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A Fórmula de Taylor: Teorema da Fórmula de Taylor
Pontos Cŕıticos: Operador Auto-Adjunto, Hessiana e Exemplos
Érika Patricia P. Souto
Marina Bastos
Universidade Estadual de Montes Claros - Unimontes
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Disciplina: Análise no Rn
Professor: Lenadro Luz
Novembro - 2021
Érika Patricia P. Souto - Marina Bastos (Unimontes) Análise no Rn - Seminário Novembro - 2021 1 / 23
A Fórmula de Taylor
Lema 2
Seja r : B −→ R de classe C 2 na bola aberta B ⊂ Rn, de centro 0.
Se r(0) =
∂r
∂xi
(0) =
∂2r
∂xi∂xj
(0) = 0 para quaisquer i , j = 1, . . . , n, então lim
v→0
r(v)
|v |2
= 0.
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A Fórmula de Taylor
Teorema 5 (Fórmula de Taylor)
Seja f : U −→ R de classe C 2 no aberto U ⊂ Rn. Fixado a ∈ U, para todo v = (α1, . . . , αn) ∈
Rn tal que a+ v ∈ U, escrevamos
f (a+ v)− f (a) =
n∑
i=1
∂f
∂xi
(a) · αi +
1
2
n∑
i ,j=1
∂2f
∂xi∂xj
(a) · αiαj + r(v),
as derivadas sendo calculadas no ponto a. Então lim
v→0
r(v)
|v |2
= 0.
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Demonstração: (Teorema 5 - Fórmula de Taylor)
De acordo com o Lema 2 devemos demonstrar que
r(v) = f (a+ v)− f (a)−
n∑
i=1
∂f
∂xi
(a) · αi −
1
2
n∑
i ,j=1
∂2f
∂xi∂xj
(a) · αiαj
se anula, juntamente com suas derivadas parciais de primeira e segunda ordem, no ponto v = 0.
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Demonstração: (Teorema 5 - Fórmula de Taylor)
Para fazer o cálculo, vamos lembrar que, na expressão de r(v), as variáveis independentes são
as coordenadas α1, . . . , αn de v .
É em relação a elas que as derivadas parciais de r devem ser tomadas, embora continuemos
escrevendo
∂r
∂xi
e
∂2r
∂xi∂xj
.
Observemos também que, no somatório duplo que ocorre na definição de r(v), cada par de
variáveis αi , αj aparece em duas parcelas iguais, a saber,
∂2f
∂xj∂xi
(a) · αjαi e
∂2f
∂xi∂xj
(a) · αiαj .
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Demonstração: (Teorema 5 - Fórmula de Taylor)
Levando isto em conta, derivando:
r(v) = f (a+ v)− f (a)−
n∑
i=1
∂f
∂xi
(a) · αi −
1
2
n∑
i ,j=1
∂2f
∂xi∂xj
(a) · αiαj ,
temos:
∂r
∂xj
(v) =
∂f
∂xj
(a+ v)− ∂f
∂xj
(a)−
n∑
i=1
∂2f
∂xi∂xj
(a) · αi .
Derivando outra vez, vem:
∂2r
∂xi∂xj
(v) =
∂2f
∂xi∂xj
(a+ v)− ∂
2f
∂xi∂xj
(a).
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Demonstração: (Teorema 5 - Fórmula de Taylor)
No ponto v = 0, temos:
r(0) = f (a+ 0)− f (a)−
n∑
i=1
∂f
∂xi
(a) · 0− 1
2
n∑
i ,j=1
∂2f
∂xi∂xj
(a) · 0
= f (a)− f (a)
= 0,
a derivada parcial de primeira ordem
∂r
∂xj
(0) =
∂f
∂xj
(a+ 0)− ∂f
∂xj
(a)−
n∑
i=1
∂2f
∂xi∂xj
(a) · 0
=
∂f
∂xj
(a)− ∂f
∂xj
(a)
= 0
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Demonstração: (Teorema 5 - Fórmula de Taylor)
e a derivada parcial de segunda ordem
∂2r
∂xi∂xj
(0) =
∂2f
∂xi∂xj
(a+ 0)− ∂
2f
∂xi∂xj
(a)
=
∂2f
∂xi∂xj
(a)− ∂
2f
∂xi∂xj
(a)
= 0.
Como r(0) = 0,
∂r
∂xi
(0) = 0 e
∂2r
∂xi∂xj
(0) = 0 para quaisquer i , j = 1, . . . , n , de acordo com o
Lema 2, lim
v→0
r(v)
|v |2
= 0. ■
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Observação: (Teorema 5 - Fórmula de Taylor)
Se pusermos ρ(v) =
r(v)
|v |2
⇒ r(v) = ρ(v) · |v |2 quando v ̸= 0 e ρ(0) = 0, a fórmula de Taylor
se escreve assim:
f (a+ v)− f (a) =
n∑
i=1
∂f
∂xi
(a) · αi +
1
2
n∑
i ,j=1
∂2f
∂xi∂xj
(a) · αiαj + ρ(v) · |v |2,
onde lim
v→0
ρ(v) = 0.
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Pontos Cŕıticos
Uma forma quadrática H : Rn −→ R é uma função cujo valor no vetor v = (α1, . . . , αn) é
n∑
i ,j=1
hijαiαj ,
onde [hij ] é uma matriz simétrica n × n, ou seja,
[hij ] =

