Termodinamica aula 4
46 pág.

Termodinamica aula 4


DisciplinaTermodinâmica13.393 materiais243.833 seguidores
Pré-visualização14 páginas
1 2Q U U W== -- ++ 
 
como, 1W2 = 0, e 1Q2 = - 2 900 kJ , concluímos que a energia interna do sistema 
decresceu de 2 900 kJ durante o processo de troca de calor. Calculemos, agora, a 
diminuição de massa durante o processo, utilizando a Eq. 4.6-1. A velocidade da 
luz é 2,9979x108 m/s. Portanto 
 
 2 900 000 (J) = m (kg) . (2,9979x108(m/s))2 ® m = 3,23 x10 -11 kg 
 
Portanto, quando a energia do sistema varia de 2 900 kJ a redução de massa do 
sistema será de 2,23 x 10 -11 kg. 
 
 Uma variação de massa dessa ordem de grandeza não pode ser detectada 
pela balança analítica de maior precisão. Certamente, uma variação relativa de 
massa dessa ordem de grandeza está além da precisão requerida essencialmente 
para todos os cálculos da engenharia. Portanto se usarmos as leis de conservação 
de massa e energia como leis independentes não introduziremos erros significativos 
na grande maioria dos problemas termodinâmicos, e nossa definição de sistema, 
tendo uma massa fixa, pode ser usado mesmo que haja variação de energia do 
sistema. 
 
 
 
 
 
Capítulo - 4 - Fundamentos da Termodinâmica - pág. - 20 
4.7 Conservação de Massa e o Volume de Controle 
 
 
 Volume de controle é um espaço que nos 
interessa para um estudo ou análise particular, 
igualmente como foi definido anteriormente para o 
sistema termodinâmico. O espaço é demarcado 
pela superfície de controle, sendo esta uma 
superfície fechada. Como para o sistema, o volume 
de controle pode ter uma superfície de controle real 
ou imaginária, fixa ou móvel rígida ou flexível. 
Entretanto a superfície deve ser determinada em 
relação a algum sistema de coordenadas. 
 A massa bem como o calor e o trabalho 
podem atravessar a superfície de controle, e a 
massa contida no interior do volume de controle, bem como suas propriedades, 
podem variar no tempo. 
A Fig. 4.7-1 mostra o esquema de um volume de controle com transferência 
de calor, trabalho de eixo, acumulação de massa dentro do volume de controle e 
movimento de superfície. 
 
 O princípio de conservação de massa para o volume de controle é introduzido 
usando-se a Fig. 4.7-2, a qual mostra um sistema (linha contínua) constituído de 
uma quantidade fixa de matéria , m, que ocupa diferentes regiões no tempo " t " e 
no tempo " t+dt ". No seu interior temos o volume de controle, (delimitado pelas 
linhas tracejadas). No tempo " t " a quantidade de massa dentro do sistema, m, sob 
consideração é a soma 
 
m m t mVC e== ++( ) dd (4.7-1) 
 
onde mVC(t) é a massa contida dentro do volume de controle e ddme é a massa 
dentro da pequena região denominada " e " adjacente ao volume de controle como 
mostrado na Fig. 4.7-2a . Analisemos, agora, o que ocorre com a quantidade fixa de 
matéria " m " no decorrer do intervalo de tempo dt 
 
 
 Figura 4.7-2 - Ilustração usada para desenvolver o princípio da conservação de massa 
 para o volume de controle a) tempo " t " b) tempo " t+dt " 
 
 Figura 4.7-1 diagrama esquemático 
 de um volume de controle 
 
Capítulo - 4 - Fundamentos da Termodinâmica - pág. - 21 
 No intervalo de tempo dt, toda massa na região " e " atravessa a superfície 
do volume de controle, enquanto um pouco de massa , chamada de ddms, 
inicialmente contida dentro do volume de controle, sai para encher a região 
denominada " s " adjacente ao volume de controle como mostra a Fig. 4.7-2b. No 
instante de tempo t+dt a quantidade de matéria sob consideração no sistema pode 
ser expressa pela equação: 
 
m m t dt mVC S== ++ ++( ) dd (4.7-2) 
 
