PESQUISA OPERACIONAL (7)

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PESQUISA OPERACIONALUNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL – UNIJUÍ
VICE-REITORIA DE GRADUAÇÃO – VRG
COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA – CEaD
Coleção Educação a Distância
Série Livro-Texto
Ijuí, Rio Grande do Sul, Brasil
2012
Martin Ledermann
Nivia Maria Kinalski
PESQUISA
OPERACIONAL
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
2
 2012, Editora Unijuí
Rua do Comércio, 1364
98700-000 - Ijuí - RS - Brasil
Fone: (0__55) 3332-0217
Fax: (0__55) 3332-0216
E-mail: editora@unijui.edu.br
www.editoraunijui.com.br
Editor: Gilmar Antonio Bedin
Editor-adjunto: Joel Corso
Capa: Elias Ricardo Schüssler
Designer Educacional: Jociane Dal Molin Berbaum
Responsabilidade Editorial, Gráfica e Administrativa:
Editora Unijuí da Universidade Regional do Noroeste
do Estado do Rio Grande do Sul (Unijuí; Ijuí, RS, Brasil)
Catalogação na Publicação:
Biblioteca Universitária Mario Osorio Marques – Unijuí
L473p Ledermann, Martin.
Pesquisa operacional / Martin Ledermann, Nivia
Maria Kinalski. – Ijuí : Ed. Unijuí, 2012. – 164 p. – (Co-
leção educação a distância. Série livro-texto).
ISBN 978-85-7429-988-4
1. Organizações. 2. Administração. 3. Pesquisa
operacional. 4. Planejamento. 5. Processo decisório. 6.
Programação linear. I. Kinalski, Nivia Maria. II. Título.
III. Série.
CDU : 65.012.122
 519.248
 519.85/.87
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PESQUISA OPERACIONAL
SumárioSumárioSumárioSumário
CONHECENDO OS AUTORES .....................................................................................................5
APRESENTAÇÃO ............................................................................................................................9
O QUE VAMOS ESTUDAR ..........................................................................................................11
UNIDADE 1 – CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL ...........................................15
Seção 1.1 – Pesquisa Operacional: surgimento e conceito .....................................................15
Seção 1.2 – Fases de um Estudo em Pesquisa Operacional ....................................................17
Seção 1.3 – Pesquisa Operacional e a Relação com o Processo Decisório ...........................19
1.3.1 – Características do Processo Decisório ................................................................19
1.3.2 – Classificação das Decisões ...................................................................................21
1.3.3 – Qualidade das Decisões .......................................................................................21
1.3.4 – Obstáculos a uma Decisão de Qualidade .........................................................22
Seção 1.4 – Enfoque Gerencial da Pesquisa Operacional .......................................................23
Seção 1.5 – A Natureza da Pesquisa Operacional ....................................................................24
Seção 1.6 – Teoria Clássica de Otimização ................................................................................25
UNIDADE 2 – PROGRAMAÇÃO LINEAR ................................................................................27
Seção 2.1 – Modelo em Programação Linear ............................................................................28
Seção 2.2 – O Método Simplex ...................................................................................................38
Seção 2.3 – Solução Ótima pelo Método Simplex ...................................................................47
Seção 2.4 – O Problema da Minimização ..................................................................................53
Seção 2.5 – O Problema da Solução Básica Inicial ..................................................................56
Seção 2.6 – O Método Gráfico de Resolução de Problemas de Programação Linear ..........68
Seção 2.7 – O Uso da Ferramenta Solver ...................................................................................72
Seção 2.8 – Análise de Sensibilidade ..........................................................................................77
Seção 2.9 – Dualidade ...................................................................................................................82
Seção 2.10 – Interpretação Econômica da Dualidade .............................................................84
Seção 2.11 – Análise Econômica.................................................................................................87
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UNIDADE 3 – PROBLEMA DO TRANSPORTE .......................................................................91
Seção 3.1 – Modelo em Problemas de Transporte .....................................................................93
Seção 3.2 – O Caso dos Sistemas não Equilibrados .................................................................95
Seção 3.3 – Métodos para Resolução de Problemas de Transporte ........................................96
Seção 3.4 – Solução Ótima em Problemas de Transporte ..................................................... 109
UNIDADE 4 – TEORIA DAS FILAS ........................................................................................ 121
Seção 4.1 – Aspectos Gerais da Teoria das Filas .................................................................... 121
Seção 4.2 – Características de uma Fila .................................................................................. 123
Seção 4.3 – Localização das Variáveis Aleatórias .................................................................. 125
Seção 4.4 – Modelo de Fila M/M/1 .......................................................................................... 130
Seção 4.5 – Modelo de Fila M/M/C ......................................................................................... 133
UNIDADE 5 – PROGRAMAÇÃO DINÂMICA E MODELOS DE ESTOQUE ................... 139
Seção 5.1 – Introdução a Programação Dinâmica e Modelos de Estoque ........................ 139
Seção 5.2 – Principais Características ..................................................................................... 139
Seção 5.3 – Programação Dinâmica, Modelos Dinâmicos e Problemas de Aplicação ........ 140
UNIDADE 6 – SIMULAÇÃO..................................................................................................... 151
Seção 6.1 – Introdução à Simulação ....................................................................................... 151
Seção 6.2 – Vantagens e desvantagens da simulação ........................................................... 152
Seção 6.3 – Área de aplicação da Simulação ......................................................................... 153
Seção 6.4 – Tipos e modelos de simulação .............................................................................. 154
Seção 6.5 – Etapas de um projeto de simulação .................................................................... 154
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................... 163
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PESQUISA OPERACIONAL
Conhecendo os AutoresConhecendo os AutoresConhecendo os AutoresConhecendo os Autores
Martin Ledermann
Natural de Ijuí, nasceu no dia 14 de maio de 1972. Cursou o
Ensino Fundamental na Escola Estadual de Ensino Fundamental
Giovana Margarita, de Vila Floresta, interior do município de Ijuí.
Após concluir esta etapa do estudo, ingressou na Escola Estadual
de Ensino Médio Ruy Barbosa. Graduou-se em Administração no
ano de 2000 na Unijuí. Em 2003 concluiu o curso de Pós-Gradua-
ção Lato Sensu em Marketing, também na Unijuí. No ano de 2007
recebeu o título de Mestre em Desenvolvimento, novamente pela
Unijuí.
Enquanto estudava, exerceu várias atividades. Foi auxiliar
de almoxarifado e controlador de estoques na Indústria de Máqui-
nas Agrícolas Fuchs S.A. – Imasa. Também atuou como Técnico
Administrativo na 17ª CoordenadoriaRegional de Saúde, órgão
ligado à Secretaria Estadual de Saúde do Estado do Rio Grande
do Sul.
Atuou no Programa Diagnóstico Empresarial firmado entre
Unijuí e Sebrae, quando diagnosticou 149 empresas da Região
Noroeste do Estado do RS pertencentes aos seguintes setores: têx-
til, metal-mecânico, moveleiro, alimentício, construção civil e tu-
rismo. Além disso, desempenhou a função de negociador de
consultorias e cursos de capacitação por meio do convênio Unijuí/
Sebrae no período de outubro de 2003 a setembro de 2006. Exerce
a função de consultor empresarial na área de marketing. Foi Pró-
Reitor da Unijuí no campus Três Passos no período de janeiro a
junho de 2011 e no campus Panambi de julho a agosto do mesmo
ano. Atualmente é coordenador do curso de Administração da
Unijuí no campus do município de Três Passos.
Foi professor substituto da Universidade Federal de Santa
Maria, no Centro de Educação Superior do Noroeste do Estado –
Cesnors – situado no município de Palmeira das Missões, onde
ministrou as seguintes disciplinas: Marketing A, Pesquisa
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Operacional, Economia Rural e Gestão da Produção, Logística e
Materiais I. É professor da Unijuí, ligado ao Departamento das
Ciências Administrativas, Contábeis, Econômicas e da Comunica-
ção (Dacec), ministrando as disciplinas de Administração de
Marketing I, Administração de Marketing II, Pesquisa Operacional,
Administração da Produção e Operações I, Administração da Pro-
dução e Operações II, Gestão de Produtos e Marcas, Marketing Es-
tratégico, Marketing Industrial e Estratégias de Distribuição e
Logística.
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PESQUISA OPERACIONAL
Nivia Maria Kinalski
Natural de Ijuí, nasceu no dia 28 de dezembro de 1975. Cur-
sou o Ensino Fundamental na Escola Estadual de Dr. Bozano, da
cidade de Bozano. Após concluir esta etapa do estudo ingressou
na Escola Estadual de Ensino Médio Ruy Barbosa. Graduou-se
em Licenciatura em Matemática no ano de 2001 pela Unijuí. Em
2004 recebeu o título de Mestre em Modelagem Matemática, no-
vamente pela Unijuí, com a defesa da dissertação intitulada “Mo-
delagem da produção de vacas leiteiras com utilização de pasta-
gem e silagem de milho”, sob orientação do professor doutor Jorge
Luiz Berto.
No início de sua vida acadêmica já exercia atividades de re-
gência de classe, coordenadora de estágio e professora auxiliar de
Matemática, mas foi após a conquista do título de graduada em
Ciências com Habilitação Matemática do Ensino Fundamental e
Médio que passou a se dedicar inteiramente à profissão. Em 2001
foi professora substituta de Ciências e de Matemática para alunos
do Colégio Sagrado Coração de Jesus, em Ijuí, RS. Em 2003 lecio-
nou Matemática para alunos do Colégio Geração Positiva e da
Sociedade Educacional Três de Maio (Setren).
Em 2004 ingressou no quadro funcional da Unijuí, onde per-
manece até hoje, lecionando para alunos de diferentes cursos, como
Administração, Agronomia, Engenharia Elétrica, Engenharia Ci-
vil, Engenharia Mecânica, Tecnologia em Agronegócios, Biologia,
Ciências da Computação, Ciências Contábeis, Economia, Medici-
na Veterinária, Nutrição, Fisioterapia, Enfermagem, Farmácia e
Química, as disciplinas de: Geometria Analítica e Vetores, Progra-
mação de Sistemas de Produção Agropecuários, Métodos Estatísti-
cos, Cálculos I, II, III e IV, Bioestatística, Estatística e Probabilida-
de, Matemática, Fundamentos da Matemática, Matemática Aplica-
da à Administração, Modelização de Sistemas Agropecuários, Ál-
gebra Linear, Funções II, Álgebra Moderna, Matemática Básica,
Geometria II, Álgebra Vetorial, Geometria Analítica, Matemática
Básica II, Estatística, Matemática no Ensino Fundamental II.
Sua participação na Universidade, entretanto, não se limita
às atividades docentes, pois participou de projetos de pesquisa,
como do Núcleo de Formação Pedagógica Geral (NFPG), “A União
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faz a Força” (convênio Sicredi x Unijuí); do Colegiado do antigo
Departamento de Física, Estatística e Matemática; e de atividades
de extensão universitária.
Ao longo de todo este tempo também atuou como docente
do Senac (2008-2009), ministrando módulos dos cursos de
Empacotador, Formação do Preço de Venda, Matemática Comercial
e Financeira, Módulos de Matemática, Oficinas de Matemática e
Operador de Caixa. Participou, inclusive, da elaboração de material
didático dos referidos cursos.
Sua participação como docente também ocorreu no Institu-
to Federal Farroupilha (IFF), de Santo Augusto, no período de 2009
a 2011, e em cursos preparatórios para concursos, como Einsteen
(Carazinho), Potencial (São Luiz Gonzaga), Futuro (Cruz Alta),
Data Work (Cerro Largo). Desde 1997 é professora particular de
Matemática, auxiliando os alunos do Ensino Fundamental e Mé-
dio no aprendizado da disciplina.
Participou da apresentação de inúmeros trabalhos em even-
tos científicos, oficinas e fóruns. Orientou alunos na elaboração
de seus trabalhos de conclusão de curso e tem participado, com
frequência, de eventos em busca de aperfeiçoamento dos seus co-
nhecimentos.
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PESQUISA OPERACIONAL
ApresentaçãoApresentaçãoApresentaçãoApresentação
Constituímos esta obra com o propósito de provar a aplicabilidade da Matemática, ou
seja, dos números, na Administração das empresas. Esperamos com isso quebrar alguns
paradigmas e amenizar um pouco o receio que os atuais e futuros gestores têm quando se
deparam com questões quantitativas.
Inegavelmente o mundo mergulhou profundamente na Era da Informação e do Co-
nhecimento. Criatividade, inteligência e tecnologia formam um conjunto de elementos que
se constituem na forma ideal para o desenvolvimento das sociedades e das organizações.
Na área gerencial, a procura cada vez mais acirrada por maiores participações de mer-
cado, pela anulação da concorrência, pela conquista de novos clientes e manutenção dos
atuais, pela qualidade do produto, pela maximização dos resultados e pela minimização dos
dispêndios, tem levado as empresas a buscarem conhecimentos e técnicas que vão ao en-
contro destes objetivos.
Ao elaborarmos este livro-texto temos convicção de algumas situações. Uma delas é
que muitos cursos de Administração, Economia, além das Engenharias, mantêm em seus
Projetos Político-Pedagógicos a disciplina de Pesquisa Operacional. Isso remete à ideia de
que este componente curricular é importante e suas técnicas são utilizadas para a resolução
de problemas e encaminhamentos de ações nas mais variadas situações.
Outra é que parte das pessoas que se encaminham para alguns desses cursos têm
grandes dificuldades de assimilar conhecimentos na área quantitativa. E Pesquisa
Operacional se sustenta basicamente por meio de operações quantitativas. Podemos afir-
mar, entretanto, que não existe dificuldade que não possa ser superada.
Diante destes elementos, este livro-texto tem o propósito de desmistificar e mostrar a
aplicabilidade das ferramentas da Pesquisa Operacional, que incluem o uso da Matemática
e da Estatística na resolução de problemas da área da Administração. Para atingir este
propósito esta obra emprega uma linguagem simples e de fácil compreensão, com exemplos
práticos que possibilitam o bom entendimento do conteúdo.
Este é um livro-texto para ler, entender e praticar. A partir da leitura desta obra ex-
pressões como Programação Linear, Modelo Matemático, Dualidade, Análise de Sensibili-
dade, Problema de Transporte, Teoria das Filas, Programação Dinâmica, Modelos de Esto-
que e Simulação farão parte da rotina profissional daqueles que a lerem. Um grande abraço
a todos e bons estudos.
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PESQUISA OPERACIONAL
O Que Vamos EstudarO Que Vamos EstudarO Que Vamos EstudarO Que Vamos Estudar
Para que possamos dar conta do que se propõe este componente curricular e atingir os
objetivos estabelecidos, o conteúdo deste livro está organizadoem seis unidades, descritas
no Quadro 1.
Quadro 1: Conteúdo programático.
Fonte: Elaborado pelos autores.
Unidade Título Conteúdo 
UNIDADE 1 • Conhecendo a Pesquisa 
Operacional 
• Pesquisa Operacional: surgimento e conceito 
• Fases de um Estudo em Pesquisa Operacional 
• Pesquisa Operacional e a Relação com o 
Processo Decisório 
• Enfoque Gerencial da Pesquisa Operacional 
• A Natureza da Pesquisa Operacional 
• Teoria Clássica de Otimização 
UNIDADE 2 • Programação Linear • Modelos em Programação Linear 
• O Método Simplex 
• Solução Ótima Através do Método Simplex 
• O Problema da Solução Básica Inicial 
• O Problema da Minimização 
• O Uso da Ferramenta Solver 
• O Método Gráfico 
• Análise de Sensibilidade 
• Dualidade 
• Interpretação Econômica da Dualidade 
• Análise Econômica 
UNIDADE 3 • Problema do Transporte • Modelo em Problemas de Transporte 
• O Caso dos Sistemas Não Equilibrados 
• Métodos de Resolução para Problemas de 
Transporte 
• Solução Ótima em Problemas de Transporte 
UNIDADE 4 • Teoria das Filas • Aspectos Gerais da Teoria das Filas 
• Características 
• Localização das Variáveis Aleatórias 
• Modelo de Fila M/M/1 
• Modelo de Fila M/M/C 
UNIDADE 5 • Programação Dinâmica e 
Modelos de Estoque 
• Introdução à Programação Dinâmica e Modelos 
de Estoque 
• Principais Características, Modelos Dinâmicos e 
Problemas de Aplicação 
UNIDADE 6 • Simulação • Introdução à Simulação 
• Vantagens e Desvantagens da Simulação 
• Área de Aplicação da Simulação 
• Tipos de Modelos de Simulação 
• Etapas de um Projeto de Simulação 
• Exemplo de Modelo de Simulação 
 
