Operações com vetores.

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
CAPÍTULO 4 
PRODUTOS 
 
1 Produto Escalar 
 
Definição: Sejam os vetores e . O produto escalar entre esses vetores, denotado por , é um 
número real determinado por , onde é o ângulo entre e . 
 
Propriedades 
1) se, e somente se, um deles for o vetor nulo ou se e são ortogonais ( = 90
o). 
2) Comutativa: 
3) 
4) , 
5) 
 
1.1 Expressão Cartesiana do Produto Escalar 
Sejam e , dois vetores do . Por definição temos: 
. 
Pela lei dos co-senos temos: . 
Substituindo, temos: (*). Sabemos que: 
; 
; 
; 
 
 
. 
Substituindo em (*), teremos: . Finalmente, temos a 
expressão cartesiana do produto escalar dada por: . 
 
 31 
 Exemplo (1): Sejam , e . 
a) Determine . 
b) Os vetores e são ortogonais? 
Solução: a) 
 b) Para que os vetores e sejam ortogonais é necessário que . De fato, 
. 
 
1.2 Interpretação Geométrica do Produto Escalar 
Sejam dois vetores e , sendo , ou seja, é um versor. Sejam ainda, e 
ortogonais entre si, com . Vamos projetar, ortogonalmente, o vetor na direção do vetor . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura acima temos que que é projeção do vetor na direção do vetor . 
Como é paralelo a , então eles são múltiplos, ou seja, existe um escalar , tal que . 
Como é ortogonal a , então . Multiplicando escalarmente por a expressão 
temos: . Então . Logo: 
 . Como 
 . Portanto, . 
Isso significa que, geometricamente, o módulo do produto escalar entre os vetores e , 
é o tamanho (módulo) da projeção do vetor na direção do versor . 
Para dois vetores e , quaisquer, podemos definir a expressão da projeção do vetor 
na direção do vetor como sendo: . Note que, o resultado desta expressão é um 
vetor. 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
1.3 Ângulo entre dois vetores 
O ângulo entre dois vetores e , não nulos, denotado por , é o ângulo 
formado pelos segmentos orientados que representam os vetores e , com a restrição de 
, quando as origens dos vetores são aplicadas num mesmo ponto P. 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos determinar o ângulo entre os vetores e , em função do valor do cos , 
através da expressão do produto escalar: . 
 
Exemplo (2): Dados os vetores e . Determine: 
a) O ângulo entre e . 
b) A projeção do vetor na direção do vetor . 
Solução: a) . Como queremos o ângulo , então: 
. 
b) 
 . 
 
Exemplo (3): Determine um vetor unitário e ortogonal aos vetores e . 
Solução: Seja . Como é unitário, então . Como é ortogonal aos vetores e , 
então: e . Daí: 
 
 
 
Portanto, . 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
Exemplo (4): Determine um vetor tal que , e , onde e 
. 
Solução: Seja . Então: 
 ; 
 
, cujas raízes da equação são: e . Portanto, temos 
duas soluções: ou . 
 
Exercícios Propostos: 
1) Determine a projeção do vetor na direção do vetor . 
Resp: 
2) Sejam os vetores , e . Determine m para que 
seja verdadeira a expressão . Resp: m = 2 
3) Dados , e um vetor unitário com: ortogonal a , e 
, calcule . Resp: 33 
4) Dados e , determine os vetores e tais que: , e 
. Resp: e 
5) Os módulos dos vetores e são, respectivamente, 4 e 2. O ângulo entre eles é 60o. Calcule o 
ângulo entre os vetores e . Resp: 
6) Demonstrar as relações: 
a) (Lei dos co-senos) 
b) 
c) 
d) 
7) Demonstre, vetorialmente, o Teorema de Pitágoras. 
 
 
 
 
 
 34 
2 Produto Vetorial 
 
Definição: Sejam os vetores e . O produto vetorial entre esses vetores, denotado por , é um 
vetor com as seguintes características: 
i) Módulo: , onde é o ângulo entre e . 
ii) Direção: normal ao plano que contém e . 
iii) Sentido: regra da mão direita. 
 
 
 
 
 
Regra da mão direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades do Produto Vetorial 
 
1) se um deles for o vetor nulo ou quando e têm a mesma direção. Como 
conseqüência: . 
2) Anti-comutativa: (não vale a comutativa: ) 
3) 
4) Distributiva: 
5) Duplo Produto Vetorial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 35 
 
2.1 Expressão Cartesiana do Produto Vetorial 
 
Sejam e , dois vetores do . Temos que: 
. Então: . Fazendo a distributiva, 
teremos: 
. 
 
. 
. Esta é a expressão do produto vetorial. 
Note que esta expressão é o desenvolvimento do seguinte determinante: . 
 
