Apostila UNIJUÍ - Pesquisa_Operacional
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Apostila UNIJUÍ - Pesquisa_Operacional


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formada pelas variáveis originais. Podemos abandonar as variáveis
auxiliares, todas nulas. A tabela fica da seguinte forma:
A partir desta nova tabela faz-se todo o procedimento necessário e já conhecido para
chegar ao lucro máximo e às quantidades que devem ser produzidas de x
1
, x
2
 e x
3
, além das
sobras de recursos produtivos. A tabela com o resultado final é a seguinte:
Resultado final:
L: R$ 35,00 xf
1
: 0
x
1
: 0 xf
2
: 27,5
x
2
: 22,5
x
3
: 12,5
b)Método da Função Objetivo Auxiliar
De acordo com Silva et al. (2009), como no método anterior, nas equações e nas
inequações do tipo \u2265, acrescentamos as variáveis auxiliares, para compor com as folgas das
inequações do tipo \u2264, a solução básica necessária para a aplicação do Simplex.
Construiremos, então, uma função objetivo auxiliar, que denominaremos de \u201cW\u201d,
formada pela soma das variáveis auxiliares. A função \u201cW\u201d deve ser escrita em termos das
variáveis originais e comporá o novo objetivo a ser minimizado. Quando as variáveis e fun-
L x1 x2 x3 xf1 xf2 b 
1 -0,33 -0,667 0 0 0 20 
0 2,67 1,33 0 1 0 30 
0 0,67 0,33 1 0 0 20 
0 0,33 
 
-0,33 0 0 1 20 
 
L x1 x2 x3 xf1 xf2 b 
1 1 0 0 0,5 0 35 
0 2 1 0 0,75 0 22,5 
0 0 0 1 -0,25 0 12,5 
0 1 
 
0 0 0,25 1 27,5 
 
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
62
ções auxiliares forem não básicas (a
1
:0; a
2
:0......) as variáveis e funções auxiliares podem ser
abandonadas. O novo objetivo será dado pela função objetivo original. Usaremos para ex-
plicar este novo método o exemplo desenvolvido no Método do M Grande.
Variáveis de decisão
x
1
: Quantidade de P1 a produzir
x
2
: Quantidade de P2 a produzir
x
3
: Quantidade de P3 a produzir
Função Objetivo
Max L: x
1
+ x
2 
+ x
3
Restrições
Recurso Produtivo 1 (R1): 2. x
1
 + x
2 
\u2013 x
3
 \u2264 10
Recurso Produtivo 2 (R2): x
1
 + x
2 
+ 2.x
3
 \u2265 20
Recurso Produtivo 3 (R3): 2. x
1
 + x
2
 + 3.x
3
= 60
Acrescentando as variáveis de folga e variáveis auxiliares, como já fizemos anterior-
mente, teremos:
R1: 2. x
1
 + x
2 
\u2013 x
3
 + xf
1
 = 10
R2: x
1
 + x
2 
+ 2.x
3
 \u2013 xf
2
 + a
2
= 20
R3: 2. x
1
 + x
2
 + 3.x
3
 + a
3
= 60
Max L: x
1
+ x
2 
+ x
3
 \u2013 M
2
a
2
 \u2013 M
3
a
3
Função auxiliar W: a
2
 + a
3
Segunda restrição - x
1
\u2013 x
2
\u2013 2.x
3
xf
2
20
+ terceira restrição - 2.x
1
\u2013 x
2
\u2013 3.x
3
0 60
= W -3 -2 -5 1 -80
A tabela contendo a função auxiliar W fica da seguinte forma:
L x1 x2 x3 xf1 xf2 a2 a3 b 
1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 
0 2 1 -1 1 0 0 0 10 
0 1 1 2 0 -1 1 0 20 
0 2 1 3 0 0 0 1 60 
-1 -3 -2 -5 0 1 0 0 -80 
- W 
 
EaD
63
PESQUISA OPERACIONAL
A partir desse momento o processo é o mesmo que conhecemos, até completar a tabela
com a resolução final.
1º passo: isolar a variável de decisão que apresenta o maior lucro unitário. Como nesse
caso todas as variáveis de decisão apresentam o mesmo lucro unitário, escolheremos uma
delas, de forma aleatória. Optaremos por x
3
.
2º passo: determinar a linha pivô.
3º passo: calcular a nova linha pivô.
4º passo: calcular a nova linha do lucro.
5º passo: calcular a nova segunda linha.
L x1 x2 x3 xf1 xf2 a2 a3 b 
1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 
0 2 1 -1 1 0 0 0 10 
0 1 1 2 0 -1 1 0 20 
0 2 1 3 0 0 0 1 60 
-1 -3 -2 -5 0 1 0 0 -80 
- W 
 
Linha pivô 0 1 1 2 0 -1 1 0 20 
Dividindo por 2 = Nova 
linha pivô 
 
0 
 
0,5 
 
0,5 
 
1 
 
0 
 
-0,5 
 
0,5 
 
0 
 
10 
 
Nova linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10 
Multiplicando por 1 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10 
+ Linha do lucro 1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 
= Nova linha do lucro 1 -0,5 -0,5 0 0 -0,5 0,5 0 10 
 
Nova linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10 
Multiplicando por 1 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10 
+ Segunda linha 0 2 1 -1 1 0 0 0 10 
= Nova linha dois 0 2,5 1,5 0 1 -0,5 0,5 0 20 
 
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
64
 
Nova linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10 
Multiplicando por 5 0 2,5 2,5 5 0 -2,5 2,5 0 50 
+ Quinta linha -1 -3 -2 -5 0 1 0 0 -80 
= Nova linha cinco -1 -0,5 0,5 0 0 -1,5 2,5 0 -30 
 