 
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
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UNIDADE 1
A Unidade 1 tem como objetivo proporcionar o suporte teórico necessário para o bom
entendimento dos conteúdos do componente curricular. Fazem parte desta Unidade o con-
ceito de Pesquisa Operacional, seu surgimento e fases de estudo; a relação da Pesquisa
Operacional com o Processo Decisório, em que os conceitos de decisão e as peculiaridades
do processo decisório serão abordados.
UNIDADE 2
O objetivo da Unidade 2 é mostrar a resolução de problemas de Programação Line-
ar. Nesta Unidade os acadêmicos aprenderão a transformar em modelos matemáticos
situações reais do dia a dia das empresas, para depois resolvê-los por meio do Método
Simplex e do Método Gráfico, além de fazer a Análise de Sensibilidade e a Análise Eco-
nômica. Também resolveremos problemas relacionados à Solução Básica Inicial e pro-
blemas de minimização. Outro tema relacionado a esse capítulo do livro-texto é o uso
da ferramenta Solver para a resolução de problemas de Programação Linear. Além disso,
fazem parte desta Unidade a construção e resolução de modelos duais e sua interpreta-
ção econômica.
UNIDADE 3
A Unidade 3 trata basicamente de situações de transporte. Resumidamente, esta Uni-
dade busca mostrar aos leitores do livro-texto como e quais métodos podem ser utilizados
para ajudar as empresas a minimizar os custos com logística. Para tanto, além da constru-
ção de modelos matemáticos, esta etapa mostrará o caso dos sistemas não equilibrados, os
três métodos de resolução desse tipo de problema, que são o Método do Custo Mínimo, o
Método do Canto Noroeste e o Método de Vogel, e a solução ótima em Problemas de Trans-
porte.
UNIDADE 4
A Unidade 4 aborda especificamente a Teoria das Filas. Essa teoria tem sido aplicada
na solução de problemas relativos de tráfego (congestionamento), em programação de tráfe-
go aéreo, em projetos de represas, em programação de produção, em operações hospitalares,
na resolução de problemas de filas em bancos e supermercados, entre outras aplicações. Os
conteúdos desta Unidade são: introdução à pesquisa operacional, aspectos gerais da Teoria
das Filas, características das filas, localização das variáveis aleatórias, Modelo de fila M/M/
1 e Modelo de fila M/M/C.
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PESQUISA OPERACIONAL
UNIDADE 5
A Unidade 5 tem o objetivo de revelar técnicas de Programação Dinâmica e Modelos
de Estoque e está dividida nas seguintes etapas: introdução à programação dinâmica e
modelos de estoque, principais características da programação dinâmica e dos modelos de
estoque, modelos dinâmicos de estoque e problemas de aplicação.
UNIDADE 6
A Unidade 6 apresenta as técnicas de simulação que, de uma maneira resumida, pres-
supõe o emprego de computadores e gera resultados como potencial de vendas e análise de
atrasos na expedição de produtos pelo exame de tabelas de números aleatórios que são
essenciais aos programas. Fazem parte desta Unidade os seguintes conteúdos: introdução à
simulação, vantagens e desvantagens da simulação, área de aplicação da simulação, tipos
de modelos de simulação, etapas de um projeto de simulação e exemplo de modelo de simu-
lação
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PESQUISA OPERACIONAL
Unidade 1Unidade 1Unidade 1Unidade 1
CONHECENDO A PESQUISA OPERACIONAL
OBJETIVOS DESTA UNIDADE
Esta unidade tem o propósito de subsidiar, do ponto de vista teórico, os conteúdos das
unidades subsequentes. Para tanto, abordaremos nesta etapa os conceitos de Pesquisa
Operacional, seu surgimento, as fases de um estudo em Pesquisa Operacional, a relação da
Pesquisa Operacional com o Processo Decisório, os conceitos de decisão e as peculiaridades
do processo decisório.
AS SEÇÕES DESTA UNIDADE
Seção 1.1 – Pesquisa Operacional: surgimento e conceito
Seção 1.2 – Fases de um Estudo em Pesquisa Operacional
Seção 1.3 – Pesquisa Operacional e a Relação com o Processo Decisório
Seção 1.4 – Enfoque Gerencial da Pesquisa Operacional
Seção 1.5 – A Natureza da Pesquisa Operacional
Seção 1.6 – Teoria Clássica de Otimização
Seção 1.1
Pesquisa Operacional: surgimento e conceito
Iniciaremos nossos estudos abordando o surgimento da Pesquisa Operacional. De acor-
do com Andrade (2000), surgiu pela primeira vez durante a Segunda Guerra Mundial, quan-
do pesquisadores procuraram desenvolver métodos para resolver problemas de operações
militares. O sucesso dessas ações levou o mundo acadêmico e empresarial a utilizar suas
técnicas em problemas da administração.
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Para você, afinal, que está lendo este livro, o que é Pesquisa Operacional? Já ouviu
falar algo sobre esta disciplina? Para Silva et al. (2009), Pesquisa Operacional é um método
científico para as tomadas de decisão. Consiste basicamente na descrição de situações re-
ais, que são transformadas em modelos matemáticos que, por sua vez, servirão de base para
a utilização de algumas ferramentas, cujo objetivo é alcançar o melhor resultado possível.
As ferramentas de Pesquisa Operacional geralmente são utilizadas para maximizar lucros
ou minimizar custos.
Para começar a entender para que servem os métodos de Pesquisa Operacional, utili-
zaremos um exemplo de maximização de lucro:
A Pizzas do Sul, empresa localizada no município de Três Passos, Estado do RS, após
análise de seu mercado, identificou a possibilidade de produzir dois tipos de produtos: pizzas
tamanho “G” e pizzas tamanho “GG”. O lucro de cada unidade de pizza tamanho “G” é de
R$ 8,00. Já o lucro de cada unidade de pizzas tamanho “GG” é de R$ 2,00. O tempo neces-
sário para produzir uma unidade de pizza tamanho “G” é de 2 horas, enquanto que o tempo
necessário para produzir uma unidade de pizza tamanho “GG” é de 3 horas. Para produzir
uma pizza tamanho “G” são necessários 2 funcionários, enquanto que para produzir uma
pizza tamanho “GG” utiliza-se apenas 1 funcionário. Além disso, uma pesquisa de merca-
do encomendada pela empresa indicou que a demanda diária para as pizzas tamanho “G” é
de até 20 unidades, enquanto que a demanda diária por pizzas tamanho “GG” não é supe-
rior a 28 unidades. Construa o modelo de Programação Linear, indique as quantidades de
cada tipo de pizza que deverão ser produzidas e indique o lucro máximo, considerando que
a empresa dispõe de até 12 horas diárias e no máximo 8 funcionários por dia para a produ-
ção dessesdois produtos.
O resultado deste exemplo indica que a Pizzas do Sul deve produzir 4 unidades de
pizzas “G” e nenhuma unidade de pizza “GG”, gerando um lucro máximo de R$ 32,00. A
produção ficou limitada a esta quantidade devido ao número de funcionários disponíveis,
que é de apenas 8. Além disso, considerando essa quantidade produzida, sobraram 4 horas
de mão de obra sem serem utilizadas, e uma demanda de 16 unidades de pizzas “G” ainda a
ser atendida, além da demanda de 28 unidades de pizzas tamanho “GG”. E como chegar a
estas conclusões? A resposta é simples: com o uso das ferramentas de Pesquisa Operacional.
Na segunda seção deste livro utilizaremos este mesmo exemplo e ensinaremos o passo-a-
passo para chegar a este resultado.
Este é apenas um exemplo relacionado à aplicabilidade das ferramentas da Pesquisa
Operacional. Programação Linear, Problemas de Transporte, Teoria das Filas, Programação
Dinâmica, Modelos de Estoque e Simulação são os conteúdos que compõem o universo da
Pesquisa Operacional.
EaD
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PESQUISA OPERACIONAL
Seção 1.2
Fases de um Estudo em Pesquisa Operacional
De acordo com Andrade (2000), são seis as fases de um estudo em Pesquisa Operacional,
expostas na Figura 1: definição do problema, construção do modelo, solução do modelo,
validação do modelo, implementação dos resultados e avaliação final.
Essa sequência de passos não é rígida, mas indica as principais etapas que devem ser
seguidas. Os procedimentos utilizados nessas fases dependem do tipo do problema em aná-
lise e do contexto que o envolve.
Figura 1 – Fases de um estudo em Pesquisa Operacional
Fonte: Andrade (2000).
a) Definição do problema
A definição do problema baseia-se em três aspectos: identificação das variáveis de de-
cisão, descrição e definição dos objetivos e reconhecimentos das limitações, restrições e exi-
gências do sistema.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO DO PROBLEMA 
PERCEPÇÃO DA DEMANDA POR SOLUÇÃO 
PROBLEMA 
CONSTRUÇÃO DO MODELO 
SOLUÇÃO DO MODELO 
VALIDAÇÃO DO MODELO 
IMPLEMENTAÇÃO DOS 
RESULTADOS 
SOLUÇÃO DO MODELO 
EXPERIÊNCIA 
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
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O problema começa a ser resolvido a partir da definição dos objetivos, os quais podem
ser de maximização ou minimização de algo. O segundo ponto é determinar as variáveis de
decisão, que devem estar relacionadas aos objetivos. Já o terceiro elemento é composto
pelas restrições, limitações ou exigências existentes.
b) Construção do modelo
O modelo a ser construído deve estar baseado na definição do problema. Esta é a fase
que exige maior criatividade do analista, uma vez que a qualidade de todo o processo de-
pende desta etapa. Modelos matemáticos são muito utilizados pelas empresas em seus pro-
cessos decisórios.
c) Solução do modelo
Tem por objetivo encontrar uma solução para o modelo construído. Em Pesquisa
Operacional algumas técnicas conhecidas como o Método Simplex, Análise de Sensibilida-
de, Dualidade, Simulação, entre outras, são empregadas na solução de modelos.
d) Validação do modelo
Segundo Andrade (2000), é necessário verificar a validade do modelo. Um modelo é
válido quando for capaz de fornecer uma previsão aceitável do comportamento do sistema e
uma resposta para a qualidade da decisão a ser tomada.
Um sistema pode ser validado por meio da análise de dados passados do próprio siste-
ma e da utilização desses dados para verificar se o sistema reproduziu o mesmo comporta-
mento ou comportamento parecido.
e) Implementação da solução
Avaliadas as vantagens e a validade da solução obtida, esta deve ser convertida em
regras operacionais. A implementação é uma etapa crítica do estudo. É importante que seja
controlada por uma equipe responsável e com poder de decisão, pois a nova solução, quan-
do colocada em prática, pode exigir mudanças na empresa, afetando os vários setores.
f) Avaliação final
A avaliação dos resultados é fundamental em qualquer etapa do processo. A avaliação
final possibilita identificar pontos fracos e possíveis gargalos que devem ser corrigidos em
ações posteriores. Um fator importante na avaliação final é a experiência do pessoal envol-
vido no estudo.
EaD
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PESQUISA OPERACIONAL
Seção 1.3
Pesquisa Operacional e a Relação com o Processo Decisório
As ferramentas de Pesquisa Operacional fornecem instrumentos para as tomadas de
decisão. Dessa forma, é importante entender os principais conceitos de decisão. Decisão pode
ser descrita como o curso de ação escolhido por alguém (pessoa, instituição) para alcançar os
objetivos desejados, ou seja, para resolver um problema que incomoda (Andrade, 2000).
É o resultado de um processo que se desenvolve a partir do momento em que um
problema foi detectado, mediante a percepção de alguns sintomas. O processo de decisão
empresarial se inicia quando uma pessoa ou grupo percebe sintomas de que algo está erra-
do. A partir dessa percepção inicia-se a busca pela identificação do problema. Na sequência
do livro-texto serão abordadas as características do processo decisório, como as decisões
são classificadas, a qualidade das decisões e os obstáculos a uma decisão de qualidade.
1.3.1 – CARACTERÍSTICAS DO PROCESSO DECISÓRIO
Andrade (2000) destaca quatro características principais do processo decisório. São elas:
• o processo de decisão é sequencial;
• é um processo complexo;
• é um processo que envolve valores subjetivos;
• é um processo desenvolvido dentro do ambiente institucional com regras mais ou menos
definidas e, até certo ponto, inflexíveis.
a) Processo sequencial
Parte do pressuposto de que todas as decisões são consequências de uma série de fatos
anteriores que criaram as bases do processo decisório. Isso significa que uma decisão é um
conjunto de muitas outras decisões que se desenvolvem durante um longo período de tempo.
b) Processo complexo
Os processos decisórios são extremamente complexos. Vários são os fatores que con-
duzem a esta afirmação. Primeiramente, podemos afirmar que quase sempre as informações
relacionadas ao problema são insuficientes. Além disso, o processo decisório envolve inter-
relacionamento entre pessoas, em que interesses pessoais muitas vezes se sobrepõem aos
interesses organizacionais.
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
20
O processo decisório também inclui interesses e objetivos diferentes dos participantes.
Em situações em que há um grande número de interesses antagônicos, o processo decisório
torna-se lento, incerto e, muitas vezes, ineficaz. A complexidade do processo decisório tam-
bém se confirma pelo estilo de liderança dos administradores, que podem ser centralizadores
ou descentralizadores. Outros fatores que fazem do processo decisório um processo comple-
xo são:
• tamanho do grupo de decisão;
• tipos de sistemas de informações gerenciais;
• tipos de decisões que devem ser tomadas e
• nível de decisão dentro da empresa.
c) Processo inclui valores subjetivos
Decisões são tomadas por pessoas. Por mais que se busque a participação coletiva
no processo decisório e que esta seja baseada em dados e informações, quem realmente
decide é um conjunto limitado de pessoas. E é nesse momento que os fatores intuitivos,
provenientes da experiência pessoal e da personalidade de quem decide, se fazem pre-
sentes.
Não se quer aqui negar a importância desses fatores no processo de decisão. Muito
pelo contrário, é o uso desses fatores que diferencia o bom do mau administrador (Andrade,
2000).
d) Processo em ambiente institucional
A estrutura organizacional influencia diretamente o processo de tomadas de decisão
nas organizações. Qual, entretanto, é a estrutura mais indicada para desenvolver decisões
eficazes? Aquela centralizada em uma ou poucas pessoas, mais verticalizada? Ou a melhor
estrutura é aquela em que todas as pessoas pertencentes à empresa têm participação direta
e efetiva no processo?
É difícil encontrar uma resposta exata para esses questionamentos.Na Administração
não existe uma fórmula mágica para resolver os problemas empresariais. Algumas experiên-
cias, contudo, mostram que ações voltadas à Qualidade Total, empowerment, planejamento
estratégico e desenvolvimento de equipes, entre outras, quando desenvolvidas coletivamen-
te, geram bons resultados.
EaD
21
PESQUISA OPERACIONAL
1.3.2 – CLASSIFICAÇÃO DAS DECISÕES
As decisões em Administração são tomadas seguindo diversos critérios. No entanto,
como nosso interesse é discutir as características das decisões sob a ótica da racionalidade,
apresentaremos uma classificação em que as decisões são vistas à luz do nível em que ocor-
rem dentro da empresa e do grau de complexidade envolvido. As decisões têm relação direta
com níveis em que são tomadas e com o seu grau de estruturação.
Vários são os tipos de decisões tomadas pelas empresas. Algumas são mais complexas,
envolvem grandes montantes financeiros e alto risco. Outras têm um grau de complexidade
menor se comparadas às primeiras, e risco médio. E algumas possuem um baixo grau de
complexidade e risco. A quem, contudo, cabe a responsabilidade de decidir? A seguir, apre-
sentaremos os níveis organizacionais e suas responsabilidades no processo de tomadas de
decisão.
• Nível estratégico: decisões de nível estratégico envolvem alto risco, e grandes montantes
financeiros. São de grande importância e abrangência. São exemplos de decisões de nível
estratégico a construção de uma nova fábrica, decisões de diversificação, lançamento de
uma nova marca e fusão com outra empresa, entre outras.
• Nível tático: decisões de nível tático envolvem risco médio e montantes financeiros me-
nores que os envolvidos nas decisões de nível estratégico, mas maiores dos que são envol-
vidos no nível operacional. São exemplos desse tipo de decisão as programações orça-
mentárias, programação da produção, contratação de um funcionário.
• Nível operacional: decisões de nível operacional envolvem baixos riscos e pequenos mon-
tantes financeiros. São as chamadas decisões diárias, corriqueiras. Exemplo: controle de
estoque.
1.3.3 – QUALIDADE DAS DECISÕES
O que significa ter qualidade nas decisões? É possível afirmar que existem decisões
ótimas? O que é uma decisão de alta qualidade? É possível se obter o consenso sobre deci-
sões instituídas? Decisões irracionais podem ter sucesso? É possível ser totalmente racional
quando se decide sobre algo?
Definir uma decisão como sendo de alta qualidade é uma tarefa difícil e discutível
(Andrade, 2000). Às vezes uma decisão aparentemente inadequada e ou até mesmo irracio-
nal para algumas pessoas pode tornar-se um grande sucesso e causará admiração pelo fato
de que ninguém apostava nela.
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
22
É importante ressaltar, contudo, que essa situação configura-se como uma grande
exceção e felizmente todas as decisões seguem um padrão mais perceptível de racionalidade.
É possível identificar algumas características do que seria uma decisão de qualidade, na
visão de Andrade (2000):
• garantia de realização dos objetivos preestabelecidos;
• adaptação dos meios necessários aos objetivos buscados;
• satisfação dos interesses envolvidos;
• consistência dos cursos de ação.
Dessa forma, podemos afirmar que a qualidade da decisão é maior quanto maior for o
grau de participação dessas características no processo decisório.
1.3.4 – OBSTÁCULOS A UMA DECISÃO DE QUALIDADE
Vários são os obstáculos que surgem para complicar o processo de tomada de uma
decisão. Alguns deles dizem respeito ao caráter pessoal do administrador, como a força do
hábito e valores pessoais. É o caso da seguinte desculpa: “Sempre fizemos dessa forma”.
Outro obstáculo que se apresenta relaciona-se às questões políticas e às relações de
poder no ambiente empresarial: “Não podemos descontentar o João porque ele tem muito
poder”.
O ambiente econômico também pode ser considerado um obstáculo a uma decisão de
qualidade. Situações da economia, incerteza do ambiente e políticas de governo afetam
decisivamente a qualidade das decisões.
Outro fator que muitas vezes prejudica a qualidade das decisões é o tempo. Às vezes
a urgência da decisão faz com que se tome uma decisão equivocada e com conhecimento
incompleto dos dados do problema. Para Andrade (2000), contudo, existem duas dificul-
dades maiores que são inerentes ao problema e que podem influenciar inevitavelmente a
qualidade da decisão: a escolha do problema certo para resolver e o conhecimento insufi-
ciente.
a) Escolha do problema certo para resolver
Fazer certo as coisas é importante, porém fazer as coisas certas é mais importante
ainda. E o que isso quer dizer? O primeiro passo para uma decisão de qualidade é saber qual
problema requer solução, pois os mesmos não aparecem com rótulos, pedindo uma solução.
EaD
23
PESQUISA OPERACIONAL
Eles aparecem por meio de alguns sintomas, como reclamações, atrasos, prejuízos.
Diante disso, a primeira tarefa do administrador é identificar os problemas que causam os
efeitos perturbadores. Peter Drucker, como revela Andrade (2000), afirma que a fonte mais
comum de enganos é a ênfase em encontrar a resposta certa em lugar de procurar a questão
certa para responder.
b) Conhecimento insuficiente
Para que uma decisão tenha qualidade indiscutível, é necessária a posse de um amplo
e completo conjunto de informações acerca de todas as alternativas possíveis, como tam-
bém possíveis consequências acerca de cada alternativa (Andrade, 2000).
A realidade, entretanto, nos mostra que isso é impossível de acontecer. Na maioria
das vezes os gestores tomam decisões baseadas em informações incompletas e parciais.
Isso ocorre por várias razões. A primeira relaciona-se ao alto custo das informações, o que
significa que quanto mais informações o gestor pedir, mais tempo e dinheiro serão gastos
para sua obtenção.
Por outro lado, se poucas informações criam um ambiente de incerteza para o proces-
so de decisão, muitas informações também podem prejudicar, o que exige tempo e habilida-
des extras para análise. Diante disso, o administrador, muitas vezes, decide tendo como
base sua experiência pessoal.
Seção 1.4
Enfoque Gerencial da Pesquisa Operacional
A Pesquisa Operacional tem sido vista, de acordo com Andrade (2000), sob dois
enfoques diferentes quanto à abordagem, mas coerentes e complementares na aplicação
prática: o enfoque clássico e o enfoque atual.
a) Enfoque clássico
Deriva do conceito quantitativo da Pesquisa Operacional. De acordo com esse enfoque,
a Pesquisa Operacional é definida como a arte de aplicar técnicas de modelagem a proble-
mas de decisão e resolver os modelos obtidos por meio da utilização de métodos matemá-
ticos e estatísticos, visando à obtenção de uma solução ótima, sob uma abordagem
sistêmica.
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
24
Para grande parte dos administradores essa definição leva à ideia de que Pesquisa
Operacional apenas fornece um conjunto de técnicas e métodos que são úteis apenas para
a solução de determinados problemas, quando estes podem ser modelados na forma correta.
Como modelos são representações simplificadas da realidade, as soluções ótimas obtidas
podem deixar a desejar quanto a sua aplicabilidade.
Apesar de apresentar algumas limitações, o enfoque clássico tem o mérito de ter sido,
por muito tempo, extremamente útil ao desenvolvimento dessa metodologia, pois agregou
um grande contingente de matemáticos, engenheiros, físicos, economistas e profissionais de
diversas áreas, pesquisando e desenvolvendo métodos para a solução de problemas.
b) Enfoque atual
Decorre de um conceito qualitativo da Pesquisa Operacional. A ênfase na construção
de modelos leva a uma compreensão mais profunda do próprio problema, identificando me-
lhor seus elementos internos, suas interações com o ambiente externo, as informações ne-
cessárias e os resultados possíveis de obter.
A importância da Pesquisa Operacional residena sua influência sobre o modo pelo
qual os administradores abordam os problemas, na maneira como os formulam, na relação
com os demais problemas e na forma usada para sua comunicação a outras pessoas.
Perde importância o rigor matemático e ganham relevância o espírito crítico e a sensi-
bilidade para descobrir o problema correto a analisar e quais informações são determinantes
para a decisão e quais são coadjuvantes.
Seção 1.5
A Natureza da Pesquisa Operacional
Ao abordarmos a natureza da Pesquisa Operacional precisamos recordar a importân-
cia dos modelos matemáticos para analisar e compreender o comportamento de uma situa-
ção real com o objetivo de levá-lo a apresentar o melhor resultado possível.
Basicamente, a natureza da Pesquisa Operacional nos revela que, quando da neces-
sidade de resolver um problema, o primeiro passo é representá-lo mediante a construção
de um modelo. Nesse modelo deverão estar elencadas as principais variáveis que afetam a
decisão.
EaD
25
PESQUISA OPERACIONAL
No campo da Administração, os sistemas com os quais os administradores lidam têm a
característica de serem influenciados por um grande número de variáveis. Podemos afirmar,
então, que os sistemas são complexos. Isso torna a tarefa dos gestores cada vez mais difícil.
O agravante é que a tendência é o aumento dessa complexidade, em ritmo cada vez mais
acelerado, diante das condições decorrentes das mudanças dos ambientes político, econô-
mico, social, ambiental e tecnológico.
A Pesquisa Operacional, vista como um conjunto de ferramentas que auxiliam os admi-
nistradores na tomada de decisão, tem evoluído para dar conta dessa complexidade atual.
Seção 1.6
Teoria Clássica de Otimização
Problemas de otimização, na sua forma geral, têm como objetivo maximizar ou
minimizar uma função definida sobre uma certa situação. A teoria clássica de otimização
trata do caso em que as soluções são variadas e infinitas. Já no caso dos chamados proble-
mas de otimização combinatória, as soluções são restritas. Além disso, em geral é fácil listar
os seus elementos e também testar se um dado elemento pertence ou não a essa solução.
Ainda assim, a ideia ingênua de testar todos os elementos desta situação na busca pelo
melhor mostra-se inviável na prática, mesmo para instâncias de tamanho moderado.
Como exemplos clássicos de problemas de otimização combinatória podemos citar o
problema do caixeiro viajante, o problema da mochila, o problema da cobertura mínima por
conjuntos, o problema da floresta de Steiner e o problema de encontrar um conjunto inde-
pendente máximo em um gráfico. No sentido técnico, todos são problemas não probabilísticos
difíceis.
Estes, e diversos outros de mesma natureza são, porém, de grande interesse, pois sur-
gem em aplicações práticas na indústria, tais como em projetos de redes de telecomunica-
ção e de circuitos, problemas de empacotamento, problemas de localização de centros distri-
buidores, problemas de escalonamento, problemas de roteamento de veículos, entre outros.
Outras áreas de aplicação incluem estatística (análise de dados), economia (matrizes de
entrada/saída), física (determinação de estados de energia mínima), biologia molecular (ali-
nhamento de DNA, inferência de padrões).
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
26
SÍNTESE DA UNIDADE 1
Nesta Unidade pudemos perceber a importância e a aplicabilidade
da Pesquisa Operacional. Aprendemos que Pesquisa Operacional
surgiu durante a Segunda Guerra Mundial para resolver proble-
mas de operações militares. Descobrimos também que a base da
Pesquisa Operacional é a Matemática, onde tudo começa com um
problema a ser resolvido, passando pela construção de um modelo
matemático, seguido de sua resolução e posterior teste. Esta Uni-
dade também serviu para nos mostrar que as ferramentas de Pes-
quisa Operacional estão diretamente relacionadas ao processo
decisório das organizações, pois suas ferramentas possibilitam às
empresas escolhas de ações mais confiáveis e menos incertas.
EaD
27
PESQUISA OPERACIONAL
Unidade 2Unidade 2Unidade 2Unidade 2
PROGRAMAÇÃO LINEAR
OBJETIVOS DESTA UNIDADE
Nesta etapa do estudo abordaremos a resolução de problemas de Programação Li-
near. Para isso é importante que os acadêmicos aprendam a construir modelos matemá-
ticos, que são resultantes de situações reais do dia a dia das empresas. Após entender o
processo de construção de modelos, resolveremos os mesmos por meio de dois métodos,
que são o Método Simplex e o Método Gráfico, além de fazer a Análise de Sensibilidade
e a Análise Econômica. Também resolveremos problemas relacionados à Solução Básica
Inicial e problemas de minimização. Na sequência explicaremos o uso da ferramenta
Solver para a resolução de problemas de Programação Linear. Outro elemento que faz
parte desta Unidade refere-se à construção e resolução de modelos duais e sua interpre-
tação econômica.
AS SEÇÕES DESTA UNIDADE
Seção 2.1 – Modelo em Programação Linear
Seção 2.2 – O Método Simplex
Seção 2.3 – Solução Ótima pelo Método Simplex
Seção 2.4 – O Problema da Minimização
Seção 2.5 – O Problema da Solução Básica Inicial
Seção 2.6 – O Método Gráfico de Resolução de Problemas de Programação Linear
Seção 2.7 – O Uso da Ferramenta Solver
Seção 2.8 – Análise de Sensibilidade
Seção 2.9 – Dualidade
Seção 2.10 – Interpretação Econômica da Dualidade
Seção 2.11 – Análise Econômica
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
28
Seção 2.1
Modelo em Programação Linear
O primeiro passo para resolver um problema de Programação Linear é a construção do
modelo matemático. A construção do modelo deve seguir o seguinte roteiro, segundo Silva
et. al (2009): determinação das variáveis de decisão, determinação da função objetivo e
determinação das restrições.
a) Determinação das variáveis de decisão
Consiste em determinar as decisões que devem ser tomadas e representá-las mediante
o que é chamado de variáveis de decisão. Se o problema é de programação de produção, as
variáveis de decisão são as quantidades a produzir no período; se for um problema de pro-
gramação de investimento, as variáveis vão representar as decisões de investimento, isto é,
quanto investir em cada oportunidade e em que período. As variáveis de decisão serão repre-
sentadas pelos seguintes símbolos: x
1
, x
2
 e x
3
 e assim sucessivamente, dependendo do núme-
ro de variáveis de decisão.
b) Determinação da função objetivo
Nesta etapa devemos identificar o objetivo da tomada de decisão. Eles geralmente
aparecem na forma de maximização de lucros ou receitas, e na minimização de custos ou
alguns tipos de perdas. A construção da função objetivo está diretamente relacionada com
as variáveis de decisão previamente determinadas.
c) Determinação das restrições
Cada restrição imposta deve ser expressa de forma linear. Restrições podem ser defini-
das como os elementos que limitam o processo decisório, ou seja, as condições dadas. Por
exemplo, uma empresa de confecções pode limitar a quantidade de peças de roupas a produ-
zir devido à disponibilidade de tecido que possui. Nesse caso, a quantidade de tecido pode
restringir o número de itens e limitar o lucro da empresa.
Para entendermos melhor o processo de construção de modelos em Programação Line-
ar, utilizaremos dois exemplos, que estão expostos e detalhados na sequência.
EaD
29
PESQUISA OPERACIONAL
Modelo em Programação Linear: Exemplo 1
– o caso da Maximização de lucro na empresa “Pizzas do Sul”.
A Pizzas do Sul, empresa localizada no município de Três Passos, Estado do RS, após
análise de seu mercado, identificou a possibilidade de produzir dois tipos de produtos: pizzas
tamanho “G” e pizzas tamanho “GG”. O lucro de cada unidade de pizza tamanho “G” é de
R$ 8,00. Já o lucro de cada unidade de pizzas tamanho “GG” é de R$ 2,00. O tempo neces-
sário para produzir uma unidade de pizza tamanho “G” é de 2 horas, enquanto que o tempo
necessário para produzir uma unidade de pizzatamanho “GG” é de 3 horas. Para produzir
uma pizza tamanho “G” são necessários 2 funcionários, enquanto que para produzir uma
pizza tamanho “GG” utiliza-se apenas 1 funcionário. Além disso, uma pesquisa de mercado
encomendada pela empresa indicou que a demanda diária para as pizzas tamanho “G” é de
até 20 unidades, enquanto que a demanda diária por pizzas tamanho “GG” não é superior
a 28 unidades. Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar as quanti-
dades de cada tipo de pizza que deverão ser produzidas e, como consequência disso, indicar
o lucro máximo, considerando que a empresa dispõe de até 12 horas diárias e no máximo 8
funcionários por dia para a produção desses dois produtos.
a) Determinação das Variáveis de Decisão
A primeira pergunta a fazer é qual o objetivo do problema. O objetivo é maximizar o
lucro. Para isso acontecer, no entanto, precisamos saber quais são as quantidades de cada
tipo de pizza que devem ser produzidas, pois já conhecemos o lucro unitário de cada uma
delas. Geralmente, as variáveis de decisão vêm acompanhadas do lucro, custo e receita uni-
tários. Então, determinaremos por “x
1
” a quantidade de pizzas tamanho “G” a ser produzida
e por “x
2
” a quantidade de pizza tamanho “GG” a ser produzida, ficando esta etapa do
modelo da seguinte forma:
x
1
: quantidade de pizzas tamanho “G” a ser produzida
x
2
: quantidade de pizzas tamanho “GG” a ser produzida
b) Determinação da Função Objetivo
O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser obtido:
• Lucro de cada unidade de pizza “G”: 8.x
1
• Lucro de cada unidade de pizza “GG”: 2.x
2
LUCRO TOTAL: 8.x
1
 + 2.x
2
Maximizar L: 8.x
1
 + 2.x
2
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
30
c) Determinação das Restrições
As restrições estabelecidas no problema são:
Primeira restrição: número de horas
• Horas ocupadas com a produção das pizzas tamanho “G”: 2.x
1
 (uso por unidade X quan-
tidade produzida).
• Horas ocupadas com a produção das pizzas tamanho “GG”: 3.x
2
 (uso por unidade X quan-
tidade produzida).
• Tempo total em horas ocupadas na produção: 2.x
1
 + 3.x
2
• Disponibilidade máxima: 12 horas.
Logo 2.x1 + 3.x2 ≤ (menor ou igual) 12
Se o número de horas disponível fosse de no mínimo 12 horas, utilizaríamos o sinal de
“³” (maior ou igual), e a equação ficaria da seguinte forma: 2.x
1
 + 3.x
2
 ≥12. Além disso, se o
número de horas disponível fosse de 12 horas, utilizaríamos o sinal de “=” (igualdade) e a
equação ficaria da seguinte forma: 2.x
1
 + 3.x
2
 = 12.
Segunda restrição: número de funcionários
• Número de funcionários usados na produção das pizzas tamanho “G”: 2.x
1
 (uso por uni-
dade X quantidade produzida).
• Número de funcionários usados na produção das pizzas tamanho “GG”: 1.x
1
 (uso por
unidade X quantidade produzida).
• Número total de funcionários usados na produção: 2.x
1
 + 1.x
2
• Disponibilidade máxima: 8 funcionários.
Logo 2.x1 + 1.x2 ≤ (menor ou igual) 8
Por outro lado, se o número de funcionários disponível fosse de no mínimo 8 colabo-
radores, utilizaríamos o sinal de “≥” (maior ou igual), e a equação ficaria da seguinte forma:
2.x
1
+1.x
2
 ≥ 8. Já se o número de funcionários fosse de 8 colaboradores, usaríamos o sinal de
“=” (igualdade) e a equação ficaria da seguinte forma: 2.x
1
 + 1.x
2
 = 8.
EaD
31
PESQUISA OPERACIONAL
Terceira restrição: demanda de X
1
• Demanda para x1 de até 20 unidades. Portanto:
x1 ≤ (menor ou igual) 20 unidades
Se a demanda para x1 fosse de no mínimo 20 unidades, utilizaríamos o sinal de ³
(maior ou igual), e a equação ficaria da seguinte forma: x
1
 ³ 20 unidades. Por outro lado, se
a demanda de x1 fosse de 20 unidades, a equação ficaria da seguinte forma: x1 = 20.
Quarta restrição: demanda de x
2
• Demanda para x2 de até 28 unidades. Portanto:
x2 ≤ (menor ou igual) 28 unidades
Se a demanda para x
2
 fosse de no mínimo 28 unidades, utilizaríamos o sinal de ³
(maior ou igual), e a equação ficaria da seguinte forma: x
2
 ≥ 28 unidades. Por outro lado, se
a demanda para x
2 
fosse de 28 unidades teríamos de usar o sinal de igualdade e a equação
ficaria assim: x
2
 = 28.
• Resumo do Modelo
Variáveis de decisão:
x
1
: quantidade de pizzas tamanho “G” a ser produzida
x
2
: quantidade de pizzas tamanho “GG” a ser produzida
Função Objetivo:
Maximizar L: 8.x
1
 + 2.x
2
Restrições
Horas 2.x
1
 + 3.x
2
 ≤ 12
Funcionários 2.x
1
 + 1.x
2
 ≤ 8
Demanda X1 x1 ≤ 20
Demanda X2 x2 ≤ 28
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
32
Vale salientar que nesta etapa só estamos construindo modelos de Programação Line-
ar. Adiante abordaremos soluções possíveis dos modelos.
Modelo em Programação Linear: Exemplo 2:
Minimização de custo na empresa “Móveis Madeira”.
A indústria de Móveis Madeira produz dois tipos de produtos: mesas para computa-
dor e escrivaninhas. A empresa necessita de 4 horas para produzir cada mesa para compu-
tador e 6 horas para fabricar cada unidade de escrivaninha. O tempo disponível para fazer
essas atividades é de, no máximo, 480 horas. Além disso, uma análise da empresa revela
que a demanda esperada para mesas de computador é de, no mínimo, 80 unidades, en-
quanto que a demanda para escrivaninhas é de no mínimo 60 unidades. Construa o Mo-
delo de Programação Linear que possibilite conhecer as quantidades de cada tipo de pro-
duto a serem produzidas com o menor custo, considerando que cada mesa para computa-
dor tem um custo de produção de R$ 50,00 e cada escrivaninha tem um custo de produção
de R$ 75,00.
a) Determinação das Variáveis de Decisão
O objetivo é minimizar o custo. Para isso acontecer, precisamos saber quais são as
quantidades de mesas para computador e escrivaninhas que devem ser produzidas, pois já
conhecemos o custo unitário de cada um desses produtos. Determinaremos por “x
1
” a quan-
tidade de mesas para computador a ser produzida, e por “x
2
” a quantidade de escrivaninhas
a ser produzida, resultando esta etapa do modelo da seguinte forma:
x
1
: quantidade de mesas para computador a ser produzida
x
2
: quantidade de escrivaninhas a ser produzida
b) Determinação da Função Objetivo
O objetivo é minimizar o custo, ou seja, produzir as quantidades necessárias com o
menor custo possível:
• Custo de cada unidade de mesa para computador: 50.x
1
• Custo de cada unidade de escrivaninha: 75.x
2
Custo Total: 50.x
1
 + 75.x
2
Minimizar C: 50.x
1
 + 75.x
2
EaD
33
PESQUISA OPERACIONAL
c) Determinação das Restrições
As restrições estabelecidas no problema são:
Primeira restrição: número de horas
• Horas ocupadas com a produção de cada unidade de mesa para computador: 4.x
1
 (uso por
unidade X quantidade produzida).
• Horas ocupadas com a produção de cada unidade de escrivaninha: 6.x
2
 (uso por unidade
X quantidade produzida).
• Tempo total em horas ocupadas na produção: 4.x
1
 + 6.x
2
• Disponibilidade máxima: 480 horas.
Logo 4.x1 + 6.x2 ≤ (menor ou igual) 480
Se o número de horas disponível fosse de no mínimo 480 horas, utilizaríamos o sinal
de ³ (maior ou igual), ou seja, 4.x
1
 + 6.x
2
 ³ 480.
Segunda restrição: demanda de X
1
• Demanda para x
1
 de no mínimo 80 unidades. Portanto:
x1 ≥ (maior ou igual) 80 unidades
Se a demanda para x
1
 fosse de no máximo 80 unidades, utilizaríamos o sinal de ≤
(menor ou igual), ou seja, x
1
 ≤ 80 unidades.
Terceira restrição: demanda de x
2
• Demanda para x
2
 no mínimo 60 unidades. Portanto:
x2 ≥ (maior ou igual) 60 unidades
Se a demanda para x
2
 fosse de no máximo 60 unidades, utilizaríamos o sinal de ≤
(menor ou igual), ou seja, x
2
 ≤ 60 unidades.
• Resumo do Modelo
Variáveis de decisão:
x
1
: quantidade de mesas para computador a produzir
x
2
: quantidade de escrivaninhas a produzir
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
34
Função Objetivo:
Minimizar C: 50.x
1
 + 75.x
2
Restrições
Horas 4.x
1
 + 6.x
2
 ≤ 480
Demanda X1 x1 ≥ 80
Demanda X2 x2 ≥ 60
EXERCÍCIOS(LISTA 1)
Construa o modelo matemático de Programação Linear dos problemas descritos a se-
guir:
1. Uma serralheria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente a
empresa produz apenas dois tipos de produtos: portas e portões, ambos de um só modelo.
Consideraremos o fato de a serralheria ter limitações de apenas dois recursos produtivos,
que são ferro e horas de mão de obra, cujas disponibilidades máximas são de 120 Kg e 80
horas, respectivamente. Além disso, sabe-se que para fabricar uma porta são necessários
20 Kg de ferro e 20 horas de mão de obra, enquanto que para produzir cada unidade de
portão são necessários 30 Kg de ferro e 10 horas de mão de obra. O lucro unitário de cada
porta é de R$ 200,00, e o lucro de cada unidade de portão é de R$ 500,00. Construa o
modelo de Programação Linear que possibilite definir as quantidades de cada tipo de
produto que devem ser produzidas para maximizar o lucro.
2. Uma indústria de confecções produz 2 tipos de jaquetas: adulto feminina (P1) e adulto
masculina (P2). A demanda para P1 é de no máximo 120 unidades por trimestre. Já para
P2 a demanda é de no mínimo 90 unidades por trimestre. São necessários 6 funcionários
para produzir uma unidade de P1 e 9 funcionários para produzir uma unidade de P2. A
mão de obra disponível para executar tais tarefas não é superior a 360 colaboradores. Já
o lucro unitário gerado por cada unidade de P1 é de R$ 300,00 e R$ 450,00 para cada
unidade de P2. Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar a quan-
tidade de cada tipo de produto que deve ser produzida para maximizar o lucro.
3. O restaurante Comer Bem produz dois pratos principais: filés e pizzas. Dentre os diversos
ingredientes utilizados na fabricação desses pratos destacam-se as carnes e os molhos. A
tabela do uso desses recursos encontra-se a seguir:
EaD
35
PESQUISA OPERACIONAL
Além disso, sabe-se que o lucro de cada prato de filé é de R$ 12,00 e o lucro de cada
pizza é de R$ 9,00. Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar as
quantidades de cada tipo de prato que devem ser produzidas para maximizar o lucro do
restaurante.
4. A Mercado PC é uma loja de computadores que vende dois tipos de microcomputadores:
desktops e laptops. A empresa ganha R$ 600,00 por cada desktop vendido e R$ 900,00 por
cada laptop vendido. Os computadores que a Mercado PC vende são montados por outra
empresa. Esta outra empresa tem outro pedido para atender, de forma que não poderá montar
mais do que 80 desktops e 75 laptops no próximo mês. Os funcionários da Mercado PC
gastam 2 horas instalando softwares e testando os desktops. No caso dos laptops eles gastam
3 horas. No próximo mês os empregados da Mercado PC trabalharão, no máximo, 300 horas
nessas atividades. Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar a quan-
tidade de desktops e laptops que devem ser montados para maximizar o lucro da empresa.
5. Um açougue pode transportar 15.000 Kg de carne (capacidade do caminhão) para a Re-
gião Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul. Ele deve transportar 8.000 Kg de carne de
gado a R$ 2,80 de lucro por Kg, no máximo 500 Kg de carne de ovelha a R$ 1,80 de lucro
por Kg. Além disso, ele necessita transportar no mínimo 3.000 Kg de carne de porco a R$
1,95 de lucro por Kg. Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar as
quantidades de Kg de cada tipo de carne que devem ser transportadas com o objetivo de
maximizar o lucro.
6. A Agropecuária Biscoito, localizada no município de Esperança do Sul, produz três tipos
de ração:
• Ração para Vaca Leiteira;
• Ração para Gado de Corte;
• Ração para Galinha Poedeira.
Para produzir 1 kg de Ração para Vaca Leiteira são necessários 0,25 kg de farelo de soja;
0,4 kg de farelo de milho e 0,35 kg de farelo de trigo. Para produzir 1 kg de Ração para Gado de
Corte são necessários 0,25 kg de farelo de soja e 0,75 kg de farelo de milho. Já para produzir 1 kg
de Ração para Galinhas Poedeiras são necessários 0,25 kg de farelo de soja; 0,65 kg de farelo
de milho e 0,1 kg de calcário. As disponibilidades dos recursos produtivos necessários para a
produção dos tipos de rações mencionados encontram-se descritas na tabela a seguir:
Produto Carne (gramas) Molho (gramas) 
Filé 900 400 
Pizza 300 300 
Disponibilidade Máxima 30.000 10.000 
 
