Apostila UNIJUÍ - Pesquisa_Operacional
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Apostila UNIJUÍ - Pesquisa_Operacional


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PESQUISA OPERACIONAL
Quando temos uma população infinita de clientes, as seguintes fórmulas tratam as
principais variáveis:
Chamamos de Taxa de Utilização a relação entre o ritmo médio de chegada e o ritmo
médio de atendimento.
\u3c1\u3c1\u3c1\u3c1 = \u3bb\u3bb\u3bb\u3bb / µµµµ
Conforme vimos anteriormente, sistemas estáveis exigem ë menor que ë ou ñ < 1.
Quando ñ tende para 1 a fila tende a aumentar infinitamente, conforme mostramos a se-
guir.
A expressão anterior nos permite concluir facilmente que, se ë = ì temos ñ = 1 e o
tamanho da fila é infinito, conforme ilustrado na figura a seguir.
EaD Martin Ledermann \u2013 N iv ia Maria Kinalski
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Exemplo 1
Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefônica obedeçam à lei de Poisson,
com ritmo de 6 chegadas por hora. A duração média do telefonema é de 3 minutos e supo-
nhamos que siga a distribuição exponencial negativa. Pede-se:
a) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter de esperar?
Pelos dados temos: \u3bb=6 chegadas hora. Portanto IC = 10 minutos
TA = 3 minutos. Portanto µ= 20 atendimentos/ hora
Po = 1 \u2013 \u3bb/µ = 1 \u2013 6/20 = 0,7
Ou seja, existe uma probabilidade de 70% de que uma pessoa, ao chegar, não encon-
tre ninguém no sistema e possa utilizar imediatamente o telefone. O complemento deste
valor (30%) significa a probabilidade de uma pessoa esperar. Assim, o telefone fica ocupado
30% do tempo e fica 70% do tempo ocioso.
b) Qual o número médio de pessoas na fila?
NF = \u3bb2 / µ(µ-\u3bb) = (6*6)/(20(20-6)) = 0,128
c) Qual o número médio de pessoas no sistema?
NS = \u3bb(µ-\u3bb) = 0,428
d) Qual o número médio de clientes usando o telefone?
NA = NS \u2013 NF = 0,48 \u2013 0,128 = 0,3
e) Qual o tempo médio de fila?
TF = \u3bb / µ(µ-\u3bb) = 6/20(20-6) = 0,021 hora = 1,28 minutos
f) Para qual ritmo de chegada teríamos a situação em que o tempo médio de espera na fila
seria de 3 minutos?
TF = \u3bb / µ(µ-\u3bb), para TF = 3 minutos ou TF = 0,05 hora e mantendo o mesmo µ = 20
clientes hora, temos: \u3bb = TF* µ2 / (1+ µ*TF) = 10 chegadas/hora
g) Qual a fração do dia durante a qual o telefone está em uso?
A fração do dia durante a qual o telefone está em uso é exatamente igual a (1-Po), isto
é, a probabilidade de que existam pessoas no sistema. Conforme calculado no primeiro item
este valor é 30%.
EaD
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PESQUISA OPERACIONAL
Exemplo 2
Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas má-
quinas, que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal possui duas opções: um
reparador lento, que é capaz de consertar a um ritmo de 4 falhas por hora ou um reparador
rápido, que é capaz de consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora. O salário/hora do
reparador lento é R$ 3,00 e do reparador rápido é R$ 5,00. O custo de uma máquina parada
é R$ 5,00. Pede-se qual a contratação que deve ser efetuada para que o custo total (repara-
dor mais máquinas paradas) seja mínimo?
Reparador Lento
NS = \u3bb/(µ \u2013 \u3bb) = 3/(4-3) = 3 máquinas
Custo das máquinas = 3* 5 = R$ 15,00
Custo do reparador = R$ 3,00
Custo total = R$ 18,00
Reparador rápido
NS = \u3bb/(µ \u2013 \u3bb) = 3/(6-3) = 1 máquina
Custo das máquinas = 1* 5 = R$ 5,00
Custo do reparador = R$ 5,00
Custo total = R$ 10,00
Comparando, vemos que o reparador rápido, apesar de ter um custo maior, implica um
custo total menor.
Seção 4.5
Modelo de Fila M/M/C
O modelo de fila M/M/C apresenta uma única fila e diversos servidores com chegadas
e atendimentos marcovianos (isto é, seguem a Distribuição de Poisson ou a Distribuição
Exponencial negativa)
Supõe-se aqui que a capacidade de atendimento de cada um dos servidores é a mesma
(ou seja, µ).
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Casos de população infinita e finita
Figura 2 \u2013 Sistema de fila única com vários atendentes
Fonte: Elaborado pelos autores.
