Cálculo Vetorial E Geometria Analítica
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Cálculo Vetorial E Geometria Analítica


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de pontos) 
3) BAuBuA =\u21d4+=+
\ufffd\ufffd
 (lei do cancelamento de vetores) 
4) Au)uA( =+\u2212
\ufffd\ufffd
 
 
Definição: O versor de um vetor v
\ufffd
, diferente do vetor nulo, denotado por ov
\ufffd
, é um 
vetor unitário, ou seja, 1|v| o =
\ufffd
, como mesma direção e sentido do vetor v
\ufffd
, definido 
por 
|v|
v
vo \ufffd
\ufffd
\ufffd
= . 
Por exemplo: se o vetor v
\ufffd
 tem módulo 3|v| =
\ufffd
 e o vetor u
\ufffd
 tem módulo 
2
1
|u| =
\ufffd
, então 
seus versores são, respectivamente, v
3
1
vo
\ufffd\ufffd
= e u2uo
\ufffd\ufffd
= . Assim: 
 
 
 
 
 
4 Ângulo entre dois vetores 
O ângulo entre dois vetores veu
\ufffd\ufffd
, não nulos, denotado por CA\u2c6B)v,u(ang ==\u3b8
\ufffd\ufffd
, 
é o ângulo entre os segmentos orientados que representam os vetores, com a 
restrição oo 1800 \u2264\u3b8\u2264 , quando as origens dos vetores são transportadas para um 
mesmo ponto A. 
 
 
 
 
Da geometria plana sabemos que \u3b1\u2212+= cosuv2vuw 222 , chamada de Lei dos 
cossenos, onde u, v e w são os lados de um triângulo qualquer e \u3b1 é um ângulo 
interno ao triângulo, oposto ao lado w. 
 
 
 
 
 
u
\ufffd
 
ov
\ufffd
 
v
\ufffd
 
ou
\ufffd
 
\u3b1 v 
w 
u 
u
\ufffd
 
v
\ufffd
 
C 
B 
v
\ufffd
 
u
\ufffd
 
A 
\u3b8 
11 
 
 
Vetorialmente vuw
\ufffd\ufffd\ufffd
+= . 
 
 
 
 
 
 
Note que o ângulo entre os vetores veu
\ufffd\ufffd
 é \u3b8 e não o \u3b1 . Temos que 
o180=\u3b8+\u3b1 e \u3b8\u2212=\u3b1 coscos . Logo, de \u3b1\u2212+= cosuv2vuw 222 vem que: 
\u3b8++=+= cosuv2vu|vu|w 2222
\ufffd\ufffd
. Quando o ângulo entre dois vetores é 900, dizemos 
que eles são ortogonais. 
 
Exemplo (4): Dois vetores bea
\ufffd
\ufffd
, onde 6b|b|e2a|a| ====
\ufffd
\ufffd
 formam entre si um 
ângulo de 120o. Determine o módulo da soma de ba
\ufffd
\ufffd
+ e da diferença de ab
\ufffd
\ufffd
\u2212 . 
Solução: 
 
 
 
 
Aplicando a lei dos co-senos temos: 
28
2
1
62262)120cos(ab2ba|ba| 22o222 =\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5\u22c5\u22c5++=++=+
\ufffd
\ufffd
 \u21d2 7228|ba| ==+
\ufffd
\ufffd
 
52
2
1
62262)60cos(ab2ba|ab| 22o222 =\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5\u22c5\u22c5++=++=\u2212
\ufffd
\ufffd
 \u21d2 13252|ab| ==\u2212
\ufffd
\ufffd
 
 
Exemplo (5): Seja um triângulo ABC. Mostre, vetorialmente, que o segmento que 
une os pontos médios M e N de dois lados do triângulo é paralelo ao terceiro lado e 
metade do comprimento deste. O segmento MN é chamado de base média do 
triângulo. 
Solução: Basta mostrar que: AC
2
1
MN = . A operação produto por escalar conserva a 
direção, logo, os vetores ACeMN são paralelos. 
 
 
 
 
\u3b1 
\u3b8 
u
\ufffd
 
v
\ufffd
 
w
\ufffd
 
u
\ufffd
 
ab
\ufffd
\ufffd
\u2212 
ba
\ufffd
\ufffd
+ 
b
\ufffd
 
a
\ufffd
\u2212 
a
\ufffd
 
120o 
60o 
N M 
B 
C A 
12 
 
 
 
Como M é ponto médio de AB , então AM2AB = e N sendo ponto médio de BC , 
então NC2BC = . Pela figura acima temos: 
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=+
=++
ACBCAB
ACNCMNAM)I( . Em (I) 
multiplicando a primeira equação por 2 e na segunda equação substituindo AM2AB = 
e NC2BC = , obtém-se: 
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=+
=++
ACNC2AM2
AC2NC2MN2AM2 . Subtraindo a segunda da primeira 
equação: AC
2
1
MNACMN2 =\u21d2= . 
 
Exemplo (6): Três forças de mesmo módulo F e aplicadas no mesmo ponto P podem 
equilibrar-se? 
Solução: Sim, desde que elas estejam defasadas de um ângulo de \u3b1=120o. Aplicando 
a lei dos cossenos para duas forças de mesmo módulo F, cujo ângulo entre elas é 
120o, a resultante terá a direção da bissetriz do ângulo entre elas e módulo igual a F, 
pois: 
F|FF|FFF2
2
1
F2F2)120cos(FF2FF|FF| 22222o222 =+\u21d2=\u2212=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u22c5+=++=+ 
Portanto, a resultante é zero e as três forças estão em equilíbrio. 
 
