Cálculo Vetorial E Geometria Analítica
15 pág.

Cálculo Vetorial E Geometria Analítica


DisciplinaCálculo Vetorial e Geometria Analítica3.192 materiais76.037 seguidores
Pré-visualização4 páginas
1 
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
CAPÍTULO 1 
 
VETORES 
 
A noção de vetor, que muitos matemáticos e físicos, já discutiam há muito tempo atrás, sua 
formalização com a Teoria do Cálculo Vetorial, é algo recente datado próximo ao final do século XIV e 
início do século XX. Seu desenvolvimento da álgebra vetorial e da análise vetorial como conhecemos hoje 
foi revelado primeiramente em um conjunto de notas de aula feitos por J. Willard Gibbs (1839--1903) feito 
para seus alunos na Universidade de Yale. Gibbs nasceu em New Haven, Connecticut (seu pai também foi 
professor em Yale) e suas conquistas científicas principais foram em física, termodinâmica propriamente 
dita. Maxwell apoiava o trabalho de Gibbs em termodinâmica, especialmente as apresentações geométricas 
dos resultados de Gibbs e concluiu que vetores forneceriam uma ferramenta mais eficiente para seu 
trabalho em física. Assim, começando em 1881, Gibbs imprimiu por conta própria notas de aulas sobre 
análise vetorial para seus alunos, as quais foram amplamente distribuídas para estudiosos nos Estados 
Unidos, na Inglaterra e na Europa. Ao introduzir as teorias de Maxwell sobre eletricidade e magnetismo na 
Alemanha (1894), os métodos vetoriais foram defendidos e vários livros sobre análise vetorial em alemão se 
seguiram. Os métodos vetoriais foram introduzidos na Itália (1887, 1888, 1897), na Rússia (1907) e na 
Holanda (1903). Vetores agora são a linguagem moderna de grande parte da física e da matemática 
aplicada e continuam tendo seu próprio interesse matemático intrínseco. 
 
1 Grandeza Escalar e Grandeza Vetorial 
 
Na natureza encontramos dois tipos de grandezas (físicas): as grandezas 
escalares e as grandezas vetoriais. Para se operar com as grandezas escalares são 
utilizadas as mesmas operações definidas no conjunto dos números reais. Para operar 
com grandezas vetoriais são necessárias outras operações e outras definições, 
também chamado de Cálculo Vetorial. 
 
Grandeza Escalar: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário 
caracterizar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida. 
 
Exemplos de grandezas escalares: 
1) Massa: Se estamos interessados em dizer qual é a massa de um determinado 
corpo, basta dizer, por exemplo: um corpo com massa de 75 kg, onde, 75 é o 
módulo da grandeza e kg (quilograma) é a unidade de medida. 
2) Temperatura: Para você informar sobre a temperatura de um determinado 
ambiente, basta dizer, por exemplo: a temperatura do ambiente é de 36 oC, onde, 
36 é o módulo da grandeza e oC (grau Celsius) a unidade de medida. 
 
Grandeza Vetorial: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário 
caracterizar seu módulo e uma unidade de medida, direção e sentido. 
2 
 
 
 
Exemplos de grandezas vetoriais: 
1) Força: Quando uma força é aplicada em um corpo, ela é aplicada com certa 
intensidade (seu módulo), numa determinada direção e num determinado sentido. 
Por exemplo: uma força de intensidade 20 N (Newtons), na direção horizontal com 
sentido para direita. 
 
 
 
 
2) Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpo 
possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se deslocando com certa 
velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo: 
uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), numa direção vertical com sentido 
para cima. 
 
 
 
 
 
 
2 Vetor 
Definição: Um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos do espaço 
e representado pela "flecha" com abaixo. O ponto A (início da flecha) é a origem e B 
(a "ponta" ou "seta" da flecha) é a extremidade. Um segmento orientado do tipo 
(A,A) é chamado segmento orientado nulo. 
 
 
Observe que, se A\u2260B, então (A,B) é diferente de (B,A). No caso do segmento 
orientado (B,A), B passa ser a origem e A a extremidade. 
 