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
36
 Além disso, o setor financeiro relatou que cada kg de Ração para Vaca Leiteira produ-
zido dá um lucro de R$ 0,53; cada kg de Ração para Gado de Corte produzido dá um lucro
de R$ 0,52; e cada kg de Ração para Galinhas Poedeiras produzido dá um lucro de R$ 0,67.
Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar as quantidades de cada
tipo de ração que devem ser produzidas para maximizar o lucro da empresa.
7. A Fazenda Vaca Brava cria três tipos de animais de raça: animais da raça tipo “A”; animais
da raça tipo “B” e animais de raça tipo “C”. Cada animal da raça tipo “A” dá um lucro de
R$ 700,00; Cada animal da raça tipo “B” dá um lucro de R$ 350,00; e cada animal da
raça tipo “C” dá um lucro de R$ 500,00. Para a alimentação dos animais, a empresa tem
disponível três recursos produtivos, com suas respectivas disponibilidades diárias: milho
(300 Kg); aveia (200 Kg) e alfafa (400 Kg). Cada animal da raça “A” consome diariamente
3 Kg de milho e 8 Kg de aveia. Cada animal da raça “B” consome por dia 3 Kg de milho e
6 Kg de alfafa. Já cada animal da raça “C consome diariamente 2 Kg de milho, 2 Kg de
aveia e 2 Kg de alfafa. Construa o modelo de Programação Linear que possibilite indicar o
número de animais de cada raça que deve ser criado com o objetivo de maximizar o lucro.
8. A Indústria de Rodas d‘Água “Roda Viva” produz três tipos de Rodas d’Água: Roda d’Água
Tamanho Grande (RG); Roda d‘Água Tamanho Médio (RM) e Roda d‘ Água Tamanho
Pequeno (RP). Os custos de produção de cada um dos produtos são os seguintes:
• RG: R$ 2.100,00
• RM: R$ 1.200,00
• RP: R$ 600,00
Para produzir cada unidade de RG utiliza-se 6 Kg de chapa de ferro e 12 horas de
máquina. Para fabricar uma unidade de RM utiliza-se 4 Kg de chapa de ferro e 16 horas de
máquina. Já para produzir cada unidade de RP utiliza-se 6 Kg de ferro e 2 horas de máqui-
na. A empresa tem disponibilidade de 4.800 Kg de ferro e 7.200 horas/máquina. Além disso,
a demanda para RG não ultrapassa a 800 unidades mensais; para RM é de 800 unidades
mensais e para RP é de, no mínimo, 600 unidades por mês. Construa o modelo de Programa-
ção Linear que permita encontrar as quantidades de cada tipo de produto que devem ser
produzidas com o menor custo possível.
9. A Empresa Agrícola Floresta estuda a possibilidade de dividir sua produção em quatro
atividades produtivas distintas:
Recurso Produtivo Disponibilidade Máxima (kg) 
Farelo de Soja 1.000 
Farelo de Milho 2.750 
Farelo de Trigo 500 
Calcário 100 
 
