Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração
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Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração


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temos pela definição que:
100
x
= 
30
6 Usando a propriedade fundamental, temos:
x = 
30
6100 \u22c5 = 20. Então, a taxa percentual é 20%.
 Além de princípio fundamental e dos outros três apresentados até aqui, também temos 
o princípio de igualdade que, por sua vez, também se subdivide em outros dois princípios, o 
aditivo e o multiplicativo.
Princípios de equivalência de igualdade
iGUaLdade \u2013 é uma sentença matemática em que as expressões matemáticas estão li-
gadas pelo sinal =.
A expressão situada à esquerda do sinal = é denominada 1º membro da igualdade.
A expressão situada à direita do sinal = é denominada 2º membro da igualdade.
ead
21
matemática aPlicada à administração
Assim, vale lembrar que as equações são igualdades. A solução de uma equação consiste 
em obter o valor da incógnita (neste caso nos referimos à incógnita da equação, que não sabemos 
qual é) usando os \u201cprincípios da igualdade\u201d, expostos a seguir.
Os princípios da igualdade são: 
1) Princípio aditivo: em uma igualdade, podemos adicionar um mesmo número aos dois mem-
bros e a igualdade permanece. 
exemplo 1.2.2 \u2013 resolver a equação:
x + 10 = \u2013 5 
solução: Aplicando o princípio aditivo: adicionamos (-10) a ambos os membros da 
equação, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.
x + 10 + (-10) = -5 + (-10)
Simplificando a equação equivalente, obtemos 
x = -15.
2) Princípio multiplicativo: em uma igualdade, podemos multiplicar ou dividir os dois membros 
por um mesmo número não nulo, e a igualdade permanece. 
exemplo 1.2.3 \u2013 resolver as equações:
a) 5x = 25 b) -3x = 9
solução:
a) Ainda usando o princípio multiplicativo, multiplicamos ambos os lados da equação 
dada por 1/5, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.
5x .
5
1
 = 25 . 
5
1
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
22
5
5x
= 
5
25
x = 5.
b) Ainda usando o princípio multiplicativo, dividimos ambos os lados da equação 
dada por (-3), com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.
3
3
\u2212
\u2212 x
 = 
3
9
\u2212
x = -3
exemplo 1.2.4 \u2013 determinar a e b na proporção 
6
a
 = 
3
b
, sabendo-se que a sua soma 
é 21. 
solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos
 
36
ba
+
+
= 
3
b
 
 Usando a condição do problema: a + b = 21, temos
 
9
21 =
6
a
=
3
b
Usando a primeira igualdade, temos
 
9
21 =
6
a
Aplicando a propriedade fundamental das proporções em cada uma das igualdades, 
temos:
Na primeira igualdade: Na segunda igualdade:
21 · 6 =9 · a 21 x 3 = 9 x b
126 = 9 a 63= 9b
ead
23
matemática aPlicada à administração
9
126
=a 
9
63 = 9b
a=14 b = 7
exemplo 1.2.5 \u2013 Dadas as razões 
2
x
= 
5
y
= 
8
z
 encontre o valor de x, y e z, sabendo-
se que x+y+z =150.
solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos:
852 ++
++ Zyx
= 
2
x
= 
5
y
= 
8
z
 .
Usando a condição do problema, temos
 
15
150 = 
2
x
; 
15
150 = 
5
y
 ; 
15
150 = 
8
z
Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
150.2 = 15.x 150.5 = 15y 150.8 = 15z
 300 = 15x 750 = 15y 1200 = 15z
 
15
300 = x 
15
750 = y 
15
1200 = z
X=20 y= 50 z= 80 
exemplo 1.2.6 \u2013 Dadas as razões =
2
x
 =
5
y
 
8
z
 calcule o valor de x, y e z sabendo-se 
que 5x+2y+3z=440.
solução: Como precisamos de 5x, 2y e 3z para empregarmos o valor de sua soma, 
isto é, 440, usando a propriedade f1 das frações, multiplicaremos os termos da 
primeira razão por 5, os da segunda por 2 e os da terceira por 3. Teremos então: 
=
10
5x =
10
2y
 
24
3z
 
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
24
Aplicando a propriedade PP2 das proporções:
=
++
++
241010
325 zyx
 =
10
5x =
10
2y
 