 
 
 
 
OBS: Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano, ou seja, existe um 
plano que os contém. A Figura (a) ilustra a situações em que os vetores são 
coplanares e a Figura (b) quando eles não são coplanares. 
 
 
 
 
 
 
Figura (a): Vetores coplanares. Figura (b): Vetores não coplanares. 
 
u
\ufffd
v
\ufffd
 
w
\ufffd
 
u
\ufffd
 
v
\ufffd
 
w
\ufffd
 
\u3b1 \u3b1 
\u3b1 F
F
F 
F 
13 
 
 
Operando-se geometricamente com vetores, obtém-se como resultado, vetores que 
são coplanares com os vetores operados, ou seja, os vetores operados e os vetores 
resultantes estão no mesmo plano (são coplanares). 
 
Exemplo (7): Provar que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. 
Solução: Suponhamos que M e N sejam os pontos médios de BDeAC , 
respectivamente, como na figura abaixo. Basta provar que NM = . 
 
 
 
 
Temos que: AM2AC = e ND2BD = . Por construção temos: NDANAD += e 
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=\u2212
=+
BDABAD
ACABAD . Somando as equações vem que: ND2AM2BDACAD2 +=+= \u21d2 
( ) ND2AM2NDAN2 +=+ \u21d2 AMAN = \u21d2 AMAN \u2212=\u2212 \u21d2 MN = 
 
Exercícios Propostos: 
1) Sejam os vetores ceb,a
\ufffd
\ufffd
\ufffd
, de módulos 3, 5 e 7, respectivamente, e coplanares. 
Sabendo que o30)b,a(ang =
\ufffd
\ufffd
 e o30)c,b(ang =
\ufffd
\ufffd
, determine 22 |ba||cb|R
\ufffd
\ufffd\ufffd
\ufffd
\u2212\u2212+= . 
Resp: 35040R += 
2) Na figura abaixo AD2DC = . Vetorialmente, exprimir BD em função de BA e BC . 
Resp: 
3
AB2BC
BD
\u2212
= 
 
3) Demonstrar, vetorialmente, que o segmento que une os pontos médios dos lados 
não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual a sua semi-soma. 
4) Demonstrar que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um 
trapézio é paralelo às bases e igual à semi-diferença das referidas bases. 
5) As forças 521 f,...,f,f
\ufffd\ufffd\ufffd
 dispostas como mostra a figura, determinam um hexágono 
regular. Determine o módulo da resultante dessas forças em função do módulo da 1f
\ufffd
. 
Resp: 1R f6F = 
 
 
 
M N 
D 
C B 
A 
C 
B 
A 
D 
5f
\ufffd
 
4f
\ufffd
 
3f
\ufffd
 
2f
\ufffd
 
1f
\ufffd
 
14 
 
 
6) Sejam os vetores bea
\ufffd
\ufffd
, de módulos 1e3 , e ortogonais entre si. Sendo 
bam
\ufffd
\ufffd\ufffd
+= , determine o módulo do vetor bmR
\ufffd
\ufffd
+= . Resp: 7|R| = 
7) Sabendo que 2|vu|e4|vu| =\u2212=+
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
, determine 22 |v||u|R
\ufffd\ufffd
+= . Resp: 10R = 
8) Determine BA em função de u
\ufffd
, sabendo que uBuA
\ufffd\ufffd
+=\u2212 . Resp: u2BA
\ufffd
= 
9) Determine a relação entre u
\ufffd
 e v
\ufffd
, sabendo que, para um dado ponto A, temos: 
Av)uA( =++
\ufffd\ufffd
. Resp: vu
\ufffd\ufffd
\u2212= 
10) Dizer se é falsa ou verdadeira cada uma das afirmações: 
a) Se vu
\ufffd\ufffd
= , então |v||u|
\ufffd\ufffd
= 
b) Se |v||u|
\ufffd\ufffd
= , então vu
\ufffd\ufffd
= 
c) Se v//u
\ufffd\ufffd
, então vu
\ufffd\ufffd
= 
d) Se vu
\ufffd\ufffd
= , então v//u
\ufffd\ufffd
 
e) Se vuw
\ufffd\ufffd\ufffd
+= , então |v||u||w|
\ufffd\ufffd\ufffd
+= 
f) |v||u||w|
\ufffd\ufffd\ufffd
+= , então wev,u
\ufffd\ufffd\ufffd
 são paralelos 
g) Se CDAB = , então ABCD (vértices nesta ordem) é um paralelogramo 
h) |v|5|v5||v5|
\ufffd\ufffd\ufffd
=\u2212= 
i) Os vetores v4ev3
\ufffd\ufffd
\u2212 são paralelos e de mesmo sentido 
j) Se v//u
\ufffd\ufffd
, 4|v|e2|u| ==
\ufffd\ufffd
, então u2vouu2v
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd
\u2212== 
k) Se 3|v| =
\ufffd
, o versor de 
3
v
év10
\ufffd
\ufffd
\u2212\u2212 
Resp: a) V b) F c) F d) V e) F f) V g) F h) V i) F j) V k) V 
 
COMENTÁRIOS IMPORTANTES: 
\u2022 Não existe interseção de vetores. Os vetores não são constituídos de pontos como 
uma reta, apenas são representados pelos segmentos orientados, para 
caracterizar uma grandeza vetorial que deve ter seu módulo, direção e sentido 
bem definidos. 
\u2022 Como não há interseção entre vetores, não é conveniente chamá-los de vetores 
perpendiculares, ou seja, quando o ângulo entre dois vetores for de 90o é mais 
conveniente chamá-los de ortogonais. 
\u2022 As operações elementares com vetores são apenas três: adição, subtração