Matrizes e sistemas lineares

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MATRIZES 
 
Matriz quadrada 
 
2. ordem de quadrada matriz 
1 5
6 3
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
 
 diagonal principal 
 
 
 
3. ordem de quadrada matriz 
2 1- 3
10 4 7
9 6 5
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
 
 diagonal principal 
diagonal secundária 
 
 
 
 
Matriz linha e matriz coluna 
 [ ] colunas). 4 e linha (1 4 x 1 linha matriz 5 9 6- 2 
 
coluna). 1 e linhas (3 1 x 3 coluna matriz 
3
21
5
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
 
 
 
 
Matriz diagonal 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
4- 0 0
0 8 0
0 0 1
 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
6 0 0 0
0 3 0 0
0 0 1- 0
0 0 0 5
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
5 0
0 21 
 
 
 
Matriz identidade 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
1 0
0 1 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠=
==
j i para ,0a
ji para ,1a
 temos,identidade matriz uma Em
ij
ij
 
 
 
 
Matriz nula 
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
0 0
0 0
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
0 0
0 0
0 0
 
 
 
 
Matriz transposta 
 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
3 2 6 
 0 5-
4 1 12
5
2A 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
3 4
2 0 1 
6 5- 12
5
2
tA 
 
 
 
 
 
Adição de matrizes 
 
.
12 7 20
2 0 6
9 8 4
 B e 
11 1 2
7 14 8
5 2- 3
 A matrizes as Sejam
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
= 
 
A soma das matrizes A e B é feita da seguinte maneira: 
 
 
assim ,
1211 71 202
27 014 68
95 82- 43
 
12 7 20
2 0 6
9 8 4
 
11 1 2
7 14 8
5 2- 3
 B A 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=+ 
 
 
 
 
 
.
23 8 22
9 14 14
14 6 7
 B A 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=+ 
 
 
 
Propriedades da adição: 
 
• comutativa: A + B = B + A 
• associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
• elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A 
• elemento oposto: A + (- A) = (- A) + A = 0 
• cancelamento: A = B ⇔ A + C = B + C 
 
 
 
Multiplicação de número real por matriz 
 
Dada a matriz , . ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5- 4
2 7A ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
10- 8 
4 14A2
 
 
 
Propriedades da multiplicação de número real por matriz: 
 
• α.(A + B) = αA + αB 
• α(β . A) = αβ.A 
• (α + β)A = α.A + β.B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicação de matrizes 
 
Sejam as matrizes e 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
1- 4
5 2
3 1
A ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4 2
0 5B .
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
++
++
++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=⋅
4 22
20 20
12 11
1.4 4.0 1.2 4.5
5.4 2.0 5.2 2.5
3.4 1.0 3.2 5.1
4 2
0 5.
1- 4
5 2
3 1
BA 
 
 
 
 3 x 2 2 x 2 3 x 2 
 
 
 
 
 
Propriedades da multiplicação de matrizes: 
 
• Na multiplicação de matrizes as únicas propriedades válidas são a 
associativa e a distributiva. 
 
 
 
 
Matriz inversa 
 
Dada a matriz , calculamos a matriz inversa de A (A⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4 1
2 1A -1) da seguinte 
forma: 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
++⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
1 0
0 1
4d 1b d2b1
4c 1a c2a1
1 0
0 1
d c
b a
4 1
2 1 
 
Pela igualdade de matrizes, temos o seguinte sistema: 
 
⎩⎨
⎧
=+
=+
⎩⎨
⎧
=+
=+
1d4b1
0d2b1
0c4a1
1c2a1
 
Resolvendo-se o sistema, encontramos a = 2, b = -1, c = -½ e d = ½. 
Logo, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=−
2
1
2
1
1
 -
1- 2A . 
 
 
 
 
Operações elementares em uma matriz 
 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎯⎯⎯⎯ →⎯⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎯⎯ →⎯⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎯⎯⎯⎯ →⎯⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎯⎯ →⎯⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= −
1 0
0 1
1 0
3 1 
1- 0
3 1 
5 2
3 1 
3 1
5 2A 2121212 L3LL-2L - LL
 
 
• Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito 
de operações elementares, na matriz I. 
 
 
 
• A mesma seqüência de operações que transforma a matriz A em In, 
transforma In em A-1. 
[ ] [ ]1-nselementareeoperaçõesseqüênciadn A| II | A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ 
 
 
 
 
Determinantes de 2ª ordem 
 
Seja a matriz 36. 14 - 40 2 7 - 10 4 Adet ,
10 2
7 4A ==⋅⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
 
Ou seja, dada uma matriz genérica 
. 21122211
2221
1211 aaaa Adet , 
a a
a aA ⋅−⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
 
Também podemos indicar o determinante da seguinte maneira: 
2221
1211
a a
a a . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra de Sarrus 
 
Seja a matriz genérica , através da Regra de Sarrus, 
obtemos o 
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
333231
232221
131211
a a a
a a a
a a a
A
 
determinantes de uma matriz 3 x 3 da seguinte maneira: 
 
• repete-se as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as seis 
multiplicações, conforme estão indicadas: 
 
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
 
 
 
 
 (a11.a22.a33) + (a12.a23.a32) + (a13.a21.a32) (a11.a22.a33) + (a12.a23.a32) + 
(a13.a21.a32) 
 
• Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o 
mesmo sinal; 
• os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal; 
• o determinante é a soma dos valores obtidos. 
 