L x1 x2 x3 xf1 xf2 a2 a3 b 
1 -0,5 -0,5 0 0 -0,5 0,5 0 10 
0 2,5 1,5 0 1 -0,5 0,5 0 20 
0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10 
0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30 
-1 -0,5 0,5 0 0 -1,5 2,5 0 -30 
- W 
 
6º passo: calcular a nova quarta linha.
7º passo: calcular a nova quinta linha.
Resultado:
L: R$ 10,00 xf
1
: 20
x
1
: 0 xf
2
: 0
x
2
: 0 a
2
: 0
x
3
: 10 a
3
: 30
Como podemos perceber, a solução ainda não é a ideal. Para eliminarmos as variáveis
auxiliares, isolaremos xf
2
 e daremos continuidades ao exercício.
Nova linha pivô 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10 
Multiplicando por -3 0 -1,5 -1,5 -3 0 1,5 -1,5 0 -30 
+ Quarta linha 0 2 1 3 0 0 0 1 60 
= Nova linha quatro 0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30 
 
EaD
65
PESQUISA OPERACIONAL
 
Linha pivô 
 
0 
 
0,5 
 
-0,5 
 
0 
 
0 
 
1,5 
 
-1,5 
 
1 
 
30 
Dividindo por 1,5 = 
Nova linha pivô 
 
0 
 
0,33 
 
-0,33 
 
0 
 
0 
 
1 
 
-1 
 
0,67 
 
20 
 
1º passo: isolar xf2.
2º passo: determinar a linha pivô.
3º passo: determinar a nova linha pivô.
4º passo: determinar nova linha do lucro.
5º passo: determinar nova segunda linha.
L x1 x2 x3 xf1 xf2 a2 a3 b 
1 -0,5 -0,5 0 0 -0,5 0,5 0 10 
0 2,5 1,5 0 1 -0,5 0,5 0 20 
0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10 
0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30 
-1 -0,5 0,5 0 0 -1,5 2,5 0 -30 
- W 
 
Linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20 
Multiplicando por 0,5 0 0,17 -0,17 0 0 0,5 -0,5 0,33 10 
+ Linha do lucro 1 -0,5 -0,5 0 0 -0,5 M2 M3 10 
= Nova linha do lucro 1 -0,33 -0,667 0 0 0 M2 M3 20 
 
Linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20 
Multiplicando por 0,5 0 0,17 -0,17 0 0 0,5 -0,5 0,33 10 
+ Segunda linha 0 2,5 1,5 0 1 -0,5 0,5 0 20 
= Nova linha dois 0 2,67 1,33 0 1 0 0 0,33 30 
 
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
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6º passo: determinar nova terceira linha.
7º passo: determinar nova quinta linha.
Tabela com o resultado:
Resultado:
L: R$ 20,00 xf
1
: 30
x
1
: 0 xf
2
: 20
x
2
: 0 a
2
: 0
x
3
: 20 a
3
: 0
A solução básica é formada pelas variáveis originais. Podemos abandonar as variáveis
auxiliares, todas nulas. A tabela, assim como verificado no Método do M Grande, fica da
seguinte forma:
Linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20 
Multiplicando por 0,5 0 0,17 -0,17 0 0 0,5 -0,5 0,33 10 
+ Terceira linha 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10 
= Nova linha três 0 0,67 0,33 1 0 0 0 0,33 20 
 
Linha pivô 0 0,33 -0,33 0 0 1 -1 0,67 20 
Multiplicando por 1,5 0 0,5 -0,5 0 0 1,5 -1,5 1 30 
+ Quinta linha -1 -0,5 0,5 0 0 -1,5 2,5 0 -30 
= Nova linha cinco -1 0 0 0 0 0 1 1 0 
 
L x1 x2 x3 xf1 xf2 a2 a3 b 
1 -0,33 -0,67 0 0 0 0 
 
0,33 20 
0 2,67 1,33 0 1 0 0 
 
0,33 30 
0 0,67 0,33 1 0 0 0 
 
0,33 20 
0 0,33 
 
-0,33 0 0 1 -1 0,67 20 
-1 0 0 0 0 0 1 
 
1 0 
 
EaD
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PESQUISA OPERACIONAL
A partir dessa nova tabela faz-se todo o procedimento necessário e já conhecido para
chegar ao lucro máximo e às quantidades que devem ser produzidas de x
1
, x
2
 e x
3
, além das
sobras de recursos produtivos. Observe que o resultado final é o mesmo obtido com o Méto-
do do M Grande. A tabela com o resultado final é a seguinte:
Resultado final:
L: R$ 35,00 xf
1
: 0
x
1
: 0 xf
2
: 27,5
x
2
: 22,5
x
3
: 12,5
EXERCÍCIOS (LISTA 4)
1. Resolva pelo Simplex, usando o Método do M Grande para obter a solução básica inicial.
Variáveis de decisão:
x
1
: Quantidade de meias masculinas a produzir
x
2
: Quantidade de meias femininas a produzir
Função Objetivo:
Maximizar L: 2.x
1
 + 3.x
2
L X1 x2 x3 xf1 xf2 b 
1 -0,33 -0,667 0 0 0 20 
0 2,67 1,33 0 1 0 30 
0 0,67 0,33 1 0 0 20 
0 0,33 
 
-0,33 0 0 1 20 
 
L x1 x2 x3 xf1 xf2 b 
1 1 0 0 0,5 0 35 
0 2 1 0 0,75 0 22,5 
0 0 0 1 -0,25 0 12,5 
0 1 0 0 0,25 1 27,5 
 
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
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Restrições:
Lã x
1 
+ x
2 
= 10
Horas Máquina 2.x
1 + 
x
2
 = 16
2. Resolva pelo Simplex, usando o Método da Função Objetiva Auxiliar