 4x3 d) y\u2019 = 3x2 +2x \u2013 1 
 b) y\u2019 = 3x2 + 2x e) y\u2019 = 2x-1 
 c) y\u2019 = 5x4 +4x3 -2x f) y\u2019 = 2x + 4 
2. y\u2019= 3x2 \u2013 1 
x y\u2019 Comportamento de y
-3 26 Cresce
-2 11 Cresce
-1 2 Cresce
0 -1 Decresce
1 2 Cresce
2 11 Cresce
3 26 Cresce
ead
173
matemática aPlicada à administração
3. Observe que o gráfico da função deixa dúvidas sobre o comportamento desta no intervalo 
(-1,1). A derivada, no entanto, indica claramente que a função não é crescente para todo x. 
Em x = 0 a função DECRESCE.
 
-30
-20
-10
0
10
20
30
-3 -2 -1 0 1 2 3
X
Y
exercícios 3.3.2
1.a) y\u2019= 6x2 f) y\u2019= 5ex -6x+2 
 b) y\u2019= 9x2 -6x+1 g) y\u2019= 2x+1 
 c) y\u2019= -4x3 +1 h) y\u2019= ex(x2 +3x+2)
 d) y\u2019= 2ex (1+x) i) y\u2019= 2ex (1+x)-1
 e) y\u2019= ex(3x2 +6x+1) j) y\u2019= ex(1+x)-2x+2
2. A derivada da função é y\u2019= ex(1+x).
 Substituindo x=1, temos: y\u2019=2e, que é positivo, portanto a função cresce em x=1.
3. y\u2019= 0 para x=-1.
4 e 5. y\u2019= 4x-3. Para x = ¾, temos y\u2019= 0. Veja que 
 para x> ¾, temos y\u2019positiva e y é crescente. 
 para x< ¾, temos y\u2019negativa e y é decrescente. 
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exercícios 3.3.3
1 a) 
22
2
)1x(
1x
'y
\u2212
\u2212\u2212=
 c) 1x
)1x2x(e
'y
2
2x
\u2212
\u2212\u2212=
 b) 
22
2
)1x(
1x4x
'y
\u2212
\u2212\u2212\u2212=
 d) 
2x
x
)x2e(
)1x(e2
'y
+
\u2212=
2. y\u2019(2) = -5/9, portanto y decresce.
 
2)1x(
)2x(x
'y
+
+=
3.. A derivada y\u2019só será zero se o numerador da fração for zero. Então:
 x(x+2) = 0.
 Para x = 0 e x = -2, temos y\u2019= 0.
exercícios 3.3.4
1.a) y\u2019= 9(3x-4)2 d) y\u2019= 3e3x+1 
 b) y\u2019= 4(x2-2x+1)(x-1) e) y\u2019= e2x(2x+1)
 c) y\u2019= 18x2(2x3-3) 2 f) y\u2019= 3e4x(4x+1)
2.a) y\u2019= 6x5 + 6x2 b) y\u2019= 6x5 + 6x2 
3.a) y\u2019= 30x2(x3+1)9
b) É possível fazer, mas é muito trabalhoso. Por isso (também!), a regra da cadeia é impor-
tante.
ead
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matemática aPlicada à administração
exercícios 3.4
1.a) y\u2019= 3x2; y\u2019(1)=3 ; y cresce 
 b) y\u2019= 6x2 \u2013 8x ; y\u2019(2)=8 ; y cresce 
 c) y\u2019= ex(1+x) ; y\u2019(-1)=0 ; y não cresce e nem decresce 
 d) y\u2019= ex+1; y\u2019(0)=e ; y cresce 
2.a) y\u2019= 4x-4; x=1. ; 
 b) y\u2019= x2 +3x + 2 x=-1. e x = -2.
exercícios 3.5.1
1.a) x = 3/2. c) x = -1 e x = 2. 
 b) x = 1/6. c) x = 1. 
2.a) x = 3/2. é extremo de máximo.
 b) x = 1. é extremo de mínimo.
 c) x = 3. é extremo de mínimo.
 x = -2. é extremo de máximo.
exercícios 3.5.2
1.a) y\u201d = 2 e y\u201d(1)=2, portanto, em x = 1, y é côncava para cima.
 b) y\u201d = 6 e y\u201d(2)=-6, portanto, em x = 2, y é côncava para baixo.
 c) y\u201d = 6x-4 e y\u201d(2)=4, portanto, em x = 2, y é côncava para cima.
 d) y\u201d = 2x-2 e y\u201d(0)=-2, portanto, em x = 0, y é côncava para baixo.
ead
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2.a) y\u201d = 2. A função é côncava para cima para todo x. 
 b) y\u201d = -6. A função é côncava para baixo para todo x. 
 c) y\u201d = 6x-4. Para x > 2/3 a função y é côncava para cima. 
 Para x < 2/3 a função y é côncava para baixo. 
 d) y\u201d = 2x-2. Para x > 1 a função y é côncava para cima. 
 Para x < 1 a função y é côncava para baixo. 
exercícios 3.5.3
1.a) x = 2/3. c) x = ½. 
 b) x = 2/3. d) x = 1/3. 
2. 
Máximo Mínimo inflexão
a x = -1 x = 3 x = 1
b x =-3 x = 1 x = -1
c x = 1 x = 5 x = 2
d x = -3 x = 4 x = ½
João
João fez um comentário
Pelo que eu vi, vai me ajudar e muito! Excelente.
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Estudante
Estudante fez um comentário
:)
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GILSON
GILSON fez um comentário
Excelente material!!
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