APOSTILA MATRIZES
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APOSTILA MATRIZES


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a 
 11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31,a a a a a a a a a a a a a a a a a a\u2212 \u2212 + + \u2212
 
 15
que também estão relacionados à matriz de coeficientes do sistema, dada por 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
 
Os denominadores mencionados acima são chamados de determinantes das matrizes 
de coeficientes. 
Para podermos definir determinante, precisamos da noção de inversão, dada a seguir: 
 
Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, , existe uma inversão quando um 
inteiro precede outro menor do que ele. 
2, , n\u2026
 
Podemos agora definir o conceito de determinante. 
 
Definição: O determinante de uma matriz quadrada ijA a\u23a1 \u23a4= \u23a3 \u23a6 é definido como 
 ( )
1 21 2
det 1 ,
n
J
j j njA a a
\u3c1
= \u2212 a\u2211 \u2026 
onde é o número de inversões da permutação ( 1 2, , , nJ J j j j= \u2026 ) ( )1 2, , , nj j j\u2026 e \u3c1 indica 
que a soma ocorre sobre todas as permutações de ( )1,2, ,n\u2026 (existem permutações). !n
Podemos fazer as seguintes observações com relação a essa definição. 
 
Obs.: (i) Em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento de cada linha e um, 
e apenas um, elemento de cada coluna da matriz; 
(ii) O determinante também pode ser definido através da fórmula 
 ( )
1 21 2
det 1 ,
n
J
j j j nA a a
\u3c1
= \u2212 a\u2211 \u2026 
 
Exemplos: 
(1) [ ]det a a= 
(2) 11 12 11 22 12 21
21 22
det
a a
a a a a
a a
\u23a1 \u23a4 = \u2212\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
 16
(3) 
11 12 13
21 22 23 11 22 33 11 23 32 12 21 33
31 32 33
12 23 31 13 21 32 13 22 31
det
a a a
a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a a a a
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5 = \u2212 \u2212\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
+ + \u2212
 
Propriedades: 
 
(1) Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz A são nulos, então 
. det 0A =
Dem.: Segue-se imediatamente da observação (i). 
(2) det det TA A= . 
Dem.: Se ijA a\u23a1 \u23a4= \u23a3 \u23a6 , sabemos que T ijA b\u23a1 \u23a4= \u23a3 \u23a6 , onde ij jib a= . Sendo assim, 
 
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
det 1
1
det ,
n
n
J
ij j j nj
J
j j j n
ij
b b b
a a a
a
\u3c1
\u3c1
\u23a1 \u23a4 = \u2212\u23a3 \u23a6
= \u2212
\u23a1 \u23a4= \u23a3 \u23a6
b\u2211
\u2211
\u2026
\u2026 
pela observação (ii). 
Exemplo: , .
a b a c
ad bc ad bc
c d b d
= \u2212 = \u2212 
(3) Se a linha de uma matriz é multiplicada por uma constante, o determinante fica 
multiplicado por esta constante. 
Dem.: Segue-se imediatamente da observação (i). 
Exemplo: ( ) .ka kb a bkad kbc k ad bc k
c d c d
= \u2212 = \u2212 = 
(4) A troca da posição de duas linhas (ou colunas) altera o sinal do determinante, 
mas não o seu valor numérico. 
Dem.: Quando duas linhas são trocadas, é alterada a paridade do número de 
inversões dos índices, o que significa que o sinal dos termos é trocado. 
Exemplo: ( ), .a b c dad bc cb ad ad bc
c d a b
= \u2212 = \u2212 = \u2212 \u2212 
 17
(5) O determinante de uma matriz que tem duas linhas (ou colunas) iguais é zero. 
Dem.: Quando as posições das linhas iguais são trocadas, o determinante troca 
de sinal, pela propriedade (4). Por outro lado, a matriz que resulta da troca de 
linhas (ou colunas) é a mesma de antes, o que significa que o determinante tem 
que ser o mesmo. Portanto, a única possibilidade é que o determinante seja nulo. 
(6) Se uma linha (ou coluna) é um múltiplo de outra linha (ou coluna), então o valor 
do determinante é zero. 
Dem.: Mesmo argumento utilizado acima, utilizando também a propriedade (3). 
(7) O determinante não se altera se for somada a uma linha (ou coluna) outra linha 
(ou coluna) multiplicada por uma constante. 
Exemplo: ( ) ( ) .a b aa d kb b c ka ad bc
c ka d kb c d
= + \u2212 + = \u2212 =+ +
b
)
 
(8) ( ) ( )(det det detAB A= B 
 
2.2 Desenvolvimento de Laplace 
O determinante de uma matriz A de dimensão 3x3 pode ser escrito como 
 
 
( ) ( ) ( )
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31 13 21 32 13 23 31
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31
22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
11 11 12 12 13 13 ,
A a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
a a a
a a a a a a
a A a A a A
= \u2212 \u2212 + + \u2212
= \u2212 \u2212 \u2212 + \u2212
= \u2212 +
= \u2212 +
 
 
onde ijA é a submatriz da matriz inicial que resulta da retirada da i-ésima linha e da j-ésima 
coluna. 
Defina agora ( )1 i jij ijA+\u2206 = \u2212 , chamado de o cofator do elemento . A fórmula do 
desenvolvimento de Laplace é a seguinte: 
ija
 
1
det ,
n
n n ij ij
j
A a×
=
= \u2206\u2211 
 18
onde podemos observar que o determinante foi desenvolvido pela i-ésima linha. Uma 
fórmula análoga vale para o desenvolvimento a partir de uma determinada coluna. 
 
