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DisciplinaEstruturas Mat P/ Computação4 materiais131 seguidores
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k=0
(
n+ 1
k
)
xn+1\u2212kyk.
Portanto, pelo princípio da indução este resultado vale para todo n \u2208 N.
4
\ufffd
Exemplo 4:
O número na forma 11n \u2212 7n pode ser dividido por 4, para todo n \u2208 N.
Demonstração: Para n = 1, temos que 111 \u2212 71 = 4 que é um número que pode ser dividido por 4. Assuma
agora que para algum k \u2208 N o número 11k \u2212 7k possa ser divido por 4. Então
11k+1 \u2212 7k+1 = 11k+1 \u2212 11.7k + 11.7k \u2212 7k+1
= 11(11k \u2212 7k) + 7k(11\u2212 7).
Pela hipótese de indução, o número 11k\u22127k é divisível por 4, mas 11\u22127 também. Logo, a soma 11(11k\u22127k)+
7k(11 \u2212 7) é divisível por 4. Portanto, por indução temos que o número 11n \u2212 7n é divisível por 4 para todo
n \u2208 N.
\ufffd
Pode acontecer da afirmação P (n) ser falsa para alguns números naturais, mas ser verdade para todo n \u2265 n0
para algum valor particular n0. O Princípio da Indução Matemática pode ser modificado para lidar com
esse tipo de situação.
Princípio da Indução Matemática Segunda Versão
Seja n0 \u2208 N e seja P (n) uma afirmação para cada n \u2265 n0. Suponha que:
(a) A afirmação P (n0) seja verdadeira.
(b) Para todo k \u2265 n0, a validade da afirmação P (k) implica na validade da afirmação P (k + 1).
Então, a afirmação P (n) é verdade para todo n \u2265 n0.
Exemplo 5:
Para todo n \u2265 3, a inequação 2n > 2n+ 1 é válida.
Demonstração. Se n = 1, temos 21 < 2.1+ 1. Além disso, para n = 2, 22 < 2.2+ 1. Considere agora, n = 3,
temos então 23 > 2.3 + 1. Assuma agora que 2k > 2k + 1, para algum k > 1 \u2208 N, e então multiplicando essa
desigualdade por 2, temos
2k+1 > 2(2k + 1)
= 4k + 2
= 2k + (2k + 2)
> 2k + 3
= 2(k + 1) + 1.
Como 2k + 2 > 3 para todo k > 1, então a desiguldade é válida para todo k > 1. Portanto, com a base n0 = 3,
temos pelo princípio da indução que a inequação é válida para todo n \u2265 3.
\ufffd
3 Exercícios
1. Prove as afirmações utilizando o princípio da indução.
(a) 1/(1.2) + 1/(2.3) + · · ·+ 1/[n(n+ 1)] = n/(n+ 1) para todo n \u2208 N.
(b) 13 + 23 + · · ·+ n3 =
[
n(n+1)
2
]2
para todo n \u2208 N.
(c) 3 + 11 + · · ·+ (8n\u2212 5) = 4n2 \u2212 n para todo n \u2208 N.
(d)
n\u2211
k=1
(\u22121)k+1k2 = (\u22121)n+1n(n+ 1)
2
para todo n \u2208 N.
(e)
n\u2211
k=1
(2k \u2212 1)2 = (4n
3 \u2212 n)
3
para todo n \u2208 N.
(f) n3 + 5n pode ser dividido por 6 para todo n \u2208 N.
(g) 52n \u2212 1 pode ser dividido por 8 para todo n \u2208 N.
(h) 5n \u2212 4n\u2212 1 pode ser dividido por 16 para todo n \u2208 N.
(i) n3 + (n+ 1)3 + (n+ 2)3 pode ser dividido por 9 para todo n \u2208 N.
(j)
n\u2211
k=1
1\u221a
k
>
\u221a
n para todo n \u2208 N, n > 1.
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4 Referências
\u2022 Bartle, R.G., Sherbert, D. R., Introduction to Real Analisys. Fourth Edition. John Wiley & Sons,
Inc. Illinois, USA, 2010.
\u2022 Mollin, R. A., Fundamental Number Theory With Applications. Second Edition. Chapman &
Hall. Calgary, Canada, 2008.
\u2022 Santos, J. P. O., Introdução à Teoria dos Números. Terceira Edição. Coleção Matemática Univer-
sitária. IMPA, Rio de Janeiro, Brasil, 2011.
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