 Observe que as quantidades de massa nas regiões " e " e " s " não são 
necessariamente iguais e que, a quantidade de matéria dentro do volume de 
controle pode ter variado. Embora o sistema sob consideração ocupe diferentes 
regiões no espaço em tempos diferentes, ele contém a mesma quantidade de 
massa. Assim, 
 
m t m m t dt mVC e VC s( ) ( )++ == ++ ++dd dd 
 
ou rearranjando, 
 
m t dt m t m mVC VC e s( ) ( )++ -- == --dd dd (4.7-3) 
 
 A Eq. 4.7-3 é uma " contabilidade " do balanço de massa, a qual afirma que 
a variação de massa dentro do volume de controle durante o intervalo de tempo dt é 
igual à quantidade de massa que entra menos a quantidade de massa que sai do 
volume de controle. A Eq. 4.7-3 pode ser expressa na base de taxa. Primeiro 
dividindo-a por dt para obter: 
 
m t dt m t
dt
m
dt
m
dt
VC VC e s( ) ( )++ -- == --
dd dd
 (4.7-4) 
 
 O lado esquerdo desta equação é a taxa média no tempo da variação de 
massa dentro do volume de controle durante o intervalo de tempo dt. Os termos do 
lado direito, envolvendo a massa que cruza a superfície de controle, são as taxas 
médias no tempo do fluxo mássico durante o mesmo intervalo de tempo dt. A 
equação para a taxa instantânea de massa é obtida tomando-se o limite de dt 
tendendo para zero na Eq. 4.7-4. No limite o volume de controle e o sistema 
coincidem. Assim, o limite do termo do lado esquerdo da Eq. 4.7-4 é: 
 
lim
( ) ( )
dt
VC VC VCm t dt m t
dt
dm
dt®®
++ --ææ
èè
çç
öö
øø
÷÷ ==
0
 
 
Onde, dm
dt
VC é a taxa de variação de massa dentro do volume de controle no 
tempo t. No mesmo limite, quando dt tende para zero, os termos do lado direito 
da Eq. 4.7-4 tornam-se respectivamente; 
 
 
 
Capítulo - 4 - Fundamentos da Termodinâmica - pág. - 22 
lim
dt
e
e
m
dt
m
®®
··
==
0
dd
, lim
dt
s
s
m
dt
m
®®
··
==
0
dd
 
 
Nesta expressão me
··
 e ms
··
, são as taxas instantâneas de escoamento de 
massa na entrada e saída, respectivamente, no volume de controle. Em resumo a 
Eq. 4.7-4 quando dt ®® 0 é, 
 
dm
dt
m mVC e s== --
·· ··
 (4.7-5) 
 
 Em geral podem existir várias localizações na superfície de controle através 
das quais a massa pode entrar ou sair. Assim, a Eq. 4.7-5 é reescrita introduzindo-
se o somatório nos termos do lado direito da equação, como na Eq. 4.7-6 
 
 
dm
dt
m mVC e
e
s
s
== --
·· ··
åå åå ( 4.7-6) 
 
A Eq. 4.7-6 constitui a expressão geral do balanço de massa para um 
volume de controle, admitindo-se a hipótese de escoamento uniforme dos fluxos de 
massa na entrada e saída do volume de controle. 
 
 Vamos considerar um outro aspecto do escoamento de massa através de 
uma superfície de controle. Para simplificar, admitamos que um fluido esteja 
escoando uniformemente no interior de um tubo ou duto como mostrado na Fig. 4.7-
3. 
 Desejamos examinar o escoamento em termos de quantidade de massa que 
cruza a superfície, A durante o intervalo de tempo dt. 
 Conforme se observa na Fig. 4.7-3, o fluido se 
move de uma distância dx durante esse intervalo, e 
portanto o volume de fluido que cruza a superfície A é 
Adx. Conseqüentemente a massa que atravessa a 
superfície A é dada por 
dm
Adx
==
nn
 
 
 
onde nn, é o volume específico do fluido, se agora, dividirmos ambos os membros 
dessa expressão por dt e tomarmos o limite para dt®® 0, o resultado será: 
 
m
AV··
==
r
nn
 (4.7-7) 
onde 
r
V é a velocidade. Deve-se observar que este resultado, a Eq. 4.7-7, foi 
desenvolvido para uma superfície de controle estacionária A, e que, tacitamente 
admitimos que o escoamento era normal à superfície e uniforme através da 
superfície. Deve-se também considerar que a Eq. 4.7-7 se aplica a qualquer uma 
das várias correntes de escoamento que entra e sai do volume de controle , sujeito 
às hipóteses mencionadas. 
 
Figura 4.7-3