Exemplos: 
(1)
 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )12 22 32
1 2 3
2 1 1 2 1 1 2 2 1 8 1 7 5
2 1 2
A
\u2212
= \u2212 = \u2212 \u2206 + \u2206 + \u2212 \u2206 = \u2212 \u2212 + + \u2212
\u2212 \u2212
,= 
onde ( ) ( ) ( )1 2 2 2 3 212 22 322 1 1 3 1 31 2, 1 8 e 12 2 2 2 2 1
+ +\u2212\u2206 = \u2212 = \u2212 \u2206 = \u2212 = \u2206 = \u2212\u2212 \u2212
+
\u2212 . 
 
(2) 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )( )
1 1 2
1 1 2
3 3 2
7
2 2
2
3 7
2 2
1 2 3 4 5 2 3 4
5 3 4
4 2 0 0 0 2 0 0
2 1 5 3 0
1 2 3 0 5 2 3 0
8 3 1
2 5 3 1 8 5 3 1
5 3 4 10 0 4
10 4
2 5 3 0 2 5 3 0 2 3 1
13 1
8 3 1 13 0 1
6 10 52 372.
C C C
L L L
L L L
+
\u2192 \u2212
+
\u2192 +
\u2192 +
\u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \u2212
= = \u2212 \u2212\u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \u2212\u2212
\u2212
= \u2212 = \u2212 = \u2212 \u2212 \u2212\u2212 \u2212 \u2212
= \u2212 \u2212 \u2212 =
\u2212
 
 
2.3 Cálculo da matriz inversa 
 
Definição: A matriz de cofatores de uma matriz n nA × é definida como ijA \u23a1 \u23a4= \u2206\u23a3 \u23a6 . 
 
Exemplo: Considere a matriz 
2 1 0
3 1 4
1 6 5
A
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5= \u2212\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
. Então 
 ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1 311 12 131 4 3 4 3 11 19, 1 19, 1 19,6 5 1 5 1 6
+ + +\u2212 \u2212\u2206 = \u2212 = \u2212 \u2206 = \u2212 = \u2206 = \u2212 = \u2212 
e assim por diante, de maneira que 
 19
 
19 19 19
5 10 11
4 8 5
A
\u2212 \u2212
.
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5= \u2212 \u2212\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u2212\u23a3 \u23a6
 
 
Definição: Dada uma matriz quadrada A, definimos a matriz adjunta de A como sendo a 
transposta da matriz dos cofatores de A. 
 
Exemplo: Para a matriz A do exemplo anterior, temos 
 
19 5 4
19 10 8 .
19 11 5
adj A
\u2212 \u2212\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5= \u2212\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u2212 \u2212\u23a3 \u23a6
 
Teorema: ( ) ( )detT nAA A adj A A I= = . 
Dem.: (Para ) 3n =
Considere uma matriz A de dimensão 3x3. Então 
 ( ) 11 12 13 11 21 3121 22 23 12 22 32
31 32 33 13 23 33
,ij
a a a
A adj A a a a c
a a a
\u2206 \u2206 \u2206\u23a1 \u23a4 \u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5 \u23a1 \u23a4= \u2206 \u2206 \u2206 = \u23a3 \u23a6\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5 \u23a2 \u23a5\u2206 \u2206 \u2206\u23a3 \u23a6 \u23a3 \u23a6
 
 
onde 
 11 11 11 12 12 13 13
12 11 21 12 22 13 23
det
,
c a a a
c a a a
= \u2206 + \u2206 + \u2206 =
= \u2206 + \u2206 + \u2206
A
e assim por diante. Podemos verificar que corresponde ao desenvolvimento de Laplace 
de 
12c
11 12 13
11 12 13
31 32 33
a a a
a a a
a a a
, que é igual a zero porque duas linhas são iguais. 
Analogamente, , de forma que det e 0,ii ijc A c i= = j\u2260
 ( ) ( ) 3
det 0 0
0 det 0 det .
0 0 det
A
A adj A A A I
A
\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5= =\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
 
 
Dada uma matriz quadrada A de ordem n que possua inversa, temos que 
 20
 ( ) ( )( )1 1det det det .AA A A\u2212 \u2212= 
 
Além disso, sabemos que 1 nAA I
\u2212 = e que det 1nI = , de maneira que 
( )( )1det det 1A A\u2212 = . Podemos então concluir que, se A tem inversa, então 
(i) det 0A \u2260
(ii) 1 1det
det
A
A
\u2212 = , 
ou seja, é uma condição necessária para que A tenha inversa. Mas essa condição é 
também suficiente, pois sabemos que 
det 0A \u2260
( )detTAA A= I , de forma que, se , então det 0A \u2260
11 e 
det det
T 1 TA A I A A
A A
\u2212\u239b \u239e \u239b \u239e= =\u239c \u239f \u239c \u239f\u239d \u23a0 \u239d \u23a0 . Isso conduz ao seguinte resultado: 
 
Teorema: Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, det . Nesse caso, 0A \u2260
 ( )1 1 .
det
A adj A
A
\u2212 = 
 
Exemplo: Seja . Então 
4 1 1
0 3 2
3 0 7
A
\u2212\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5= \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
99 0B = \u2260 e a matriz de cofatores é 
 
 
3 2 0 2 0 3
0 7 3 7 3 0
21 6 9
1 1 4 1 4 1
7 31 3
0 7 3 7 3 0
5 8 12
1 1 4 1 4 1
3 2 0 2 0 3
\u23a1 \u23a4\u2212\u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5
.
\u2212\u23a1 \u23a4\u23a2 \u23a5\u2212 \u2212 \u23a2 \u23a5\u23a2 \u23a5\u2212 = \u2212\u23a2
Ricardo
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Valeu! Humberto.
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