MAXIMOS E MINIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIAVEIS

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CALCULO III 
Prof.a Dra. Prescila Buzolin 
 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
Uma função f de duas variáveis tem MÁXIMO LOCAL em (a,b) se existe um 
disco aberto R contendo (a,b) tal que f(x,y) ≤ f(a,b) para todo (x,y) em R. Os 
máximos locais correspondem aos pontos altos do gráfico S de f. Da mesmo 
forma, a função f tem MÍNIMO LOCAL em (c,d) se existe um disco aberto R 
contendo (c,d) tal que f(x,y) ≥	 f(c,d) para todo (x,y) em R. Os mínimos locais 
correspondem aos pontos baixos do gráfico de f. (VER ILUSTRAÇÃO EM AULA) 
Uma região no plano xy é limitada se é uma sub-região de um disco 
fechado. Se f é contínua em uma região R fechada e limitada, então f tem 
MÁXIMO f(a,b) e MÍNIMO f(c,d) para algum (a,b) e algum (c,d) em R, isto é f(c,d) 
≤ f(x,y) ≤ f(a,b) para todo (x,y) em R. 
Os MÁXIMOS e MÍNIMOS locais são os EXTREMOS LOCAIS de f. Se f tem 
derivadas parciais primeiras contínuas em (x0,y0) e se f(x0,y0) é um extremo local 
de f, então o plano tangente ao gráfico de z = f(x,y) em (x0,y0,z0) é paralelo ao 
plano xy e, assim, sua equação é z = z0. 
Os pares que originam extremos locais devem satisfazer fx(x,y) = 0 e fy(x,y) 
= 0. 
Tal como no caso de funções de uma variável, podem ocorrer extremos 
locais em (x,y) mesmo que fx(x,y) ou fy(x,y) não exista. 
Definição: Seja f uma função de duas variáveis. Um par (a,b) é um ponto 
crítico de f se: 
(i) fx(a,b) = 0 e fy(a,b) = 0, ou 
(ii) fx(a,b) ou fy(a,b) não existe. 
 
 UNESP 
Na pesquisa de extremos locais de uma função, em geral, começamos por 
determinar os pontos críticos. Testamos então cada par para ver se se trata de 
MÁXIMO ou MÍNIMO local. 
Um MÁXIMO ou MÍNIMO de uma função de duas variáveis podem ocorrer 
em um ponto-fronteira de seu domínio R. A pesquisa de tais extremos na 
fronteira em geral exige um processo separado, da mesma forma que no caso de 
extremos nos pontos inicial e final para funções de uma variável. Se não há 
pontos-fronteira - quando R é todo o plano xy ou um disco aberto - então pode 
não haver extremos na fronteira. 
EXEMPLOS (dados em aula) 
Para determinar os extremos de uma função mais complicada f de duas 
variáveis, é conveniente utilizar a seguinte função D chamada DISCRIMINANTE 
de f. 
Definição: Seja uma função de duas variáveis dotada de derivadas parciais 
segundas contínuas. O DISCRIMINANTE D de f é 
D(x,y) = fxx(x,y). fyy(x,y) – [fxy(x,y)]
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ou 
D(x,y) = ���� ������ ����=H(x,y) (determinante da matriz Hessiana, Hessiano) 
Teste da derivada de segunda ordem para valores extremos locais: 
Suponha que f(x,y) e suas derivadas parciais de primeira e segunda ordens sejam 
contínuas em um disco centrado em (a,b) e que fx(a,b) = fy(a,b) = 0 são os pontos 
críticos. Então: 
(i) f tem um MÁXIMO LOCAL em (a,b) se fxx < 0 e H(x,y) > 0 em (a,b). 
(ii) f tem um MÍNIMO LOCAL em (a,b) se fxx > 0 e H(x,y) > 0 em (a,b). 
(iii) f tem um PONTO DE SELA em (a,b) se H(x,y) < 0 em (a,b). 
(iv) O TESTE É INCONCLUSIVO em (a,b) se H(x,y) = 0 em (a,b). Neste caso, 
devemos encontrar outra maneira de determinar o comportamento de f 
em (a,b). 
 
EXEMPLOS (dados em aula)