 
Dado um segmento orientado (A,B), vamos definir os seus três elementos básicos: 
módulo, direção e sentido. 
20N 
12 m/s 
 
B 
A 
B 
A 
3 
 
 
(a) módulo: representa o tamanho ou comprimento do segmento orientado (A,B) 
que é definido como sendo do tamanho do segmento geométrico AB . 
(b) direção: é a reta suporte que sustenta o segmento orientado (A,B), ou seja, se 
prolongarmos o segmento orientado além da sua origem e da sua extremidade 
através de uma reta tracejada, a reta obtida indica sua direção. 
(c) sentido: o sentido do segmento orientado (A,B) é indicado pela "seta" da flecha 
que o representa. 
 
 
 
 
Definição: 
(a) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são de mesmo comprimento se os 
segmentos geométricos AB e CD têm comprimentos iguais. 
(b) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D), não nulos, são paralelos se eles tem a 
mesma direção, ou seja, se as retas suportes de ambos são paralelas. 
 
Considere os vetores abaixo e note que, conforme as definições acima temos: 
 
 
 
- Os segmentos orientados (A,B) e (E,F) têm o mesmo módulo, mesma direção (são 
paralelos) e o mesmo sentido; 
- Os segmentos orientados (A,B) e (G,H) têm módulos diferentes, direções diferentes 
(não são paralelos) e sentidos diferentes; 
- Os segmentos orientados (E,F) e (D,C) tem módulos diferentes, mesma direção (são 
paralelos) e sentidos opostos. 
 
"seta": sentido de (A,B) 
reta suporte: 
direção de 
(A,B) 
módulo:AB 
B 
A 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
4 
 
 
Definição: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se forem de 
mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Indica-se a equipolência entre 
(A,B) e (C,D) por: (A,B)~(C,D). 
OBS: Decorre da definição que: 
(a) se ambos os segmentos forem nulos então eles são equipolentes; 
(b) equipolente a um segmento orientado nulo, somente outro segmento orientado 
nulo. 
Proposição: A relação de equipolência é uma relação de equivalência, ou seja, 
quaisquer que sejam os segmentos orientados (A,B), (C,D) e (E,F): 
(a) (A,B)~(A,B) (Propriedade Reflexiva) 
(b) (A,B)~(C,D)\u21d2(C,D)~(A,B) (Propriedade Simétrica) 
(c) (A,B)~(C,D) e (C,D)~(E,F)\u21d2(A,B)~(E,F) (Propriedade Transitiva) 
Proposição: Considere os segmentos orientados (A,B) e (C,D). Se 
(A,B)~(C,D)\u21d2(A,C)~(B,D). 
 
 
Definição: Dado o segmento orientado (A,B), a classe de equipolência de (A,B) é 
o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (A,B). O segmento 
orientado (A,B) é o representante da classe. 
OBS: Decorre da definição de classe de equipolência o que segue: 
(a) Todos os segmentos orientados pertencentes a uma classe de equipolência são 
equipolentes entre si. O próprio (A,B) é um deles, pela propriedade reflexiva; 
(b) Se (C,D) pertence à classe de equipolência de (A,B), então (A,B) pertence à 
classe de equipolência de (C,D), devido a propriedade simétrica. Na verdade, essa 
duas classes coincidem, pois quem for equipolente a (C,D) será equipolente a (A,B), e 
vice-versa, pela propriedade transitiva; 
(c) Qualquer segmento pertencente a uma classe de equipolência pode ser o seu 
representante. 
A 
B D 
C 
5 
 
 
Definição: Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se 
(A,B) é um segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representante será 
indicado por AB ou simplesmente por uma letra minúscula, por exemplo v
\ufffd
. Logo, 
vAB
\ufffd
= . 
OBS: Deve estar claro que, se os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são 
equipolentes, então os vetores AB e CD são iguais. Cuidado para não usar a 
expressão "vetores equipolentes", pois a equipolência é uma relação entre segmentos 
orientados, não entre vetores; 
Portanto, o vetor vAB
\ufffd
= , com um significado geométrico, nada mais