EaD
37
PESQUISA OPERACIONAL
• S (plantio de soja) – destinar certa quantidade de hectares para o plantio de soja. Essa
cultura requer 400 Kg de adubo por hectare e 50 Kg de semente. O lucro dessa atividade
é de R$ 800,00 por hectare.
• M (plantio de milho) – usar uma segunda parte para o plantio de milho. Essa cultura
requer 300 Kg de adubo e 23 Kg de semente por hectare. O lucro dessa atividade é de R$
900,00 por hectare.
• P (pecuária) – usar uma terceira parte para a criação de gado de corte. A recuperação das
pastagens requer adubação de 200 Kg por hectare. O lucro dessa atividade é de R$ 400,00.
• A (arrendamento) – destinar certa quantidade de terra para arrendamento. Essa atividade
gera um lucro de R$ 480,00 por hectare.
Disponibilidade de recursos produtivos:
• 1.000 hectares de terra;
• 1.000.000 de Kg de adubo;
• 20.000 Kg de semente de soja;
• 10.000 Kg de semente de milho;
Além disso, a empresa determinou que a quantidade mínima destinada ao plantio de
milho é de 200 ha. Construa o modelo de Programação Linear que permitaà empresa decidir
a quantidade de hectares de terra que deverá ser destinada às atividades produtivas para
maximizar o lucro.
10. Na tabela a seguir fornecemos as necessidades alimentares semanais de um certo animal.
Construa o modelo de Programação Linear que possibilite conhecer as quantida-
des dos tipos de rações que o animal deve comer para manter-se saudável com o menor
custo.
Ração Proteínas 
(Unidades/Kg) 
Carboidratos 
(Unidades/Kg) 
Custo (R$/Kg) 
A 25 55 3,00 
B 25 20 2,00 
C 45 10 4,00 
D 35 35 3,00 
E 25 20 3,00 
Unidades mínimas 
disponíveis 
200 250 
 
