Análise de Fourier em Telecomunicações

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AULA 2
Análise de Fourier
EE –05
Princípios de Telecomunicações
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Sinais e espectros
Os sinais são compostos de várias componentes senoidais (Série de Fourier)
Generalização  Transformada de Fourier
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Aplicações
A análise da largura de faixa permitirá o dimensionamento do sistema e o seu adequado projeto.
Determinação da distribuição espectral de um sinal de microondas e do ângulo de chegada, através de uma transformada de Fourier espacial
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Operação transformada
A fim de se realizar uma operação de transformação, deve-se inicialmente modelar matematicamente o sinal.
Objetivo: 
Série de Fourier;
Transformada de Fourier;
Relação entre ambas.
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Fasores e espectro de linhas
Seja um sinal senoidal dado pela seguinte expressão:
Utilizando-se da relação de Euler, tal que:
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Representação fasorial
Podemos expressar o sinal senoidal por um fasor, tal como na figura abaixo:
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Espectro de amplitudes e espectro de fases
Alternativamente, pode-se representar o sinal senoidal pelos seus espectros de amplitudes e de fases, tal como na figura.
Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase
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Observações:
	i. A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes, deve ser sempre positiva . Assim, um sinal descrito por deve ser re-escrito como 
 .É indiferente se é utilizado + ou -.
	ii.  tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser expressa em radianos. Lembrar que  = 2..f em rad/s e f em Hz.
	iii. Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo real, no sentido anti-horário.
	iv. Formas de onda cosseno e seno são genericamente denominadas de forma de onda senoidais. Lembrar que , , ou seja, o sinal seno é um sinal cosseno atrasado de /2 (ou, 900 ).
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Exemplo
Dado o sinal:
Cuja forma de onda é:
Determinar o seu espectro de freqüência (amplitude e fase)
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Solução
O sinal pode ser reescrito como:
Assim, o seu espectro de freqüências será:
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Série de Fourier
Seja uma função periódica de período T. Esta função pode ser representada pela série de Fourier Trigonométrica:
Com 0 = 2/T
Que pode ser reescrita da forma:
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Ortogonalidade das funções seno e cosseno
Definição de ortogonalidade:
	Um conjunto de funções {k(t)} é dita ortogonal em um intervalo a < t < b se, para quaisquer duas funções m(t) e n(t) no conjunto {k(t)} é válida a relação 
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Relação de ortogonalidade de funções seno e cosseno
 Com 0 = 2/T
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Série de Fourier
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Exemplo 1
Determinar a série de Fourier do sinal
Cujo gráfico em função do tempo é dado por:
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Exemplo 1
Como o sinal é periódico, é possível o cálculo da série de Fourier.
 A tarefa é portanto o cálculo dos coeficientes da série de Fourier, lembrando que:
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Exemplo 1
Cálculo do a0 e an
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Exemplo 1
Cálculo de bn
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Exemplo 1
A série de Fourier fica então assim:
A seguir façamos uma análise da série de Fourier tomando-se um número de termos cada vez maior
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Exemplo 1
Supondo uma onda quadrada de freqüência angular=2 rad/s e tomando-se somente o primeiro termo da série de Fourier ,
 tem-se a seguinte forma de onda:
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Exemplo 1
Tomando-se os dois primeiros termos:
Cuja forma de onda é:
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Exemplo 1
Tomando-se os três primeiros termos
Cuja forma de onda é:
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Exemplo 1
Tomando-se os 5 primeiros termos
Cuja forma de onda é dada por:
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Exemplo 2
Determinar a série de Fourier da função f(t) definida por:
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Determinação dos coeficientes an e bn 
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Determinação dos coeficientes an e bn
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Tomando-se os seis primeiros termos em senos e cossenos, tem-se que:
Cuja forma de onda é dada por:
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Tomando-se mais termos, tem-se o gráfico abaixo, onde se pode observar o efeito de Gibbs nas transições da função.