Apostila UNIJUÍ - Pesquisa_Operacional
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Apostila UNIJUÍ - Pesquisa_Operacional


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igual a 0 (zero), significa que o
recurso produtivo a que ela se refere esgotou-se, ou seja, foi usado na sua totalidade. No
 
L x1 x2 xf1 xf2 xf3 xf4 b 
1 0 2 0 4 0 0 32 
0 0 2 1 -1 0 0 4 
0 1 0,5 0 0,5 0 0 4 
0 0 -0,5 0 -0,5 1 0 16 
0 0 1 0 0 0 1 28 
 
Resultado: 
L: R$ 32,00 
x1 (quantidade de pizzas tamanho \u201cG\u201d a produzir): 4 
xf1 (quantidade de horas de mão de obra que sobrou): 4 
xf3 (demanda de pizzas \u201cG\u201d não atendida): 16 
xf4 (demanda de pizzas \u201cGG\u201d não atendida): 28 
x2 (quantidade de pizzas \u201cGG\u201d a produzir): 0 
xf2 (número de funcionários que sobrou): 0 
EaD
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PESQUISA OPERACIONAL
exemplo dado podemos perceber que foram usados os 8 funcionários disponíveis para a
produção de 4 pizzas \u201cG\u201d. Por isso, xf
2 = 
0. Por outro lado, quando uma variável de folga
apresenta valor, significa que daquela restrição houve sobra. Por exemplo: xf
1
 (horas) =
 
4.
Isso quer dizer que produzindo 4 pizzas \u201cG\u201d e nenhuma pizza \u201cGG\u201d sobraram 4 horas. A
mesma regra vale para as demais variáveis.
O Método Simplex: Exemplo 2
Uma serralheria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente
a empresa produz apenas dois tipos de produtos: portas e portões, ambos de um só modelo.
Consideraremos o fato de a serralheria ter limitações de apenas dois recursos produtivos,
que são ferro e horas de mão de obra, cujas disponibilidades máximas são de 120 Kg e 80
horas, respectivamente. Além disso, sabe-se que para fabricar uma porta são necessários 20
Kg de ferro e 20 horas de mão de obra, enquanto que para produzir cada unidade de portão
são necessários 30 Kg de ferro e 10 horas de mão de obra. O lucro unitário de cada porta é de
R$ 200,00, e o lucro de cada unidade de portão é de R$ 500,00. Construa o modelo de
Programação Linear, indique as quantidades de cada tipo de produto que devem ser produ-
zidas e indique o lucro máximo.
Variáveis de decisão:
x
1
: quantidade de portas a produzir
x
2
: quantidade de portões a produzir
Função Objetivo:
Maximizar L: 200.x
1
 + 500.x
2
Restrições
Ferro 20.x
1
 + 30.x
2
 \u2264 120
Horas Mão de Obra 20.x
1
 + 10.x
2
 \u2264 80
Resolução pelo Método Simplex:
1o passo: reescrever a função objetivo com todas as variáveis de decisão à esquerda.
O que antes era Max. L: 200.x
1
 + 500.x
2 
passa a ser L \u2013 200.x
1
 \u2013 500.x
2
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
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2o passo: para cada restrição, acrescentar uma variável de folga (xf) e igualar o sinal:
Ferro 20.x
1
 + 30.x
2
 + xf
1
 (variável de folga 1) = 120
Horas Mão de Obra 20.x
1
 +10.x
2
 + xf
2
 (variável de folga 2) = 80
Observações importantes:
\u2022 Quando uma equação apresentar sinal de \u201c=\u201d, acrescenta-se \u201cxf \u201d e iguala-se o sinal.
\u2022 Quando uma equação apresentar sinal de \u201c=\u201d, acrescenta-se \u201c-xf \u201d, seguida de uma vari-
ável auxiliar \u201ca\u201d e iguala-se o sinal.
\u2022 Quando uma equação apresentar sinal de \u201c=\u201d, acrescenta-se uma variável auxiliar \u201ca\u201d e
iguala-se o sinal.
3º passo: montar tabela de resolução do problema, em que a primeira linha representa a
equação do lucro (função objetivo), a segunda linha é a linha da restrição do recurso produ-
tivo \u201cferro\u201d e a terceira linha representa a restrição do recurso produtivo \u201choras de mão de
obra\u201d.
4º passo: isolar a variável de decisão que apresenta o maior lucro unitário. Nesse caso é
x
2
 (quantidade de portões a produzir) que apresenta um lucro unitário de R$ 500,00, supe-
rior ao lucro de x
1, 
que é de R$ 200,00. Destacaremos na tabela, então, a coluna de x
2
.
5º passo: encontrar a linha pivô. Para isso acontecer é preciso dividir cada valor de \u201cb\u201d pelo
elemento pivô de sua respectiva linha, com exceção da primeira linha, que não participa
dessa etapa. O elemento pivô da linha é aquele que pertence ao mesmo tempo à linha e à
coluna da variável de decisão que foi isolada. Nesse caso, o elemento pivô da segunda linha
é \u201c30\u201d e o elemento pivô da terceira linha é \u201c10\u201d.
Obs.: A linha que apresentar o menor valor acima de 0 (zero) como resultado dessa divisão
será considerada a linha pivô.
L x1 x2 xf1 xf2 b 
1 -200 -500 0 0 0 
0 20 30 1 0 120 
0 20 10 0 1 80 
 