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
38
Seção 2.2
O Método Simplex
Após entender como se constrói modelos em Programação Linear é chegado o momen-
to de resolvê-los. E para isso utilizaremos a ferramenta chamada de Método Simplex. Esta
ferramenta é normalmente empregada para a resolução de problemas de alocação de recur-
sos (Andrade, 2000).
Resumidamente, o Método Simplex é composto por um conjunto de regras e etapas
que permitem tomar a melhor decisão possível diante das circunstâncias apresentadas. Para
entendermos como utilizar esta ferramenta, seguem-se na sequência dois exemplos.
O Método Simplex: Exemplo 1
A Pizzas do Sul, empresa localizada no município de Três Passos, Estado do RS, após
análise de seu mercado, identificou a possibilidade de produzir dois tipos de produtos: pizzas
tamanho “G” e pizzas tamanho “GG”. O lucro de cada unidade de pizza tamanho “G” é de
R$ 8,00. Já o lucro de cada unidade de pizzas tamanho “GG” é de R$ 2,00. O tempo neces-
sário para produzir uma unidade de pizza tamanho “G”é de 2 horas, enquanto que o tempo
necessário para produzir uma unidade de pizza tamanho “GG” é de 3 horas. Para produzir
uma pizza tamanho “G” são necessários 2 funcionários, enquanto que para produzir uma
pizza tamanho “GG” utiliza-se apenas 1 funcionário. Além disso, uma pesquisa de mercado
encomendada pela empresa indicou que a demanda diária para as pizzas tamanho “G” é de
até 20 unidades, enquanto que a demanda diária por pizzas tamanho “GG” não é superior
a 28 unidades. Construa o modelo de Programação Linear, indique as quantidades de cada
tipo de pizza que deverão ser produzidas e, como conseqüência disso, indique o lucro máxi-
mo, considerando que a empresa dispõe de até 12 horas diárias e no máximo 8 funcionários
por dia para a produção desses dois produtos.
Variáveis de decisão:
x
1
: quantidade de pizzas tamanho “G” a ser produzida
x
2
: quantidade de pizzas tamanho “GG” a ser produzida
Função Objetivo:
Maximizar L: 8.x
1
 + 2.x
2
EaD
39
PESQUISA OPERACIONAL
Restrições
Horas 2.x
1
 + 3.x
2
 ≤ 12
Funcionários 2.x
1
 + 1.x
2
 ≤ 8
Demanda X1 x1 ≤ 20
Demanda X2 x2 ≤ 28
1o passo: reescrever a função objetivo com todas as variáveis de decisão à esquerda.
O que antes era Max. L: 8.x
1
 + 2.x
2 
passa a ser L – 8.x
1
 – 2.x
2
2o passo: para cada restrição, acrescentar uma variável de folga (xf) e igualar o sinal:
Horas 2.x
1
 + 3.x
2
 + xf
1
 (variável de folga 1) = 12
Funcionários 2.x
1
 + 1.x
2
 + xf
2
 (variável de folga 2) = 8
Demanda X1 x1 + xf3 (variável de folga 3) = 20
Demanda X2 x2 + xf4 (variável de folga 4) = 28
3º passo: montar tabela de resolução do problema, em que a primeira linha representa a
equação do lucro (função objetivo), a segunda linha é a linha da restrição do recurso produ-
tivo “horas”, a terceira linha representa a restrição do recurso produtivo “funcionários”, a
quarta linha representa a restrição “demanda de x
1
”e a quinta linha representa a restrição
“demanda de x
2
”.
4º passo: isolar a variável de decisão que apresenta o maior lucro unitário. Nesse caso
é x
1
 (quantidade de pizzas tamanho “G” a produzir) que apresenta um lucro unitário de
R$ 8,00, superior ao lucro de x
2, 
que é de R$ 2,00. Destacaremos na tabela, então, a colu-
na de x
1
.
L x1 x2 xf1 xf2 xf3 xf4 b 
1 -8 -2 0 0 0 0 0 
0 2 3 1 0 0 0 12 
0 2 1 0 1 0 0 8 
0 1 0 0 0 1 0 20 
0 0 1 0 0 0 1 28 
 