Exemplo: 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
3- 6 5 
4 0 1-
2 1 3 
A , assim: 
 
 
 3 1 2 3 1 
 -1 0 4 -1 0 
 5 6 -3 5 6 
 
 0 -72 -3 0 + 20 +12 = -42 
 
Propriedades dos determinantes: 
 
• Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M 
forem iguais a zero, seu determinante será nulo; ou seja, det M = 0. 
 
• Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas colunas) de uma 
matriz quadrada M forem iguais, seu determinante será nulo, ou seja, det M 
= 0. 
 
• Se uma matriz quadrada M possui duas linhas (ou duas colunas) 
proporcionais, seu determinante será nulo, ou seja, det M = 0. 
 
• Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz 
quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, então seu 
determinante fica multiplicado por k. 
 
• Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real 
k, o seu determinante fica multiplicado por kn, ou seja, det(kMn) = kn . det 
Mn. 
 
• O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante de sua 
transposta, isto é, det M = det (Mt). 
 
• Se trocarmos de posição entre si duas linhas (ou duas colunas) de uma 
matriz quadrada M, o determinante da nova matriz obtida é o oposto do 
determinante da matriz anterior. 
 
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos 
da diagonal principal. 
 
• Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-
produto, então det(AB) = (det A)(det B) (teorema de Binet). 
 
• Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os elementos de uma 
linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos 
elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando a matriz B, 
então det A = det B (teorema de Jacobi). 
 
 
 
SISTEMAS LINEARESEquações lineares 
 
• 3x + 5y = 10 → equação linear de variáveis x e y. 
• x + 4y – 3z = 0 → equação linear de variáveis x, y e z. 
• 5x + 4y = 12 + x – y → equação linear de variáveis x e y. 
 
 
Exemplos de sistemas de equações lineares: 
 
• é um sistema linear 2 x 2 nas variáveis x e y. ⎩⎨
⎧
=−
=+
5y2x
12y5x3
 
• é um sistema linear nas variáveis x, y e z. 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++−
=++
=−+
0zy2x
9z2yx2
8zy2x
 
 
Genericamente, representamos um sistema linear da seguinte maneira: 
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=++++
=++++
=++++
=
mnmn33m22m11m
2nn2323222121
1nn1313212111
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
S
M
 
Resolução de um sistema linear 
 
Resolver um sistema linear consiste em encontrar o conjunto solução S que 
satisfaz as igualdades. 
 
Há vários métodos que podem ser utilizados para resolver um sistema linear, a 
seguir apresentaremos o método da adição. 
 
 
• Resolução pelo método da adição 
 
Seja o sistema , multiplicando-se a primeira equação por (-2) e 
a segunda por (3), encontramos o seguinte: 
⎩⎨
⎧
=+
=−
 1y5x2
 10yx3
 
 
 ⎩⎨
⎧
=+
=+⇒⎩⎨
⎧
⋅=+
⋅=−
3 15y6x
-202y6x- 
(3) 1y5x2
(-2) 10yx3
 
 17y = -17 ⇒ y = -1. 
 
Da mesma forma, podemos encontrar o valor de x, basta encontrarmos um 
número que multiplicando as equações as tornem simétricas em relação a y. 
 
Resolvendo-se o sistema até o final, encontramos como solução (3, -1) – este é o 
único par que é solução do sistema. 
 
 
 
Sistema linear homogêneo 
 
Um sistema linear é chamado de homogêneo quando todos os termos 
independentes são nulos. 
 
 
Exemplo de um sistema linear escalonado 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+
=−+
4z2
1zy
0zyx3
 
 
 
Resolução de um sistema linear por triangularização ou 
escalonamento 
 
Operações 
 
• Permutação de duas equações. 
• Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero. 
• Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente 
multiplicada por um número real diferente de zero. 
 
 
Sistema compatível 
 
- Determinado: quando após escalonar obtém-se tantas linhas significativas 
(não totalmente nulas) quantas são as colunas da matriz dos coeficientes. 
- Indeterminado: quando após escalonar obtém-se menos linhas significativas 
do que o número de colunas da matriz dos coeficientes. Exemplo. 
- 
- 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Matriz quadrada
	Matriz linha e matriz coluna
	Matriz diagonal
	Matriz identidade
	Matriz nula
	Matriz transposta
	Adição de matrizes
	Multiplicação de número real por matriz
	Multiplicação de matrizes
	Matriz inversa
	Operações elementares em uma matriz
	Determinantes de 2ª ordem
	Regra de Sarrus
	SISTEMAS LINEARES
	Equações lineares
	Sistema linear homogêneo
	Exemplo de um sistema linear escalonado
	Sistema compatível