h11 h12 · · · h1n
h21 h22 · · · h2n
...
...
. . .
...
hn1 hn2 · · · hnn
 com hij = hji .
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Pontos Cŕıticos: Forma quadrática
O valor da forma quadrática H no vetor v será indicado com a notação H · v2. Portanto
H · v2 = [α1, α2, . . . , αn] ·

h11 h12 · · · h1n
h21 h22 · · · h2n
...
...
. . .
...
hn1 hn2 · · · hnn
 ·

α1
α2
...
αn
 =
n∑
i ,j=1
hijαiαj
quando v = (α1, . . . , αn).
Se t ∈ R então H · (tv)2 = t2 · (H · v2).
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Pontos Cŕıticos: Forma quadrática
A forma quadrática H chama-se
não-negativa quando H · v2 ≥ 0 para todo v ∈ Rn,
positiva quando H · v2 > 0 para todo v ̸= 0 em Rn,
não-positiva quando H · v2 ≤ 0 para todo v ∈ Rn,
negativa quando H · v2 < 0 para todo v ̸= 0 em Rn e
indefinida quando existem v ,w ∈ Rn tais que H · v2 > 0 e H · w2 < 0.
Quando H é positiva ou negativa, diz-se que ela é definida.
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Exemplo 4: (Forma quadrática)
A forma quadrática H : Rn −→ R, onde H · v2 = ⟨v , v⟩, é positiva. Como ⟨v , v⟩ =
α21 + . . .+ α
2
n, a matriz de H é a identidade.
H · v2 = [α1, α2, . . . , αn] ·

1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · 1
 ·

α1
α2
...
αn
 = α21 + α22 + . . .+ α2n = ⟨v , v⟩
Para todo k ∈ [1, n], H · v2 = α21+ . . .+α2k é uma forma quadrática não-negativa em Rn.
Por outro lado, se pusermos H · v2 = α21 + . . . + α2k − α2k+1 − . . . − α2n com 0 < k < n,
teremos uma forma quadrática indefinida.
Evidentemente, se H é positiva (respect. não-negativa) então −H é negativa
(respect. não-positiva).
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Pontos Cŕıticos: Operador Auto-Adjunto
Seja H : Rn −→ R uma forma quadrática cuja matriz é [hij ].
Se chamarmos de H0 : Rn −→ Rn o operador linear cuja matriz na base canônica de Rn é
também [hij ], vemos imediatamente que H · v2 = ⟨H0 · v , v⟩ para todo v ∈ Rn.
Como a matriz [hij ] do operador H0 na base canônica é simétrica, H0 é auto-adjunto.
Reciprocamente, para qualquer operador auto-adjunto H0 : Rn −→ Rn, a função H : Rn −→ R,
dada por H · v2 = ⟨H0 · v , v⟩, é uma forma quadrática.
Quando H é definida, o operador H0 é invert́ıvel pois
⟨H0 · v , v⟩ ≠ 0 para todo v ̸= 0 ⇒ H0 · v ̸= 0 para todo v ̸= 0.
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Pontos Cŕıticos: Forma Quadrática Hessiana
Dada a função f : U −→ R, de classe C 2 no aberto U ⊂ Rn a forma quadrática hessiana
H(x) = (Hf )(x) de f no ponto x ∈ U é aquela cuja matriz é
[hij ] =

∂2f
∂2x1
(x)
∂2f
∂x1∂x2
(x) · · · ∂
2f
∂x1∂xn
(x)
∂2f
∂x2∂x1
(x)
∂2f
∂2x2
(x) · · · ∂
2f
∂x2∂xn
(x)
...
...
. . .
...
∂2f
∂xn∂x1
(x)
∂2f
∂xn∂x2
(x) · · · ∂
2f
∂2xn
(x)