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
40
5º passo: encontrar a linha pivô. Para isso acontecer é preciso dividir cada valor de
“b” pelo elemento pivô de sua respectiva linha, com exceção da primeira linha, que
não participa dessa etapa. O elemento pivô da linha é aquele que pertence ao mesmo
tempo à linha e à coluna da variável de decisão que foi isolada. Nesse caso, o elemen-
to pivô da segunda linha é “2”, da terceira linha é “2”, da quarta linha é “1” e da
quinta linha é “0”.
A linha que apresentar o menor valor acima de 0 (zero) como resultado dessa divisão
será considerada a linha pivô.
A linha que apresentou o menor valor acima de zero como resultado da divisão é a
terceira (8/2 = 4) e está destacada na tabela anterior e exposta na sequência:
0 2 1 0 1 0 0 8
6º passo: encontrar a nova linha pivô. Isso é possível dividindo todos os elementos da linha
pelo respectivo elemento pivô. O resultado dessa operação será a nova linha pivô e, nesse
caso, a nova linha três.
Linha Pivô 0 2 1 0 1 0 0 8
Dividindo por 2: 0 1 0,5 0 0,5 0 0 4 Linha Pivô
7º passo: encontrar a nova linha do lucro (primeira linha). Isso é possível multiplicando
todos os elementos da nova linha pivô pelo elemento pivô da primeira linha, com o sinal
invertido (8). Ao resultado dessa multiplicação soma-se a primeira linha, resultando na
nova linha do lucro.
L x1 x2 xf1 xf2 xf3 xf4 b 
1 -8 -2 0 0 0 0 0 
 
