Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração
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Apostila UNIJUÍ - Matemática aplicada à administração


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minui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. 
Se duas grandezas a e b são inversamente proporcionais, os números que expressam essas 
grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante k, tal que 
a · b = k. 
exemplo 1.2.10 \u2013 Os números 2, 4, 5 são inversamente proporcionais a 20, 10 e 8. 
Qual é a constante de proporcionalidade k?
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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solução: você deve observar que a seqüência de números 2, 4, 5 é crescente e a se-
qüência de números 20, 10 e 8 é decrescente. Se os números dados são inversamente 
proporcionais, então as razões entre eles são iguais. 
20
2
= 
10
4
= 
8
5
 . 
A constante de proporcionalidade é 40. Observe que 
2 \u2022 20 = 40, 4 \u2022 10 = 40 e 5 \u2022 8 = 40.
exemplo 1.2.11 \u2013 Dividir o número 174 em partes inversamente proporcionais aos 
números 3, 5 e 9. 
solução: Sejam x, y e z essas partes, então x+y+z = 174 e 
3/1
x
= 
5/1
y
 = 
9/1
z
Usando a PP2 e a equação do problema, temos:
3/1
x
= 
5/1
y
 = 
9/1
z
=
9/15/13/1 ++
++ zyx
= 
45/29
174
(Lembre-se: adição de frações +
3
1
 +
5
1
9
1
 = 
45
5915 ++
= 
45
29
 ).
A última razão pode ser escrita da seguinte forma:
29
45174 \u22c5
= 
29
7830
= 270
Construindo proporções com a 1ª , 2ª , 3ª e 5ª razão e resolvendo-as para x, y e z, 
obtemos: 
 x= 90 ; y= 54 e z=30.
ead
29
matemática aPlicada à administração
Para que você possa perceber a aplicação do que estudamos, apresentamos um problema 
que envolve operações com proporções inversas.
exemplo 1.2.12 \u2013 Dividir entre três alunos 31 livros em partes inversamente propor-
cionais aos erros que tiveram na prova de Matemática Financeira. O aluno A teve 2 
erros, o aluno B , 3 erros e o aluno C, 5 erros.
solução: Os valores 2, 3 e 5 precisam ser representados em forma inversa aos seus 
valores, ou seja :
O inverso de 2 é ½, de 3 é 1/3 e de 5 é 1/5.
Considerando a, b e c o número de livros recebidos por cada aluno, temos:
 a + b + c = 31 e 
5/1
c
3/1
b
2/1
a == 
Usando a PP2, temos:
 
5/1
c
3/1
b
2/1
a
1
30
30/31
31
5/13/12/1
cba =====
++
++
Aplicando a propriedade fundamental das proporções formadas pelas razões 3ª e 4ª, 
3ª e 5ª e 3ª e 6ª, obtemos, respectivamente:
a = 15; b = 10 e c = 6.
Note que à medida que você avança no estudo desta unidade, mais você precisa do que 
estudou no princípio dela. Dessa forma, não siga adiante se tem dúvidas. Leia o material nova-
mente, refaça os cálculos e, somente depois, siga adiante!
seção 1.3
regra-de-três
Quando se pretende calcular uma quantidade desconhecida, direta ou inversamente pro-
porcional às demais quantidades conhecidas, tem-se um problema de regra-de-três.
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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regra-de-três simples: 
A regra-de-três simples é direta ou inversa. É direta quando, crescendo os termos principais, 
seus relativos também crescem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos 
também diminuem.
exemplo 1.3.1 \u2013 Um operário levou 18 dias para construir um muro de 126 metros. 
Quantos dias levará para fazer outro muro igual com 252 metros?
solução: As quantidades 126 e 252 metros são as principais, 18 é o número de dias 
que pretendemos calcular, são os relativos.
Se um operário levou 18 dias para fazer 126 metros de um muro, levará mais dias 
para fazer outro de 252 metros.
Trata-se de uma regra-de-três simples e direta. 
Metros Dias
126 18 
252 x 
Escrevendo em forma de proporção: =
252
126
 
x
18 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções: 
126 \u22c5 x = 252 \u22c5 18
x = 
126
18252 \u22c5
x = 36 dias.
A regra-de-três é inversa quando, crescendo os termos principais, os seus relativos dimi-
nuem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos crescem. 
ead
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matemática aPlicada à administração
exemplo 1.3.2 \u2013 15 operários levam 8 dias para realizar um determinado trabalho. 
Quantos dias levarão 5 operários para a conclusão do mesmo serviço?
solução: Colocando na forma da regra-de-três, temos:
Operários Dias
15 8 
 5 x 
O número de operários, porém, é inversamente proporcional ao número de dias: di-
minuindo o número de operários, aumenta o número de dias. Para usar a propriedade 
fundamental das proporções, precisamos inverter a segunda razão: 
=
5
15
 