EaD
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PESQUISA OPERACIONAL
A linha que apresentou o menor valor acima de zero como resultado da divisão é a
segunda (120/30 = 4) e está destacada na tabela e exposta na sequência:
0 20 30 1 0 120
6º passo: encontrar a nova linha pivô. Isso é possível dividindo todos os elementos da linha
pelo respectivo elemento pivô.
Linha Pivô 0 20 30 1 0 120
Dividindo por 30: 0 0,67 1 0,03 0 4 Nova Linha Pivô
7º passo: encontrar a nova linha do lucro (primeira linha). Isso é possível multiplicando
todos os elementos da nova linha pivô pelo elemento pivô da primeira linha, com o sinal
invertido (500). Ao resultado dessa multiplicação soma-se a primeira linha, resultando na
nova linha do lucro.
 Nova Linha Pivô 0 0,67 1 0,03 0 4
 Multiplicando por 500 = 0 333,33 500 16,67 0 2000
 + Linha do Lucro 1 -200 -500 0 0 0
 = Nova Linha do Lucro 1 133,33 0 16,67 0 2000
8º passo: encontrar a nova terceira linha. Multiplicar todos os elementos da nova linha
pivô pelo elemento pivô da terceira linha, com o sinal invertido (-10). Ao resultado dessa
multiplicação soma-se a terceira linha, resultando na nova linha três.
 Nova Linha Pivô 0 0,67 1 0,033 0 4
 Multiplicando por -10 = 0 -6,67 -10 -0,33 0 -40
 + Terceira Linha 0 20 10 0 1 80
 = Nova Linha Três 0 13,33 0 -0,33 1 40
L x1 x2 xf1 xf2 b 
1 -200 -500 0 0 0 
 
0 20 30 1 0 120 120/30: 4 
0 20 10 0 1 80 80/10: 8 
 
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
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Reescrevendo a tabela:
Interpretando o resultado:
\u2022 O valor do coeficiente da primeira linha que ficar logo abaixo de \u201cb\u201d é o valor do Lucro.
\u2022 Por que x
2
 é igual a 4?
\u2022 Por que xf
2
 é igual a 40?
\u2022 Por que x
1
 é igual a 0?
\u2022 Por que xf
1
 é igual a 0?
Para determinar o valor de uma variável é preciso verificar nas linhas que estão abaixo
da linha do lucro a existência do número \u201c1\u201d. Se este estiver acompanhado de 0 (zero) nas
demais linhas (no caso do exemplo, a linha 3), o resultado indica que desta variável deve ser
produzida alguma quantidade. No caso de x
2 
devem ser produzidas 4 unidades, que é o valor
de \u201cb\u201d, que faz parte da mesma linha do número \u201c1\u201d. A mesma regra vale para as demais
variáveis que compõem o modelo.
Já as variáveis de folga indicam se sobraram recursos produtivos ou se os mesmos se
esgotaram. Quando uma variável de folga apresenta valor igual a 0 (zero), significa que o
recurso produtivo a que ela se refere esgotou-se, ou seja, foi usado na sua totalidade. No
exemplo dado podemos perceber que foi utilizada toda a quantidade de ferro disponível para
produzir os portões. Por isso, xf
1= 
0. Por outro lado, quando uma variável de folga apresenta
valor, significa que daquela restrição houve sobra. Por exemplo: xf
2
 (horas) =
 
40. Isso quer
dizer que produzindo 4 portões sobraram 40 horas para serem utilizadas. A mesma regra
vale para as demais variáveis.
 
L x1 x2 xf1 xf2 b 
1 133,33 0 16,67 0 2.000 
0 0,67 1 0,03 0 4 
0 13,33 0 -0,33 1 40 
 
Resultado: 
L: R$ 2.000,00 
x2 (quantidade de portões a produzir): 4 
xf2 (quantidade de horas de mão de obra que sobrou): 40 
x1 (quantidade de portas a produzir): 0 
xf1 (quantidade de ferro que sobrou): 0 
EaD
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PESQUISA OPERACIONAL
Seção 2.3
Solução Ótima pelo Método Simplex
Um dos pressupostos centrais da Pesquisa Operacional é chegar à melhor solução pos-
sível. Neste item mostraremos como identificar se uma solução é a melhor possível. Para
tanto utilizaremos novamente o exemplo da fábrica de pizzas, que apresentou a seguinte
tabela final, com os respectivos resultados:
Para identificar se uma solução apresentada é a melhor possível, devemos prestar aten-
ção no seguinte aspecto: na tabela, verificar os valores dos coeficientes das variáveis de
decisão (linha do lucro). Se estes valores forem maiores ou iguais a zero, significa que a
solução encontrada