Para um sistema que tem a estrutura da figura a anterior são válidas as definições
estudadas anteriormente (\u3bb, µ, IC = 1/\u3bb, TA e c = capacidade de atendimento).
População finita: O Modelo M/M/c
As fórmulas para o modelo M/M/c são complexas e difíceis de serem manipuladas e, as-
sim, a preferência generalizada é pelo uso de gráficos. A seguir uma ilustração destes gráficos.
Figura 3
Fonte: Prado, 2004.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PESQUISA OPERACIONAL
Geralmente são utilizados gráficos (como os ilustrados anteriormente por meio da Fi-
gura 3) para se obter o número médio de clientes na fila (NF) em função do fator de utiliza-
ção e tendo como parâmetro a quantidade de servidores \u201cc\u201d.
A taxa de utilização é: \u3c1 = \u3bb/cµ
Após o uso dos gráficos, as outras variáveis podem ser obtidas pelas fórmulas de Little:
TF=NF/ \u3bb e TS=NS/ \u3bb
O quadro a seguir apresenta as fórmulas das diferentes variáveis.
Figura 4 \u2013 Principais indicadores de desempenho do modelo M/M/c
Fonte: Sinay, 2005.
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Exemplo 1
No sistema de filas sequenciais descrito na Figura a seguir, admitindo-se que o
ritmo de chegada tenha crescido para \u3bb =25 peças por minuto, calcule a quantidade de
servidores de cada estação de trabalho tal que o tamanho da fila correspondente (NF)
seja menor que 1.
Conclusão: A quantidade de servidores que atende à solicitação é:
Produção = 3; Inspeção 2 e Reparo = 1.
EXERCÍCIOS (LISTA 9)
1. Um escritório tem 3 digitadores e cada uma pode digitar, em média, 6 cartas por hora. As
cartas chegam para serem datilografadas com taxa média de 15 por hora.
a) Qual é o número médio de cartas esperando para serem datilografadas?
b) Quanto tempo em média uma carta demora para ficar pronta?
c) Qual a probabilidade de que uma carta demore mais de 20 minutos para ficar pronta?
d) Se cada datilografa recebe de maneira independente (fila individual) 5 cartas por hora,
em média, para datilografar, o tempo médio que uma carta demoraria para ficar pronta
seria maior ou menor que no caso de fila única?
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PESQUISA OPERACIONAL
2. Deseja-se determinar o número ótimo de caixas em uma agência bancária. O tempo que
cada cliente \u201cperde\u201d dentro da agência está estimado em R$ 5/hora e o custo de funciona-
mento de uma caixa é de R$ 4/hora. Se os clientes chegam à taxa média de 40 clientes/
hora e cada caixa pode atender, em média, 30 clientes/hora, qual é o número mínimo de
caixas que produz o menor custo de operação?
Dica: Ao incrementar o número de caixas, o custo de operação diminui até atingir um
mínimo e logo volta a crescer.
3. Uma barbearia com 1 barbeiro tem 6 cadeiras para acomodar fregueses esperando atendi-
mento. Os fregueses que chegam quando as 6 cadeiras estão ocupadas, vão embora sem
esperar. Os fregueses chegam com taxa média de 3/h e ficam em média 15 minutos na
cadeira do barbeiro.
a) Qual a probabilidade de um freguês chegar e ir direto para a cadeira do barbeiro?
b) Qual o número médio de fregueses esperando atendimento?
c) Qual a taxa de chegada efetiva?
d) Quanto tempo em média, um freguês fica na barbearia?
e) Que percentual dos fregueses vai embora sem esperar atendimento?
4. Um mecânico atende 4 máquinas. Para cada máquina o tempo médio entre os requeri-
mentos de atendimento é de 10 horas, com distribuição exponencial. O tempo de repara-
ção segue a mesma distribuição com tempo médio de 2/horas. Quando uma máquina
para, o custo do tempo perdido é de R$ 20/hora. O custo de um mecânico é de R$ 50/dia.
a) Qual é o número esperado de máquinas em operação?
b) Qual é o custo esperado de atraso por dia?
c) Valeria a pena ter 2 mecânicos, cada um deles atendendo duas máquinas?
SÍNTESE DA UNIDADE 4
A Teoria das Filas é um ramo da probabilidade que estuda a forma-
ção de filas, por meio de análises matemáticas precisas e proprieda-
des mensuráveis das filas. Ela provê modelos para demonstrar previ-
amente o comportamento de um sistema que ofereça serviços cuja
demanda cresce aleatoriamente, tornando possível dimensioná-lo
de forma a satisfazer os clientes e ser viável economicamente para o
provedor do serviço, evitando desperdícios e gargalos.
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PESQUISA OPERACIONAL