8
x
 
 
Usando a propriedade fundamental, temos
5x = 8 · 15 
x = 
 
5
158 \u22c5 
x = 24 dias.
Lembre-se: a solução de um problema de regra-de-três simples, direta ou inversa, 
resume-se em calcular o quarto termo de uma proporção.
regra-de-três composta: 
É aquela que para resolução de seus problemas envolve três ou mais grandezas, sendo 
estas diretas ou inversamente proporcionais.
Para resolvê-los:
a) Escreve-se numa mesma coluna a grandeza de mesma espécie.
ead
sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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b) Identifica-se as grandezas direta ou inversamente proporcionais.
c) Escreve-se a proporção correspondente e resolve-se.
exemplo 1.3.3 \u2013 Se 30 pedreiros fazem 528 m de parede em 40 dias, quantos metros 
de parede farão 50 pedreiros em 45 dias?
solução: 
Disposição dos dados:
30 pedreiros em 40 dias fazem 528 metros.
50 pedreiros em 45 dias fazem x metros.
Observe que quanto mais pedreiros, mais metros de parede serão feitos. Da mesma 
forma, quanto mais tempo, mais metros de parede serão feitos. Assim sendo, as duas 
primeiras grandezas são diretamente proporcionais à terceira.
Reduzindo o problema a uma regra-de-três simples, fazemos: 
 
x
528
2250
120
4550
4030 ==
\u22c5
\u22c5
 
Aplicando a propriedade fundamental na regra-de-três simples, temos:
x = 990 m.
exemplo 1.3.4 \u2013 Se 12 pedreiros fizeram certa obra em 26 dias, trabalhando 12 horas 
por dia, quer-se saber em quantos dias 8 pedreiros farão a mesma obra, trabalhando 
13 horas por dia.
solução:
Disposição dos dados:
ead
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matemática aPlicada à administração
12 pedreiros a 12 horas gastam 26 dias.
 8 pedreiros a 13 horas gastam x dias.
Observe que quanto MAIS pedreiros, MENOS dias serão necessários. Da mesma 
forma, quanto MAIS horas por dia trabalharem, MENOS dias serão necessários. 
Então, as duas primeiras grandezas são inversamente proporcionais à terceira.
Reduzindo o problema a uma regra-de-três simples, fazemos: 
 x
26
104
144
138
1212 ==
\u22c5
\u22c5
 
Invertendo a posição da última razão, temos
 26
x
104
144 = 
Usando a propriedade fundamental das proporções, temos:
x= 
104
26144 \u22c5 = 36 dias.
eXercícios 1.3.
1) Uma fábrica de roupas produz 100 camisas em 1 hora de trabalho. Quantas camisas a fábrica 
produzirá em 3 horas?
2) Quinze operários constroem uma casa em 120 dias. Caso a obra fosse construída com mais 
5 operários, qual seria o tempo necessário?
3) Um certo trabalho é feito por 50 homens, trabalhando 14 horas por dia, em 60 dias. Quantos 
homens seriam necessários para fazer o mesmo trabalho, em 100 dias, trabalhando 12 horas 
por dia? 
4) Durante 10 dias um automóvel percorre 800 km andando 8 horas por dia. Quantos quilôme-
tros percorreria se, com o dobro da velocidade, andasse 10 horas por dia, durante 6 dias?
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sonia Beatriz teles drews \u2013 Pedro augusto Pereira Borges
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5) Para construir 25 armazéns de soja são necessários 60 homens, trabalhando 10 horas por dia. 
Se 14 homens são dispensados, quantos armazéns farão trabalhando 12 horas por dia? 
Concluída a seção
João
João fez um comentário
Pelo que eu vi, vai me ajudar e muito! Excelente.
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Estudante
Estudante fez um comentário
:)
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GILSON
GILSON fez um comentário
Excelente material!!
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