=
[
∂2f
∂xi∂xj
(x)
]
.
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Pontos Cŕıticos: Forma Quadrática Hessiana
Assim, para todo v = (α1, . . . , αn) ∈ Rn, tem-se
H(x) · v2 =
n∑
i ,j=1
∂2f
∂xi∂xj
(x) · αiαj .
A forma hessiana é usada para determinar a natureza dos pontos cŕıticos da função f .
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Pontos Cŕıticos
Diz-se que a ∈ U é um ponto de máximo local da função f : U −→ R quando existe δ > 0 tal
que f (x) ⩽ f (a) para todo x ∈ U ∩ B(a; δ).
Analogamente a ∈ U é um ponto de ḿınimo local da função f : U −→ R quando existe δ > 0tal que f (x) ⩾ f (a) para todo x ∈ U ∩ B(a; δ).
Um ponto a, de máximo (ou de ḿınimo) local de uma função diferenciável f , é um ponto cŕıtico
de f .
Com efeito, para todo i = 1, . . . , n, se δ > 0 é suficientemente pequeno então a função
φ : (−δ, δ) −→ R, dada por φ(t) = f (a + tei ), está bem definida e possui um máximo (ou
ḿınimo) local no ponto t = 0.
Logo 0 = φ′(0) =
∂f
∂xi
(a), i = 1, . . . , n.
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Exemplo 5: (Pontos Cŕıticos)
A origem 0 ∈ R2 é ponto cŕıtico das três funções f , g , h : R2 −→ R, definidas por
f (x , y) = x2 + y2,
g(x , y) = −x2 − y2 e
h(x , y) = x2 − y2.
Para f a origem é um ponto de ḿınimo, para g de máximo e para h não é máximo nem
ḿınimo pois em qualquer disco de centro 0 a função h assume valores maiores e menores do
que 0 = h(0, 0). ◁
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Teorema 6
Seja a ∈ U e f : U → R uma função de classe C 2. Se a forma quadrática hessiana é
(a) positiva, então a é ponto de ḿınimo local de f .
(b) negativa, então a é ponto de máximo local de f .
(c) indefinida, então a não é ponto de máximo nem de ḿınimo de f .
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Demonstração: Teorema 6
(a) Denotaremos H(a) por H. Pelo teorema de Weierstrass, a função cont́ınua H possui valor
ḿınimo em 2c > 0 no conjunto compacto Sn−1. Ou seja, existe c > 0 tal que H · u2 ≥ 2c para
todo vetor u ∈ Rn, sendo |u| = 1. Como a é ponto cŕıtico de f , então
f (a+ v)− f (a) = 1
2
· H · v2 + ρ(v)
|v |2
, com lim
v→0
ρ(v) = 0.
O modulo do vetor v|v | ∈ S
n−1 é 1, dáı
1
2
H · v2 = |v
2|
2
H ·
(
v
|v2|
)2
≥ |v |
2
2
· 2c = |v |2 · c .
Portanto, f (a+ v)− f (a) ≥ |v |2(c + ρ(v)).
Pela definição de limite, existe δ > 0 tal que a + v ∈ U e 0 < |v | < δ implicam |p(v)| < c e
consequentemente c + ρ(v) > 0. Logo, f (v + a)− f (a) > 0, isto é, f (a) < f (a+ v) para todo
v tal que a+ v ∈ U e 0 < |v | < δ.Assim, a é um ponto de ḿınimo local para f .
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(b) Segue as mesmas linhas do caso anterior.
Agora, demonstremos o caso (c).
Dado v ∈ Rn tal que a+ tv ∈ U, para t suficientemente pequeno. Como
H · (tv)2 = t2 · (Hv2),
temos
f (a+ tv)− f (a) = t2 · |v |
2
2
·
(
H · v
|v |2
+ ρ(tv)
)
, com lim
t→0
ρ(tv) = 0.
Segue-se ainda que para todo t suficientemente pequeno f (a + tv) − f (a) tem o mesmo sinal
de H · v2. Assim, se H é indefinida, com H · v2 > 0 e H ·w2 < 0, em qualquer bola de centro a
existem pontos a+ tv e a+ tw tais que f (a+ tv) > f (a) e f (a+ tw) < f (a). Portanto, f não
tem máximo nem ḿınimo local no ponto a. ■
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Referência
LIMA, Elon Lages. Análise Real: Funções de n Variáveis. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009.
v.2.
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Agradeço a atenção!
”Mude,
mas comece devagar,
porque a direção é mais importante que a velocidade.”
Edson Marques
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