Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração
182 pág.

Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração


DisciplinaMatemática para Negócios6.816 materiais58.795 seguidores
Pré-visualização26 páginas
Pereira Borges
14
100
1
 = 
m
D
10
 
 
Empregando a propriedade f1, multiplicamos o numerador e o denominador da 
segunda razão por 10 e obtemos duas razões com denominadores iguais. 
100
1
= 
100
D10
1010
10D =
\u22c5
\u22c5
Se os denominadores são iguais, então os numeradores também serão iguais. Por-
tanto:
10\u22c5D = 1 
D = 0,10m.
Agora que você conheceu (e entendeu) a primeira aplicação para a razão, vamos passar 
para outra aplicação: Velocidade.
velocidade
A velocidade (V) de um objeto qualquer, se deslocando em uma trajetória, é a razão entre 
a distância percorrida e o tempo. 
(h) tempo
(km) distância
V =
(Observe que neste caso as unidades das grandezas são diferentes).
exemplo 1.1.8: 
150km/2h = 75km/h (as unidades km/h não podem ser simplificadas)
taXa
As taxas são razões entre duas grandezas. Estas taxas podem ser relacionadas a conjuntos de 
100, 1000,... unidades das grandezas envolvidas. Em outras palavras, multiplicadas por 100, 1000,... 
Dois exemplos desse tipo de taxa são a taxa de crescimento populacional e a taxa de juros.
ead
15
matemática aPlicada à administração
exemplo 1.1.9: A taxa de variação (crescimento ou decrescimento) da população de 
uma cidade, em um certo período, é uma razão entre a variação do número de habi-
tantes (\u2206P, delta P), pelo número de habitantes que moravam na cidade no início do 
período considerado. Uma cidade tinha 80.000 habitantes no fim de 2007 e 86.000 
habitantes no fim de 2008. Qual é a taxa de crescimento da população desta cidade, 
no período considerado?
solução: A variação do número de habitantes é \u2206P=86.000-80.000=6.000. A taxa de 
crescimento é
075,0
80000
6000
P
P
t ==\u2206= 
Isto significa que a população aumentou 0,075 habitante para cada habitante residen-
te em 2007. Esta taxa é mais útil quando associada à população de 100 habitantes. 
Multiplicando a taxa por 100, temos:
t = 7,5 para cada 100 habitantes residentes em 2007. Isso, porém, não é tudo. Se você 
percebeu a importância de entender esse conteúdo, veja uma outra aplicação...
taXa de jUros
A taxa de juros de um capital aplicado, em um certo período, é uma razão entre a varia-
ção do capital (\u2206C, delta C), pelo capital aplicado (C), multiplicada por 100. Ficou interessado? 
Aguarde, pois estudaremos este tipo de taxa mais adiante. Agora ainda é preciso apresentar 
você aos \u201cÍndices\u201d!
1.1.3 \u2013 índices
São obtidos por meio da comparação entre duas grandezas independentes. Ou, em outras 
palavras: índices são razões entre duas grandezas independentes. Veja alguns exemplos:
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
16
total superfície
total população
ademográfic Densidade =
 
nonacional/a população
nonacional/a renda
capitaper Renda =
Além dessas aplicações, muito utilizadas quando se trata de censo, por exemplo, também 
temos uma outra aplicação muito conhecida, que são os índices econômicos.
índices econÔmicos
 
população
produto do totalvalor 
capitaper Produção =
Onde o \u201cvalor total do produto\u201d é o PIB (Produto Interno Bruto).
 
população
país um de bens de total consumo
capitaper Consumo =
população
 totalreceita
capitaper Receita =
Percebeu como é importante o estudo dos índices? Ainda precisamos, no entanto, citar os 
coeficientes. Veja por que na seqüência.
coeFicientes
São razões entre o número de ocorrências e o número total.
 
