Fenomenos de transporte aula5

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE 
GLEYZER MARTINS 1
CONDUÇÃO BIDIMENSIONAL EM REGIME ESTACIONÁRIO 
A análise unidimensional muitas das vezes é inapropriada, e torna-se necessário avaliar os efeitos 
multidimensionais. Para tanto utiliza-se dos seguintes métodos: 
• Analítico exato 
• Método Gráfico 
• Método numérico 
Lembrando que a solução dos problemas de condução passa pela determinação da distribuição de 
temperatura através da equação de difusividade de calor, que é dado na análise bidimensional na 
forma: 
2 2
2 2 0
T T
x y
∂ ∂+ =∂ ∂ 
Com a distribuição de temperatura, determina-se as 
componentes de fluxo de calor pela equação de Fourier. A 
solução utilizando o método analítico envolve para os 
casos mais simples a solução de uma equação diferencial 
parcial ordinária. Para o caso de uma placa fina conforme 
mostrado na figura a solução é dada na forma: 
 
 ( ) ( )
1
1
1 12,
n
n
n ysenh
n x Lx y sen
n Wn L senh
L
π
πθ ππ
+∞
=
⋅ ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟− + ⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎝ ⎠= ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ 
MÉTODO GRÁFICO 
O método gráfico pode ser utilizado para problemas envolvendo fronteiras adiabáticas e 
isotérmicas. Baseia-se no fato das linhas de temperatura constante devem ser perpendiculares as 
linhas que indicam a direção do fluxo de calor. 
O objetivo é construir sistematicamente uma rede de 
isotermas e linhas de fluxo de calor, essa rede denominada 
representação gráfica do fluxo, é utilizada para se deduzir a 
distribuição de temperatura e a taxa de fluxo de calor através 
do sistema. 
Considere um canal quadrado bidimensional cujas 
superfícies interna e externa são mantidas a 1T e 2T 
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O procedimento para construção gráfica é o seguinte: 
1. Identificação de todas as linhas relevantes de 
simetria. São determinadas pelas condições 
térmicas, assim como pela geometria. 
2. Linhas de simetria são adiabáticas no sentido 
de que pode não existir transferência de calor 
na direção perpendicular às linhas. Elas são 
linhas de fluxo de calor e uma vez que não 
existe fluxo de calor na direção perpendicular à 
linha do fluxo de calor, ela pode ser 
denominada adiabática. 
3. Esboçar as linhas de temperaturas constantes 
no interior do sistema. Observe que isotérmicas 
devem sempre ser perpendiculares a adiabáticas 
4. As linhas de fluxo de calor devem então ser desenhadas visando a criação de uma rede 
quadrados curvilíneos. Isso é feito tendo as linhas de fluxo de calor e as isotérmicas 
interceptado-se em ângulos retos e com a exigência de que todos os lados de cada quadrado 
tenham aproximadamente o mesmo comprimento 
 
DETERMINAÇÃO DA TAXA DE TRANSFERÊNCIA 
A taxa na qual a energia é transferida através de uma faixa, que é a região entre adiabáticas 
adjacentes, é designada iq . Se a representação gráfica do fluxo for construída apropriadamente, o 
valor de iq será aproximadamente o mesmo para todas as faixas, e a taxa total de transferência de 
calor pode ser representada como: 
1
M
i i
i
q q Mq
=
≈ =∑ 
Onde M é o numero de faixas associadas à representação gráfica. 
Aplicando a equação de Fourier ao quadrado curvilíneo, iq pode ser representado como: 
j j
i i
T T
q k A k y l
x x
∆ ∆≈ ⋅ ⋅ ≈ ⋅∆ ⋅ ⋅∆ ∆ 
Sabendo que o incremento de temperatura é aproximadamente o mesmo para todas as isotermas 
adjacentes, a diferença de temperatura global 1 2T −∆ pode ser representada como: 
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1 2
N
j j
i j
T T N T−
=
∆ = ∆ = ⋅∆∑ 
Onde N é o número de incrementos de temperatura 
Para os quadrados curvilíneos tem-se que y x∆ ≈ ∆ , desta forma pode-se escrever a equação de 
Fourier na forma: 
1 2
M lq k T
N −
⋅≈ ∆ 
O FATOR DE FORMA DE CONDUÇÃO 
A equação de Fourier, tal como apresentada, pode ser utilizada para definir o fator de forma 
S de um sistema bidimensional, ou seja: 
1 2q Sk T −= ∆ 
Onde para representação gráfica do fluxo 
MlS
N
≡ 
A resistência a condução bidimensional pode ser representada como: 
( ), 2
1
t cond DR S k
= ⋅ 
Fatores de forma tem sido obtidos para inúmeros sistemas bidimensionais, e os resultados 
encontram-se resumido na tabela 4.1 do livro texto 
SISTEMA ESQUEMA RESTRIÇÕES FATOR DE FORMA 
Caso 1 
Esfera isoterma enterrada em 
um meio semi-infinito 
 
/ 2z D> 2
1 / 4
DS
D z
π⋅ ⋅= − ⋅ 
Caso 2 
Cilindro horizontal de 
comprimento L isotérmico 
enterrado em um meio semi-
infinito 
 
