Apostila UNIJUÍ - Pesquisa_Operacional
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Apostila UNIJUÍ - Pesquisa_Operacional


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7 
 
8 
 
50 
 
Uruguaiana 
 
20 
 
18 
 
23 
 
20 
 
Demanda 
 
40 
 
40 
 
40 
 
120 
 
x11 x12 
x21 
x22 
x13 
x23 
x31 x32 x33 
Destinos Origens 
D1 D2 
D3 
D4 
Disponibilidades/ 
Capacidade 
Produtiva 
 
F1 
 
10 
 
5 
 
6 
 
7 
 
25 
 
F2 
 
8 
 
2 
 
7 
 
6 
 
25 
 
F3 
 
9 
 
3 
 
4 
 
8 
 
50 
 
Demanda 
 
15 
 
20 
 
30 
 
35 
 
100 
 
x11 x12 
x21 x22 
x13 
x23 
x31 x32 x33 
x14 
x24 
x34 
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
120
Exercício 2.3
Exercício 2.4
SÍNTESE DA UNIDADE 3
Nesta Unidade estudamos o que chamamos em Pesquisa
Operacional de Problemas de Transporte. Certamente para mui-
tos, principalmente para aqueles que trabalham com logística, esse
assunto não é desconhecido. Os estudos sobre Problemas de Trans-
porte auxiliam na delimitação da quantidade de produtos que de-
vem ser transportados de suas origens para seus destinos, com o
menor custo possível. Para atender a esse pressuposto, apresenta-
mos três métodos que ajudam a alcançar tal objetivo: Método do
Custo Mínimo, Método do Canto Noroeste e Método de Vogel.
Além disso, descrevemos os procedimentos adotados para encon-
trar a melhor solução de transporte possível.
Destinos Origens 
Cruz Alta Cerro Largo 
Santo 
Augusto 
Disponibilidades/ 
Capacidade Produtiva 
 
Cachoeirinha 
 
 3 
 
2 
 
6 
 
7 
Santa Bárbara 
do Sul 
 
1 
 
4 
 
3 
 
5 
 
Anchieta 
 
4 
 
2 
 
5 
 
8 
 
Demanda 
 
8 
 
6 
 
6 
 
20 
 
x11 x12 
x21 x22 
x13 
x23 
x31 x32 x33 
Destinos Origens 
MT BA 
SP 
Disponibilidades/ 
Capacidade Produtiva 
 