Exemplo (5): Sejam e . Determine . 
Solução: 
 
 
2.2 Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial 
 
Sejam dois vetores e , não nulos e não paralelos. Logo eles determinam um 
paralelogramo. Área do paralelogramo: 
 e 
 
 
 
Pela figura podemos ver que, metade do paralelogramo é um triângulo determinado 
pelos vetores e , portanto a área do triângulo é dada por: . 
 
h 
 
 
 
 36 
Exemplo (6): Determine o vetor do que satisfaça as seguintes condições: e 
. 
Solução: Seja . Então: e . 
 
 
 Logo temos um sistema linear: . Portanto o vetor procurado é . 
 
Exemplo (7): Os vértices de um triângulo são os pontos A(-1,2,4), B(3,-3,4) e C(-1,6,1). Determine a 
altura relativa ao vértice B. 
 
Solução: A área do triângulo pode ser escrita 
de duas formas: 
 
 
 
. 
Portanto, 
 
Exemplo (8): Demonstre, vetorialmente, que a área de um triângulo equilátero de lado m é dada por 
. 
Solução: Vetorialmente a área de qualquer triângulo é dada por: , onde e são os dois 
vetores que determinam o triângulo. Como o triângulo é equilátero seus lados são todos iguais e 
seus ângulos internos todos iguais a . Então: . Por definição temos: 
 
 
 
 
 
 
C 
h 
B 
A 
 
 
 
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Exercícios Propostos 
1) Sejam A(1,3,-4), B(5,-3,2) e C(3,1,0) vértices de um triângulo ABC. Sejam P e Q pontos médios 
dos lados AB e BC, respectivamente. Determine a área do trapézio APQC. Resp: 
2) Sejam os vetores , e . Os vetores são 
LI ou LD? Resp: LI 
3) Dados os vetores e , determine um vetor tal que e 
. Resp: 
4) Calcular a área do paralelogramo ABCD, sabendo-se que suas diagonais são os vetores 
 e . Resp: 
5) Determine o valor de z, sabendo-se que A(2,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,z) são vértices de um triângulo 
de área igual a 6. Resp: 
4z
 
6) Demonstre as fórmulas do duplo produto vetorial: 
{sugestão: Para demonstrar (b), suponha verdadeira (a). Então: 
 
} 
7) Mostre que 
 
3 Produto Misto 
 
Definição: Chama-se produto misto entre os três vetores , e , denotado por , ao 
número real definido por . Então: . 
 
3.1 Expressão Cartesiana do Produto Misto 
 
Sejam , e . Então: 
, que é igual a 
. 
 
Propriedades 
 
1) um deles é o vetor nulo ou se os vetores são coplanares. 
2) 
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3) 
4) 
 
3.2 Interpretação Geométrica do Produto Misto 
 
Sejam , e . Então , onde é o ângulo entre 
os vetores e . Na figura abaixo temos um paralelepípedo determinado pelos três vetores , 
e . O volume deste paralelepípedo é dado por: , onde a área da base é a área do 
paralelogramo determinado pelos vetores e . Então: . No triângulo retângulo da 
figura temos: . Logo: , ou seja, . 
Note que, os vetores , e , determinam também um tetraedro, cujo volume é 
.Exemplo (9): Determine o volume do tetraedro de vértices A(2,1,3), B(2,7,4), C(3,2,3) e D(1,-2,3). 
Solução: Os três vetores que determinam este tetraedro poderiam ser , e . 
 
 
 
h 
 
z 
y 
x 
 
 
 
 
 
 
C 
D 
B 
A 
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Então: . Como , e , temos que: 
 
 
Exemplo (10): Um tetraedro ABCD tem volume igual a 3 u.v.. Sendo A(4,3,1), B(6,4,2) e C(1,5,1), 
determine o vértice D que pertence ao eixo Ox. 
Solução: Como D é um ponto do eixo Ox, então D(x,0,0). Sejam , e os vetores que 
determinam o tetraedro. Então: , e . 
 
 . Portanto, D(-4,0,0) ou D(14,0,0). 
 
Exemplo (11): Seja um tetraedro de vértices A(2,0,2), B(0,4,2), C(2,6,4) e D(4,4,0). Determine a 
altura relativa ao vértice C. 
Solução: Os vetores que determinam o tetraedro são , e . Onde: , 
 e . Sabemos que: . A área da base 
(Ab) é a área de um triângulo determinado pelos vetores e . Então: . 
Assim, teremos: . 
 e 
. Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
D 
B 
h 
A 
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Exercícios Propostos 
1) Determine os valores de m de modo que o tetraedro determinado pelos vetores , 
 e , tenha volume igual a . Resp: m = 1 ou m = 5 
2) Sendo A(0,0,0), B(3,0,0), C(0,5,0), D(3,5,0) e E(3,5,5), determine o volume da figura abaixo. 
 
Resp: V = 25 u.v. 
 
 
 
3) Determinar o valor de para , e 
. Resp: R = 0 
4) Determine o vetor , para que os vetores sejam coplanares, onde 
 e . Resp: 
5) Sejam , e . Verificar a dependência linear dos vetores 
. Resp: LI 
6) Provar que . 
 
 
 
D B 
C 
E 
A