0 2 3 1 0 0 0 12 12/2: 6 
0 2 1 0 1 0 0 8 8/2: 4 
0 1 0 0 0 1 0 20 20/1: 20 
0 0 1 0 0 0 1 28 28/0: 0 
 
EaD
41
PESQUISA OPERACIONAL
 Nova Linha Pivô 0 1 0,5 0 0,5 0 0 4
 Multiplicando por 8 = 0 8 4 0 4 0 0 32
 + Linha do Lucro 1 -8 -2 0 0 0 0 0
 = Nova Linha do Lucro 1 0 2 0 4 0 0 32
8º passo: encontrar a nova segunda linha. Multiplicar todos os elementos da nova linha
pivô pelo elemento pivô da segunda linha, com o sinal invertido (-2). Ao resultado dessa
multiplicação soma-se a segunda linha, resultando na nova linha dois.
 Nova Linha Pivô 0 1 0,5 0 0,5 0 0 4
 Multiplicando por -2 = 0 -2 -1 0 -1 0 0 -8
 + Segunda Linha 0 2 3 1 0 0 0 12
 = Nova Linha Dois 0 0 2 1 -1 0 0 4
9º passo: encontrar a nova quarta linha. Multiplicar todos os elementos da nova linha pivô
pelo elemento pivô da quarta linha, com o sinal invertido (-1). Ao resultado dessa multipli-
cação soma-se a quarta linha, resultando na nova linha quatro.
 Nova Linha Pivô 0 1 0,5 0 0,5 0 0 4
 Multiplicando por -1 = 0 -1 -0,5 0 -0,5 0 0 -4
 + Quarta Linha 0 1 0 0 0 1 0 20
 = Nova Linha Quatro 0 0 -0,5 0 -0,5 1 0 16
10º passo: encontrar a nova quinta linha. Multiplicar todos os elementos da nova linha
pivô pelo elemento pivô da quinta linha, com o sinal invertido (0). Ao resultado dessa mul-
tiplicação soma-se a quinta linha, resultando na nova linha cinco.
 Nova Linha Pivô 0 1 0,5 0 0,5 0 0 4
 Multiplicando por -1 = 0 0 0 0 0 0 0 0
 + Quinta Linha 0 0 1 0 0 0 1 28
 = Nova Linha Cinco 0 0 1 0 0 0 1 28
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
42
Reescrevendo a tabela:
Interpretando o resultado
• O valor do coeficiente da primeira linha que ficar logo abaixo de “b” é o valor do lucro.
• Por que X
1
 é igual a 4?
• Por que XF
1
 é igual a 4?
• Por que XF
3
 é igual a 16?
• Por que XF
4
 é igual a 28?
• Por que X
2
 é igual a 0?
• Por que XF
2
 é igual a 0?
Para determinar o valor de uma variável é preciso verificar nas linhas que estão abaixo
da linha do lucro a existência do número “1”. Se este estiver acompanhado de 0 (zero) nas
demais linhas (no caso do exemplo, a linha 3), o resultado indica que desta variável deve ser
produzida alguma quantidade. No caso de x
1 
devem ser produzidas 4 unidades, que é o valor
de “b” que faz parte da mesma linha do número “1”. A mesma regra vale para as demais
variáveis que compõem o modelo.
Já as variáveis de folga indicam se sobraram recursos produtivos ou se os mesmos se
esgotaram. Quando uma variável de folga apresenta valorigual a 0 (zero), significa que o
recurso produtivo a que ela se refere esgotou-se, ou seja, foi usado na sua totalidade. No
 