L D� 
 
L D� 
3 / 2z D> 
1
2
2cosh
LS
z
D
π
−
⋅ ⋅= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 
2
4ln
LS
z
D
π⋅ ⋅= ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 
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Caso 3 
Cilindro Vertical em um meio 
semi-infinito 
 
L D� 
2
4ln
LS
L
D
π⋅ ⋅= ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 
Caso 4 
Condução entre dois cilindros 
de comprimento L em meio 
infinito 
 
1 2,L D D� 
L w� 
2 2 2
1 1 2
1 2
2
4cosh
2
LS
w D D
D D
π
−
⋅ ⋅= ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠
 
Caso 5 
Cilindro circular horizontal de 
comprimento L centralizado 
entre planos paralelos de 
comprimentos iguais e largura 
infinita 
/ 2z D� 
L z� ( )
2
ln 8 /
LS
z D
π
π
⋅ ⋅= ⋅ 
Caso 6 
Cilindro circular de 
comprimento L centralizado 
em um sólido quadrado de 
mesmo compriemento 
 
w D> 
L D� ( )
2
ln 1,08 /
LS
w D
π⋅ ⋅= ⋅ 
Caso 7 
Cilindro circular excêntrico de 
comprimento L em um 
cilindro de mesmo 
comprimento 
D d> 
L D� 
2 2 2
1
2
4cosh
2
LS
D d z
D d
π
−
⋅ ⋅= ⎛ ⎞− − ⋅⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠
 
 
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EXEMPLO 1 
Um orifício de diâmetro 0,25D m= é perfurado através do centro de um 
bloco sólido de secção quadrada com w=1m de lado. O orifício é perfurado 
ao longo do comprimento 2l m= do bloco que apresenta condutividade 
térmica 150 /k W m K= ⋅ . Um fluido aquecido passando através do orifício 
mantém a temperatura da superfície interna a 1 75ºT C= enquanto a 
superfície externa do bloco é mantida a 1 25ºT C= 
• Determine a taxa de transferência de calor através do bloco 
EXEMPLO 2 
Um tubo quente é colocado excentricamente em um material 
de condutividade térmica 0,5 /k W m K= ⋅ , conforme mostrado 
na figura a seguir. Utilizando o método de representação gráfica 
do fluxo, determine o fator de forma e o calor transferido por 
unidade de comprimento quando as temperaturas do tubo e da 
superfície externa são 150 e 35 respectivamente 
 
MÉTODO DE DIFERENÇAS FINITAS 
Frequentemente, os problemas bidimensionais envolvem geometrias e/ou condições de contorno 
que não são possíveis a aplicação dos métodos analíticos ou gráficos, nesses casos, a melhor 
alternativa e frequentemente a que utiliza a técnica numérica, tal como diferença finitas, elementos 
finitos ou o método de elementos de contorno. 
O método de diferença finitas devido sua simplicidade é bastante aplicado e consiste em dividir 
o domínio de análise em uma rede nodal e linearizar a equação da difusividade de calor e a lei de 
Fourier 
 
w
2T
2T
D
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A discretização para equação de difusividade de calor é dada na forma: 
2 2
2 2 0
T T
x y
∂ ∂+ =∂ ∂ 
Para direção x 
2
1, 1,
2 2
2 ,m n m nT T Tm nT
x x
+ −+ − ⋅∂ ≈∂ ∆ 
Para direção x 
2
, 1 , 1
2 2
2 ,m n m nT T Tm nT
y y
+ −+ − ⋅∂ ≈∂ ∆ 
Utilizando a rede para qual x y∆ = ∆ e substituindo tem-se: 
2 2
, 1 , 1 1, 1,
2 2 2
4 ,
0m n m n m n m n
T T T T Tm nT T
x y x
+ − + −+ + + − ⋅∂ ∂+ ≈ =∂ ∂ ∆ 
A lei de Fourier é dada na forma: 
• Para direção x 
( ) ( ) ( ) ( )1, ,1, , 1 m n m nm n m n T Tq k y x++ →
−= ⋅ ∆ ⋅ ⋅ ∆ ; ( ) ( ) ( )
( )1, ,
1, , 1
m n m n
m n m n
T T
q k y
x
−
− →
−= ⋅ ∆ ⋅ ⋅ ∆ 
• Para direção y 
( ) ( ) ( ) ( ), 1 ,, 1 , 1 m n m nm n m n T Tq k x y++ →
−= ⋅ ∆ ⋅ ⋅ ∆ ; ( ) ( ) ( )
( ), 1 ,
, 1 , 1
m n m n
m n m n
T T
q k x
y
−
− →
−= ⋅ ∆ ⋅ ⋅ ∆ 
Para solução da distribuição de temperaturas resolve-se a equação da difusividade para cada 
nó, na forma: 
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
N N
N N
N N N NN N N
a T a T a T a T C
a T a T aT a T C
a T a T a T a T C
+ + + ⋅⋅⋅+ =
+ + + ⋅⋅⋅+ =
+ + + ⋅⋅⋅+ =
M M M M M M