F1 
 
13 
 
8 
 
6 
 
12 
 
F2 
 
12 
 
9 
 
3 
 
16 
 
F3 
 
7 
 
4 
 
9 
 
10 
 
F4 
 
3 
 
2 
 
8 
 
15 
 
Demanda 
 
8 
 
25 
 
20 
 
53 
 
x11 x12 
x21 x22 
x13 
x23 
x31 x32 x33 
x41 x42 x43 
EaD
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PESQUISA OPERACIONAL
Unidade 4Unidade 4Unidade 4Unidade 4
TEORIA DAS FILAS
OBJETIVOS DESTA UNIDADE
Esta unidade trata especificamente da Teoria das Filas, em projetos de represas, em
programação de produção, em operações hospitalares, nas resoluções de problemas de filas
em bancos e supermercados, entre outras aplicações.
AS SEÇÕES DESTA UNIDADE
Seção 4.1 \u2013 Aspectos Gerais da Teoria das Filas
Seção 4.2 \u2013 Características de uma Fila
Seção 4.3 \u2013 Localização das Variáveis Aleatórias
Seção 4.4 \u2013 Modelo de Fila M/M/1
Seção 4.5 \u2013 Modelo de Fila M/M/C
As filas são a \u201cpraga\u201d do mundo atual. Espera-se em fila no banco, na padaria, no
ponto de ônibus, no trânsito, no restaurante. Em sistemas computacionais, há filas por toda
parte: para acessar a CPU, o disco, a memória, a rede, a impressora, os servidores e outros
recursos. As filas surgem porque a demanda de serviço é maior que a capacidade de atendi-
mento do sistema.
Seção 4.1
Aspectos Gerais da Teoria das Filas
A teoria das filas é um método analítico que aborda o assunto por meio de fórmulas
matemáticas. A abordagem matemática de filas teve início no princípio do século 20 (1908)
em Copenhague, Dinamarca, com A. K. Erlang, considerado o pai da Teoria das Filas, quan-
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
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do trabalhava em uma companhia telefônica. Foi somente a partir da Segunda Guerra Mun-
dial que a teoria foi aplicada a outros problemas de filas. Apesar do enorme progresso alcan-
çado pela teoria, inúmeros problemas não são adequadamente resolvidos por causa de com-
plexidades matemáticas (Prado, 2004).
A teoria das filas envolve o estudo matemático das filas ou linhas de espera. A forma-
ção de filas excede a capacidade de fornecer o serviço. Os modelos matemáticos tornam-se
complexos porque normalmente utilizam ferramentas que envolvem um tratamento estatís-
tico ou estocástico. Fornecer uma capacidade excessiva de atendimento gera ociosidade;
proporcionar um atendimento deficitário gera insatisfação, perda de clientes, perda de pro-
dução; tudo isto leva a uma relação muito forte entre as condições de um sistema de filas e
a minimização dos custos no atendimento do mesmo.
Um modelo estatístico ou estocástico é uma formalização das relações entre as variá-
veis na forma de equações matemáticas. Em termos matemáticos, um modelo estatístico é
frequentemente pensado como um par (Y, P), onde Y é o conjunto de observações possíveis e
P o conjunto de possíveis distribuições de probabilidade de Y. Supõe-se que há um elemento
distinto de P, que gera os dados observados. Inferência estatística nos permite fazer afirma-
ções sobre que elemento(s) deste conjunto são susceptíveis de serem verdadeiros.
O estudo de sistemas de filas tem larga utilidade:
a) No planejamento e controle da produção.
b) No dimensionamento de sistemas de armazenamento.
c) Nos sistemas de transportes.
d) Nos sistemas de tráfego (rodo-porto-aéreo-ferroviário).
e) Na manutenção de máquinas.
f) Em qualquer sistema em que seja provável a formação de filas para determinado atendi-
mento.
g) Nos sistemas de saúde.
h) Nos sistemas comerciais.
A figura a seguir ilustra os elementos que compõem uma fila. Nela pode-se observar
que de certa população surgem clientes que formam fila e que aguardam por certo tipo de
serviço. O termo cliente é empregado de uma forma genérica e pode designar tanto uma
pessoa, um navio ou um lingote, por exemplo. O atendimento é constituído de um ou mais
servidores (que podem ser chamados de atendentes ou canais de serviço) e tanto pode
designar um barbeiro, um vendedor ou uma máquina, entre outras denominações.
EaD
123
PESQUISA OPERACIONAL
Sistemas de filas
Figura 1 \u2013 Sistema de filas (por exemplo fila de um banco ou supermercado)
Fonte: Adaptado de Prado, 2004.
Observações:
\u2022 a população de clientes pode ser finita ou infinita;
\u2022 os clientes podem chegar um de cada vez ou em blocos;
\u2022 a fila pode ter capacidade finita ou infinita;
\u2022 o mecanismo de atendimento pode ter um posto ou vários, paralelos;
\u2022 o sistema engloba os clientes da fila e os clientes em atendimento.
Seção 4.2
Características de uma Fila
Clientes e tamanho da população: Um cliente é proveniente de uma população. Quan-
do uma população é muito grande, a chegada de um novo cliente a uma fila não afeta a
taxa de chegada de clientes subsequentes e conclui-se dizendo que as chegadas são inde-
pendentes. Quando a população é pequena, o efeito existe e pode ser considerável.
População infinita => Chegadas independentes
População finita => Chegadas interdependentes
Processo de chegadas: Representa o ritmo de chegadas para a realização de uma ati-
vidade e para quantificar as variáveis randômicas (aleatórias) envolvidas podemos definir:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
População 
De 
clientes 
Clientes 
chegando 
 
Fila 
Mecanismo de 
atendimento Cliente 
saindo 
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
124
\u3bb = Ritmo de chegada (exemplo: 4 clientes por minuto)
IC = Intervalo médio entre chegadas (exemplo: 12 segundos)
Não basta fornecer valores médios, é necessário também mostrar como os valores se
distribuem em torno da média, i.e., qual distribuição de probabilidades rege o processo. Um
tipo raro de processo de chegada é o regular, ou seja, aquele em que não existe nenhuma
variação entre valores para os intervalos de chegada. Esta situação ocorre apenas em pro-
cessos altamente automatizados.
Processo de atendimento: Representa a realização da atividade e este processo é
quantificado pelas variáveis randômicas (aleatórias) definidas a seguir:
µ = Ritmo de atendimento
TA = Tempo de Atendimento
Número de servidores (c): Quantidade de servidores que atendem os clientes.
Disciplinas das filas: Trata-se de uma regra que define qual o próximo a ser atendido
e o comum é que o primeiro da fila seja atendido primeiro, ou, de uma maneira mais ampla,
\u201co primeiro a chegar é o primeiro a ser atendido\u201d (em inglês, diz-se Fifo: First in, first out).
Outras disciplinas podem existir, tais