Apostila UNIJUÍ - Pesquisa_Operacional
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Apostila UNIJUÍ - Pesquisa_Operacional


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é a melhor possível. Por outro lado, se pelo menos uma dessas variáveis
de decisão apresentar coeficiente com valor negativo, a solução apresentada não é a melhor
possível, podendo ser melhorada.
No caso do exemplo citado, a solução encontrada é a melhor possível, pois x
1
 apresen-
tou coeficiente de valor \u201c0\u201de x
2
 apresentou coeficiente de valor \u201c2\u201d. Na sequência traremos
um exemplo no qual a primeira solução apresentada não é a melhor possível.
Exemplo: identificando a solução ótima
Certa empresa fabrica dois produtos: P1 e P2. Para produzir uma unidade de P1 a
empresa utiliza 12 unidades de Recurso Produtivo 1 (R1) e 10 unidades de Recurso Produ-
tivo 2 (R2). Para produzir uma unidade de P2, a empresa utiliza 20 unidades de Recurso
 
L x1 x2 xf1 xf2 xf3 xf4 b 
1 0 2 0 4 0 0 32 
0 0 2 1 -1 0 0 4 
0 1 0,5 0 0,5 0 0 4 
0 0 -0,5 0 -0,5 1 0 16 
0 0 1 0 0 0 1 28 
 
Resultado: 
L: R$ 32,00 
x1 (quantidade de pizzas tamanho \u201cG\u201d a produzir): 4 
xf1 (quantidade de horas de mão de obra que sobrou): 4 
xf3 (demanda de pizzas \u201cG \u201dnão atendida): 16 
xf4 (demanda de pizzas \u201cGG\u201d não atendida): 28 
x2 (quantidade de pizzas \u201cGG\u201d a produzir): 0 
xf2 (número de funcionários que sobrou): 0 
 
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
48
Produtivo 1 (R1) e 14 unidades de Recurso Produtivo (R2). As disponibilidades dos recursos
produtivos são as seguintes: até 3.000 unidades de R1 e até 3.500 unidades de R2. Construa
o modelo de Programação Linear, indique as quantidades de cada tipo de produto que de-
vem ser produzidas e indique o lucro máximo considerando que o lucro unitário de P1 é de
R$ 200,00 e que o lucro unitário de P2 é de R$ 210,00.
Variáveis de decisão:
X
1
: quantidade de P1 a produzir
X
2
: quantidade de P2 a produzir
Função Objetivo:
Maximizar L: 200.x
1
 + 210.x
2
Restrições
R1 12.x
1
 + 20.x
2
 \u2264 3.000
R2 10.x
1
 + 14.x
2
 \u2264 3.500
Resolução:
1º passo: reescrever a função objetivo com todas as variáveis de decisão à esquerda.
L-200.x
1
-210.x
2
2º passo: acrescentar em cada restrição uma variável de folga e igualar o sinal.
R1 12.x
1
 + 20.x
2 
+ xf
1
 = 3.000
R2 10.x
1
 + 14.x
2
 + xf
2
 = 3.500
3º passo: montar tabela.
L x1 x2 xf1 xf2 b 
1 -200 -210 0 0 0 
0 12 20 1 0 3.000 
0 10 14 0 1 3.500 
 
EaD
49
PESQUISA OPERACIONAL
4º passo: isolar variável que apresenta o maior lucro unitário.
5º passo: determinar a linha pivô.
Linha pivô 0 12 20 1 0 3.000
6º passo: encontrar a nova linha pivô.
Linha pivô 0 12 20 1 0 3.000
Dividindo por 20 0 0,6 1 0,05 0 150 Nova linha pivô
7º passo: encontrar a nova linha do lucro (primeira linha).
Nova linha pivô 0 0,6 1 0,05 0 150
Multiplicando por 210 0 126 210 10,5 0 31.500
+ Linha do Lucro 1 -200 -210 0 0 0
= Nova Linha do Lucro 1 -74 0 10,5 0 31.500
8º passo: encontrar a nova terceira linha.
Nova linha pivô 0 0,6 1 0,05 0 150
Multiplicando por -140 -8,4 -14 -0,7 0 -2.100
+ Terceira Linha0 10 14 0 1 3.500
= Nova Linha Três 0 1,6 0 -0,7 1 1.400
Reescrevendo a tabela:
L x1 x2 xf1 xf2 B 
1 -74 0 10,5 0 3.1500 
0 0,6 1 0,05 0 150 
0 1,6 0 -0,7 1 1.400 
 
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
50
Resultado:
L: R$ 31.500,00
x
1
: 0
x
2
: 150
xf
1
: 0
xf
2
: 1.400
Podemos afirmar que a solução apresentada não é a melhor possível, ou seja, que o
lucro máximo não é de R$ 31.500,00, mas como chegar a esta conclusão? Ao analisarmos a
primeira linha da tabela podemos perceber que o valor do coeficiente relacionado à variável
de decisão x
1 
é negativo (-74) e essa situação indica que a solução apresentada pode ser
melhorada. Como proceder, no entanto, para chegar à melhor solução? A resposta é fácil: a
partir da solução encontrada, desenvolver o seguinte conjunto de etapas:
1º passo: reescrever a solução encontrada em forma de tabela.
2º passo: isolar a variável cujo coeficiente apresentou valor negativo. Se mais de uma
variável apresentar coeficiente com valor negativo, isolar a que possui o menor valor.
No exemplo usado, a variável que apresenta coeficiente com valor negativo x
1
, que já se
encontra destacada na tabela.
3º passo: encontrar a linha pivô.
0 0,6 1 0,05 0 150
4º passo: encontrar a nova linha pivô.
Linha pivô 0 0,6 1 0,05 0 150
Dividindo por 0,6=0 1 1,67 0,08 0 250 Nova linha pivô
L x1 x2 xf1 xf2 B 
1 -74 0 10,5 0 31.500 
0 0,6 1 0,05 0 150 
0 1,6 0 -0,7 1 1.400 
 