L x1 x2 xf1 xf2 xf3 xf4 b 
1 0 2 0 4 0 0 32 
0 0 2 1 -1 0 0 4 
0 1 0,5 0 0,5 0 0 4 
0 0 -0,5 0 -0,5 1 0 16 
0 0 1 0 0 0 1 28 
 
Resultado: 
L: R$ 32,00 
x1 (quantidade de pizzas tamanho “G” a produzir): 4 
xf1 (quantidade de horas de mão de obra que sobrou): 4 
xf3 (demanda de pizzas “G” não atendida): 16 
xf4 (demanda de pizzas “GG” não atendida): 28 
x2 (quantidade de pizzas “GG” a produzir): 0 
xf2 (número de funcionários que sobrou): 0 
EaD
43
PESQUISA OPERACIONAL
exemplo dado podemos perceber que foram usados os 8 funcionários disponíveis para a
produção de 4 pizzas “G”. Por isso, xf
2 = 
0. Por outro lado, quando uma variável de folga
apresenta valor, significa que daquela restrição houve sobra. Por exemplo: xf
1
 (horas) =
 
4.
Isso quer dizer que produzindo 4 pizzas “G” e nenhuma pizza “GG” sobraram 4 horas. A
mesma regra vale para as demais variáveis.
O Método Simplex: Exemplo 2
Uma serralheria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente
a empresa produz apenas dois tipos de produtos: portas e portões, ambos de um só modelo.
Consideraremos o fato de a serralheria ter limitações de apenas dois recursos produtivos,
que são ferro e horas de mão de obra, cujas disponibilidades máximas são de 120 Kg e 80
horas, respectivamente. Além disso, sabe-se que para fabricar uma porta são necessários 20
Kg de ferro e 20 horas de mão de obra, enquanto que para produzir cada unidade de portão
são necessários 30 Kg de ferro e 10 horas de mão de obra. O lucro unitário de cada porta é de
R$ 200,00, e o lucro de cada unidade de portão é de R$ 500,00. Construa o modelo de
Programação Linear, indique as quantidades de cada tipo de produto que devem ser produ-
zidas e indique o lucro máximo.
Variáveis de decisão:
x
1
: quantidade de portas a produzir
x
2
: quantidade de portões a produzir
Função Objetivo:
Maximizar L: 200.x
1
 + 500.x
2
Restrições
Ferro 20.x
1
 + 30.x
2
 ≤ 120
Horas Mão de Obra 20.x
1
 + 10.x
2
 ≤ 80
Resolução pelo Método Simplex:
1o passo: reescrever a função objetivo com todas as variáveis de decisão à esquerda.
O que antes era Max. L: 200.x
1
 + 500.x
2 
passa a ser L – 200.x
1
 – 500.x
2
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
44
2o passo: para cada restrição, acrescentar uma variável de folga (xf) e igualar o sinal:
Ferro 20.x
1
 + 30.x
2
 + xf
1
 (variável de folga 1) = 120
Horas Mão de Obra 20.x
1
 +10.x
2
 + xf
2
 (variável de folga 2) = 80
Observações importantes:
• Quando uma equação apresentar sinal de “=”, acrescenta-se “xf ” e iguala-se o sinal.
• Quando uma equação apresentar sinal de “=”, acrescenta-se “-xf ”, seguida de uma vari-
ável auxiliar “a” e iguala-se o sinal.
• Quando uma equação apresentar sinal de “=”, acrescenta-se uma variável auxiliar “a” e
iguala-se o sinal.
3º passo: montar tabela de resolução do problema, em que a primeira linha representa a
equação do lucro (função objetivo), a segunda linha é a linha da restrição do recurso produ-
tivo “ferro” e a terceira linha representa a restrição do recurso produtivo “horas de mão de
obra”.
4º passo: isolar a variável de decisão que apresenta o maior lucro unitário. Nesse caso é
x
2
 (quantidade de portões a produzir) que apresenta um lucro unitário de R$ 500,00, supe-
rior ao lucro de x
1, 
que é de R$ 200,00. Destacaremos na tabela, então, a coluna de x
2
.
5º passo: encontrar a linha pivô. Para isso acontecer é preciso dividir cada valor de “b” pelo
elemento pivô de sua respectiva linha, com exceção da primeira linha, que não participa
dessa etapa. O elemento pivô da linha é aquele que pertence ao mesmo tempo à linha e à
coluna da variável de decisão que foi isolada. Nesse caso, o elemento pivô da segunda linha
é “30” e o elemento pivô da terceira linha é “10”.
Obs.: A linha que apresentar o menor valor acima de 0 (zero) como resultado dessa divisão
será considerada a linha pivô.
L x1 x2 xf1 xf2 b 
1 -200 -500 0 0 0 
0 20 30 1 0 120 
0 20 10 0 1 80 
 
EaD
45
PESQUISA OPERACIONAL
A linha que apresentou o menor valor acima de zero como resultado da divisão é a
segunda (120/30 = 4) e está destacada na tabela e exposta na sequência:
0 20 30 1 0 120
6º passo: encontrar a nova linha pivô. Isso é possível dividindo todos os elementos da linha
pelo respectivo elemento pivô.
Linha Pivô 0 20 30 1 0 120
Dividindo por 30: 0 0,67 1 0,03 0 4 Nova Linha Pivô
7º passo: encontrar a nova linha do lucro (primeira linha). Isso é possível multiplicando
todos os elementos da nova linha pivô pelo elemento pivô da primeira linha, com o sinal
invertido (500). Ao resultado dessa multiplicação soma-se a primeira linha, resultando na
nova linha do lucro.
 Nova Linha Pivô 0 0,67 1 0,03 0 4
 Multiplicando por 500 = 0 333,33 500 16,67 0 2000
 + Linha do Lucro 1 -200 -500 0 0 0
 = Nova Linha do Lucro 1 133,33 0 16,67 0 2000
8º passo: encontrar a nova terceira linha. Multiplicar todos os elementos da nova linha
pivô pelo elemento pivô da terceira linha, com o sinal invertido (-10). Ao resultado dessa
multiplicação soma-se a terceira linha, resultando na nova linha três.
 Nova Linha Pivô 0 0,67 1 0,033 0 4
 Multiplicando por -10 = 0 -6,67 -10 -0,33 0 -40
 + Terceira Linha 0 20 10 0 1 80
 = Nova Linha Três 0 13,33 0 -0,33 1 40
L x1 x2 xf1 xf2 b 
1 -200 -500 0 0 0 
 
0 20 30 1 0 120 120/30: 4 
0 20 10 0 1 80 80/10: 8 
 
EaD Martin Ledermann – N iv ia Maria Kinalski
46
Reescrevendo a tabela:
Interpretando o resultado:
• O valor do coeficiente da primeira linha que ficar logo abaixo de “b” é o valor do Lucro.
• Por que x
2
 é igual a 4?
• Por que xf
2
 é igual a 40?
• Por que x
1
 é igual a 0?
• Por que xf
1
 é igual a 0?
Para determinar o valor de uma variável é preciso verificar nas linhas que estão abaixo
da linha do lucro a existência do número “1”. Se este estiver acompanhado de 0 (zero) nas
demais linhas (no caso do exemplo, a linha 3), o resultado indica que desta variável deve ser
produzida alguma quantidade. No caso de x
2 
devem ser produzidas 4 unidades, que é o valor
de “b”, que faz parte da mesma linha do número “1”. A mesma regra vale para as demais
variáveis que compõem o modelo.
Já as variáveis de folga indicam se sobraram recursos produtivos ou se os mesmos se
esgotaram. Quando uma variável de folga apresenta valor igual a 0 (zero), significa que o
recurso produtivo a que ela se refere esgotou-se, ou seja, foi usado na sua totalidade. No
exemplo dado podemos perceber que foi utilizada toda a quantidade de ferro disponível para
produzir os portões. Por isso, xf
1= 
0. Por outro lado, quando uma variável de folga apresenta
valor, significa que daquela restrição houve sobra. Por exemplo: xf
2
 (horas) =
 
40. Isso quer
dizer que produzindo 4 portões sobraram 40 horas para serem utilizadas. A mesma regra
vale para as demais variáveis.
 
L x1 x2 xf1 xf2 b 
1 133,33 0 16,67 0 2.000 
0 0,67 1 0,03 0 4 
0 13,33 0 -0,33 1 40 
 
Resultado: 
L: R$ 2.000,00 
x2 (quantidade de portões a produzir): 4 
xf2 (quantidade de horas de mão de obra que sobrou): 40 
x1 (quantidade de portas a produzir): 0 
xf1 (quantidade de ferro que sobrou): 0 
EaD
47
PESQUISA OPERACIONAL
Seção 2.3
Solução Ótima pelo Método Simplex
Um dos pressupostos centrais da Pesquisa Operacional é chegar à melhor solução pos-
sível. Neste item mostraremos como identificar se uma solução é a melhor possível. Para
tanto utilizaremos novamente o exemplo da fábrica de pizzas, que apresentou a seguinte
tabela final, com os respectivos resultados:
Para identificar se uma solução apresentada é a melhor possível, devemos prestar aten-
ção no seguinte aspecto: na tabela, verificar os valores dos coeficientes das variáveis de
decisão (linha do lucro). Se estes valores forem maiores ou iguais a zero, significa que a
solução encontrada