total população
snascimento de n
natalidade de eCoeficient
o
= 
 
total população
óbitos de n
emortalidad de eCoeficient
o
=
ead
17
matemática aPlicada à administração
Não são poucas as vezes em que ouvimos falar sobre esses dois coeficientes, não é mesmo? 
A seguir você terá exemplo comentado de como calcular uma razão, porém o que vimos até aqui 
servirá de subsídio para você resolver alguns exercícios que propomos no intuito de que tenha 
segurança de que aprendeu o que acabamos de ver.
exemplo 1.1.10 \u2013 Determine a razão que é igual a 
5
3
 e cujo antecedente seja igual 
a 9.
solução: Das condições do problema podemos afirmar que 
5
3
=
x
9
 . Observe que se 
multiplicarmos o antecedente por 3, obtemos o antecedente 9. Usando a propriedade 
das frações f1, multiplicamos também por 3 o conseqüente e obtemos x= 15. Então 
a nova razão é 9/15.
eXercícios 1.1.
1. Calcular as razões de:
 a) 5 e 15 d) 
2
7
 e 
3
14
 b) 64 e 4 e) 1,2 e 
5
4
 c) 
3
2
 e 6 f) 3,5 m e 0,7 dam
2. Determinar o antecedente e/ou conseqüente das seguintes razões, sabendo que:
 a) o conseqüente é 10 e a razão é 
5
3
;
 b) o antecedente é 
3
2
 e a razão é 
14
12
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
18
3. A miniatura de um colégio foi feita na escala de 1 : 100, a altura real do colégio é de 20 m. 
Qual a altura aproximada da miniatura?
4. Um copo de suco corresponde a 250 ml. Um bar fez suco para 48 copos. Quantos litros de 
suco foram feitos?
Se você realizou todos os cálculos, poderá conferir se as respostas estão corretos no final 
deste livro, mas não engane a si mesmo. Só depois de ter se esforçado para responder e achar o 
resultado é que você deve CONFERIR se está correto.
\uf046 Lembre-se: enganar a si mesmo é uma grande bobagem e dominar esses conteúdos 
básicos é essencial para o seu progresso!
Após esta \u201ccombinação\u201d, passaremos para o estudo da segunda seção desta Unidade: 
Proporção! 
seção 1.2
Proporção
Uma proporção é a igualdade entre razões 
b
a
= 
d
c
Os números que formam a proporção chamam-se, em geral, termos. O primeiro (a) e o 
quarto (d) chamam-se de extremos, o segundo (b) e o terceiro (c), meios.
Exemplo: =
4
12 
2
6
 formam uma proporção.
Essa proporção também pode ser escrita da seguinte forma: 12:4::6:2, e lê-se 12 está para 
4, assim como 6 está para 2.
ead
19
matemática aPlicada à administração
Assim como as frações, as proporções também têm propriedades, as quais apresentaremos 
para você e, da mesma forma, também utilizaremos PP1, PP2 para numerá-las.
ProPriedades das ProPorções
Propriedade fundamental: em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto 
dos meios. 
Na proporção 
d
c
b
a = , multiplicando os extremos e os meios, obtemos a igualdade ad = bc.
 
PP1) Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro 
(ou para o segundo), assim como a soma ou diferença dos dois últimos está para o terceiro 
(ou quarto).
No exemplo anterior:
 =
4
12 = 
2
6
 =±
12
412 
6
26 ± ou =±
4
412
2
26 ±
PP2) Em uma proporção, a soma do primeiro com o terceiro (a+c) está para a soma do segundo 
com o quarto termo (b+d), assim como o terceiro está para o quarto. 
Seja a proporção 
d
c
b
a = . Usando a PP2, temos
b
a
d
c
db
ca ==
+
+
Deixamos para você substituir as letras por números e verificar se esta propriedade é cor-
reta!
PP3) Em uma proporção, a troca de posições entre o primeiro e o quarto termos não altera a 
proporção. O mesmo ocorre para a troca entre o segundo e o terceiro. 
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
20
Seja a proporção 
d
c
b
a = . Usando a PP3, temos
 
d
b
c
a
a
c
b
d == ou .
exemplo 1.2.1 \u2013 Taxa percentual 
Chama-se taxa percentual ou porcentagem de um número \u201ca\u201d sobre o número \u201cb\u201d, 
com b # 0, à razão:
100
x
 tal que 
100
x
= 
b
a
 (indica-se 
100
x
 por x%)
Você deve lembrar que o símbolo % lê-se \u201cpor cento\u201d e significa centésimos. 
Qual é a taxa percentual de 6 sobre 30? 
solução:
Sendo x % a taxa percentual,
João
João fez um comentário
Pelo que eu vi, vai me ajudar e muito! Excelente.
0 aprovações
Estudante
Estudante fez um comentário
:)
0 aprovações
GILSON
GILSON fez um comentário
Excelente material!!
0 aprovações
Carregar mais