MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
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MULTIPLICADORES DE LAGRANGE


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CALCULO III 
Prof.a Dra. Prescila Buzolin 
 
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 
 
INTRODUÇÃO: Em muitas aplicações devemos achar os extremos de uma 
função f de várias variáveis, quando estas estão sujeitas a algum vínculo. 
Por exemplo, achar o máximo valor de V na função V = 8xyz, sujeito ao vínculo 
(ou condição lateral) 16x
2
 +4y
2
 +9z
2
 -144 = 0. 
Resolvendo esta equação em relação a z e levando à fórmula de V, temos 
V = (8xy).
\ufffd\ufffd\ufffd144 \u2212 16\ufffd	 \u2212 4
	. 
Podemos agora, achar os extremos aplicando o teste da segunda derivada, 
todavia este método é trabalhoso e outra desvantagem desta técnica é que algumas 
vezes não é possível resolver em relação à z. 
Por esta razão é mais simples utilizar o método dos MULTIPLICADORES DE 
LAGRANGE. 
 TEOREMA DE LAGRANGE: Sejam f e g funções de duas variáveis dotadas de 
derivadas parciais primeiras e contínuas, e suponhamos \u2207g	\u2260	0 em toda uma região 
do plano xy. 
Se f tem um extremo f(x0, y0) sujeito ao vínculo g(x, y) = 0, então existe um 
número real \ufffd tal que: 
\u2207f(\ufffd\ufffd, 
\ufffd) = 	\ufffd\u2207	g(\ufffd\ufffd, 
\ufffd) 
O número \ufffd é chamado de MULTIPLICADOR DE LAGRANGE. 
OBS 1: Do teorema segue que os pontos em que uma função f de duas 
variáveis tem extremos relativos sujeitos ao vínculo g(x,y) = 0 estão incluídos entre 
os pontos (x, y), determinados pelas duas primeiras coordenadas das soluções (x, y, \ufffd) do sistema: 
\ufffd\ufffd\ufffd(\ufffd, 
) = 	\ufffd\ufffd\ufffd(\ufffd, 
)\ufffd\ufffd(\ufffd, 
) = 	\ufffd\ufffd\ufffd(\ufffd, 
)\ufffd(\ufffd, 
) = 0 
 
 UNESP 
Então achamos as soluções (x1, y1, \ufffd1), (x2, y2, \ufffd2), ... 
Os pontos em que ocorrem os extremos relativos estão entre (x1, y1), (x2, y2), ... 
Os multiplicadores de Lagrange são descartados depois de achadas as 
soluções. Cada ponto (xk, yk) é então estudado para determinar se f(xk, yk) é máximo 
relativo ou mínimo relativo ou nenhum dos dois. 
OBS 2: Este método determina potenciais pontos extremantes, mas 
precisamos de outros recursos para classificar estes pontos, em geral, utilizamos 
considerações gráficas. 
EXEMPLOS (dados em aula)