24
3z
 
Substituindo o numerador da 1ª igualdade, temos
=
44
440
 
2
x
 =
44
440
 
5
Y
 =
44
440
8
Z
Usando a propriedade fundamental das proporções, nas três equações anteriores, 
obtemos:
x = 20 ; y = 50 e z = 80.
Chegou a vez de testar os seus conhecimentos!
eXercícios 1.2.1
1. Escreva sob a forma de número decimal as seguintes porcentagens:
 a) 12% b) 140% 
2. Calcule:
 a) 30% de 270 b) 0,7% de 4.900
3. Calcule 20% de 50% (lembre-se: escrever 20% de 50% significa 20% \u22c5 50%). 
ead
25
matemática aPlicada à administração
Considerando que você já fez todos os exercícios, ainda queremos retomar o tema da seção 
1.1 que trata de grandezas e pensá-las com base nas proporções, tema desta seção 1.2.
grandeZas diretamente ProPorcionais 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra 
também aumenta na mesma proporção, ou diminuindo uma delas, a outra também diminui na 
mesma proporção. 
Se duas grandezas a e b são diretamente proporcionais, então os números que expressam 
essas grandezas variam na mesma razão, isto é
b
a
=k , onde k é um número chamado constante de proporcionalidade.
exemplo 1.2.7 \u2013 Os números 3, 4 e 6, respectivamente, são diretamente proporcionais 
a 12,16, 24. Qual é a constante de proporcionalidade ?
solução: Se os números dados são diretamente proporcionais, significa que a razão 
entre eles é a mesma. 
12
3
=
16
4
=
24
6
 
Usando a propriedade f1 das frações é fácil mostrar que podemos reduzir todas 
essas razões a ¼.
Assim, k = 
4
1
 é a constante de proporcionalidade.
exemplo 1.2.8 \u2013 A soma das idades de Carlos e Jair é 36 anos. Sabe-se que elas estão 
na razão de 2 para 10. Qual a idade de cada um?
solução: O dado do problema indica que C+J = 36. Fazendo a proporção sugerida 
no problema, temos
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
26
 
J
C
= 
10
2
 
Observe que 
J
C
= 
10
2
 pode ser escrito 
2
C
 = 
10
J aplicando a propriedade PP3 das 
proporções. Usando a propriedade PP2, temos:
102 +
+ JC
= 
12
36
=
2
C
=
10
J
 
Usando a propriedade fundamental das proporções, na segunda igualdade, obte-
mos
C=6.
Usando a propriedade fundamental das proporções, na proporção entre a segunda 
e a terceira razão, obtemos
J=30. 
Carlos tem 6 anos e Jair 30 anos.
Atenção: Uma maneira de conferirmos se as respostas estão corretas é verificar se o 
produto dos meios é igual ao produto dos extremos, substituindo os valores de C e J na pro-
porção do problema.
30
6
= 
10
2
 
Observe que 6 \u2022 10 = 30 \u2022 2. 
exemplo 1.2.9 \u2013 Dividir o número 55 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 
e 6.
solução: Do problema, podemos concluir que 
a+b+c=55 e 
2
a
= 
3
b
=
6
c
.
Usando a propriedade PP2 e a equação do problema, temos:
ead
27
matemática aPlicada à administração
632 ++
++ cba
= 
11
55 =
2
a
= 
3
b
 =
6
c
 
Da segunda proporção, temos:
 
11
55 =
2
a
 e usando a propriedade fundamental, temos; a = 10.
Da igualdade da 2ª e 4ª razão, temos:
 
11
55 = 
3
b
 e usando a propriedade fundamental, temos; b = 15.
Da igualdade da 2ª e 5ª razão, temos:
 
11
55 =
6
c
 e usando a propriedade fundamental, temos; c = 30.
Verificação: 
2
10
=
3
15
=
6
30
 (todos os quocientes são igual a 5 )
grandeZas inversamente ProPorcionais:
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra di-
João
João fez um comentário
Pelo que eu vi, vai me ajudar e muito! Excelente.
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Estudante
Estudante fez um comentário
:)
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GILSON
GILSON fez um comentário
Excelente material!!
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