EaD
51
PESQUISA OPERACIONAL
5º passo: encontrar a nova primeira linha.
Nova linha pivô 0 1 1,67 0,08 0 250
Multiplicando por 74 0 74 123,33 6,17 0 18.500
+ Linha do Lucro 1 -74 0 10,5 0 31.500
= Nova Linha do Lucro 1 0 123,33 16,667 0 50.000
6º passo: encontrar a nova terceira linha.
Nova linha pivô 0 1 1,67 0,08 0 250
Multiplicando por -1,6 0 -1,6 -2,67 -0,13 0 -400
+ Terceira Linha 0 1,6 0 -0,7 1 1.400
= Nova Linha Três 0 0 -2,67 -0,83 1 1.000
Reescrevendo a tabela:
Resultado:
L: R$ 50.000,00
x
1
: 250
x
2
: 0
xf
1
: 0
xf
2
: 1.000
Assim sendo, a empresa deve produzir 250 unidades de x
1 
(P1), nenhuma unidade de x
2
(P2) tendo, dessa forma, um lucro máximo de R$ 50.000,00. Diante dessa situação foi utili-
zada toda a disponibilidade do recurso produtivo 1 (xf
1
), sobrando 1000 unidades do recurso
produtivo 2 (xf
2
). Veja que o lucro que antes era de R$ 31.500,00 agora passa a ser de R$
50.000,00.
L x1 x2 xf1 xf2 B 
1 0 123,33 16,67 0 50.000 
0 1 1,67 0,08 0 250 
0 0 -2,667 -0,833 1 1.000 
 
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
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EXERCÍCIOS (LISTA 2)
Usando o Método Simplex, resolva os seguintes exercícios da Lista 1:
1. Exercício 2
2. Exercício 3
3. Exercício 4
4. Exercício 6
5. Exercício 7
6. Variáveis de decisão:
x
1
: Número de caixas de cerveja Brahma a transportar
x
2
: Número de caixas de cerveja Skol a transportar
x
3
: Número de caixas de cerveja Polar a transportar
Função Objetivo:
Maximizar L: 10,15.x
1
 + 10.x
2
 + 7,23. x
3
Restrições:
Capacidade do caminhão: x
1 
+ x
2 
+
 
x
3 
\u2264 924
Demanda x
1
: x
1 
\u2264 700
Demanda x
2
: x
2 
\u2264 440
Demanda x
3
: x
3 
\u2264 300
7. Variáveis de decisão:
x
1
: Quantidade de sapatos masculinos a produzir
x
2
: Quantidade de sapatos femininos a produzir
Função Objetivo:
Maximizar L: 130.x
1
 + 125.x
2
Restrições:
Couro 2.x
1 
+ x
2 
\u2264 4
Espuma 4.x
1 + 
2.x
2
 \u2264 4
Borracha 2.x
1 + 
2.x
2
 \u2264 5
EaD
53
PESQUISA OPERACIONAL
8. Variáveis de decisão:
x
1
: Número de unidades de P1 a produzir
x
2
: Número de unidades de P2 a produzir
x
3
: Número de unidades de P3 a produzir
Função Objetivo:
Maximizar L: 2.x
1
 + 3.x
2
 + 4. x
3
Restrições:
R1 x
1 
+ x
2 
+
 
x
3 
\u2264 100
R2 2.x
1 
+ x
2 
\u2264 210
R3 x
1 
\u2264 80
Seção 2.4
O Problema da Minimização
Até o momento trabalhamos com situações de maximização. Nesta etapa do livro-
texto abordaremos ocorrências de minimização, principalmente de minimização de custos.
Vejamos o seguinte exemplo:
Variáveis de decisão
x
1
: Quantidade de P1 a produzir
x
2
: Quantidade de P2 a produzir
Função Objetivo
Min C: 10. x
1
+ 15. x
2
Restrições
Recurso Produtivo 1 (R1): 5. x
1
 + 3. x
2
 \u2264 60
Recurso Produtivo 2 (R2): 4. x
1
 + 6. x
2
 \u2264 50
O processo de resolução é semelhante ao dos casos de maximização. A diferença é
que, nos casos de minimização, multiplica-se toda a função objetivo por (-1). O restante do
processo é igual aos casos de maximização. Vamos à resolução do exemplo:
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
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1º passo: reescrever a função objetivo, multiplicando-a por (-1).
- C: \u2013 10. x
1 \u2013 
15. x
2
2º passo: acrescentar em cada restrição uma variável de folga e igualar o sinal.
R1 5. x
1
 + 3. x
2
 + xf1 = 60
R2 4. x
1
 + 6. x
2
 + xf2 = 50
3º passo: montar tabela.
4º passo: isolar a variável de decisão que apresenta o valor negativo mais distante de
zero.
5º passo: