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n!
zn
=
\u221e\u2211
n=0
cosh(2n)(0)
(2n)!
z2n +
\u221e\u2211
n=0
cosh(2n+1)(0)
(2n+ 1)!
z2n+1
=
\u221e\u2211
n=0
z2n
(2n)!
.
Exercicios:
1. Desenvolva as seguintes func¸o\u2dces na sua se´rie de taylor em torno de z = 0
(a) f(z) = ez; (b) f(z) = sin(z); (c) f(z) = sinh(z); (d) f(z) =
z
z2 + 1
.
2. Desenvolva as seguintes func¸o\u2dces na sua se´rie de taylor em torno de z0
(a) f(z) = cos(z), z0 = pi/2; (b) f(z) = sinh(z), z0 = pii.
3. Sejam a, b \u2208 C tal que a 6= b. Mostre que
1
a\u2212 z =
\u221e\u2211
n=0
(z \u2212 b)n
(a\u2212 b)n+1 , para |z \u2212 b| < |a\u2212 b|
52
7 Zeros de uma func¸a\u2dco anal´\u131tica
Definition 7.1 Dizemos que uma f(z) anal´\u131tica em \u2126 tem um zero em a \u2208 \u2126 se f(a) =
0. Neste caso dizemos que a e´ um ponto de zero de multiplicidade m \u2208 N se existe g(z)
anal´\u131tica em \u2126 tal que f(z) = (z \u2212 a)mg(z) onde g(a) 6= 0
Remark Quando na\u2dco existe m \u2208 N dizemos que a multiplicidade de a e´ infinita. Por
exemplo uma func¸a\u2dco identicamente nula tem multiplicidade nula em qualquer ponto. Sera´
mostrado posteriormente que a u´nica func¸a\u2dco anal´\u131tica que tem zeros com multiplicidade
infinita e´ a func¸a\u2dco nula.
Theorem 7.2 (prolongac¸a\u2dco anal´\u131tica) Seja f(z) anal´\u131tica num aberto e conexo \u2126.
As seguintes afirmac¸o\u2dces sa\u2dco equivalentes:
(i) f(z) \u2261 0;
(ii) Existe z0 \u2208 \u2126 tal que f (n)(z0) = 0, \u2200n \u2208 Z+0 ;
(iii) Z = {z \u2208 \u2126 : f(z) = 0} tem um ponto de acumulac¸a\u2dco em \u2126.
Proof: E´ obvio que (a)\u21d2 (b) e (a)\u21d2 (c).
(c) \u21d2 (b): Seja z0 \u2208 \u2126 um ponto de acumulac¸a\u2dco de Z, logo pela continuidade de f(z)
temos que f(z0) = 0. Mostraremos que z0 e´ o ponto que satisfaz (ii). Procedamos
pelo absurdo; suponhamos que existe n0 \u2265 1 tal que f (n)(z0) = 0, para n = 0, · · · , n0
e f (n0)(z0) 6= 0. como f(z) pode ser expressada como uma se´rie de pote\u2c6ncias en torno de
z0 temos que
f(z) =
\u221e\u2211
n=n0
f (n)(z0)
n!
(z \u2212 z0)n
= (z \u2212 z0)n0
\u221e\u2211
n=0
f (n0+n)(z0)
(n0 + n)!
(z \u2212 z0)n
= (z \u2212 z0)n0g(z)
para todo z \u2208 BR(z0) para algum R > 0. Note que a func¸a\u2dco g(z) e´ anal´\u131tica em BR(z0)
e satisfaz g(z0) =
f (n0)(z0)
n0!
6= 0, logo por continuidade temos que g(z) 6= 0 para todo
z \u2208 Br(z0) para algum 0 < r < R. Por z0 ser ponto de acumulac¸a\u2dco de Z existe zr \u2208
Br(z0)\u2212 {z0} tal que 0 = f(zr) = (zr \u2212 z0)n0g(zr) dai segue que g(zr) = 0. (\u21d2\u21d0).
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(b)\u21d2 (a): como
f(z) =
\u221e\u2211
n=0
f (n)(z0)
n!
(z \u2212 z0)n, \u2200z \u2208 BR(z0)
enta\u2dco f(z) \u2261 0 em BR(z0). seja z \u2208 \u2126, como \u3c9 e´ conexo, z e z0 podem ser unidos por
uma poligonal de vertices z0, z1, . . . , zp = z cujas dista\u2c6ncias entre vertices sa\u2dco pequenas de
tal forma que zk esta´ dentro da bola de converge\u2c6ncia da se´rie da func¸a\u2dco en torno de zk\u22121.
Como z1 \u2208 BR(z0) enta\u2dco f (n)(z1) = 0 para todo n \u2208 Z+0 , seguindo o mesmo raciocinio
obtemos o mesmo para z2, . . . zp = z, isto e´ f(z) = 0. Como z \u2208 \u2126 foi tomado arbitra´rio
temos que f(z) \u2261 0 em \u2126. 2
Corollary 7.3 (Unicidade da prolongac¸a\u2dco anal´\u131tica) Sejam f(z), g(z) anal´\u131ticas
num aberto e conexo \u2126. Se ambas func¸o\u2dces conincidem em \u3c9 \u2282 \u2126 e \u3c9 tem um ponto de
acumulac¸a\u2dco em \u2126 enta\u2dco necessariamente as func¸o\u2dces coincidem em \u2126
Corollary 7.4 O conjunto de pontos de zero de uma func¸a\u2dco anal´\u131tica f(z) na\u2dco identi-
camente nula definida num aberto e conexo \u2126 e´ discreto. Ale´m disso, a multiplicidade do
ponto de zero z0 e´ finita, isto e´, existe m \u2208 N e uma func¸a\u2dco anal´\u131tica g(z) em \u2126, tal que
f(z) = (z \u2212 z0)mg(z) com g(z0) 6= 0.
Proof: Seja m \u2208 N o menor inteiro positivo tal que f (m)(z0) 6= 0, logo f (n)(z0) = 0 para
n = 0, 1, . . . ,m\u2212 1. Definimos
g(z) =
{
f(z)
(z\u2212z0)m se z 6= z0;
f (m)(z0)
m!
se z = z0.
Evidentemente g(z) e´ anal´\u131tica em \u2126\u2212 {z0}. Existe g\u2032(z0)? 2
exercicio: Usando a representac¸a\u2dco em se´rie de f(z) em torno de z0 mostre que
g\u2032(z0) =
f (m+1)(z0)
(m+ 1)!
Exercicios:
1. Seja f(z) anal´\u131tica em z0. Mostre que z0 e´ um ponto de zero de ordem n0 da func¸a\u2dco
f(z) se e somente se
f(z0) = f
\u2032(z0) = · · · = f (n0\u22121)(z0) = 0, e f (n0)(z0) 6= 0
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2. Usando o teorema da prolongac¸a\u2dco anal´\u131tica mostre as seguintes propriedades
ez+z0 = ezez0 , sin(z + z0) = sin(z) cos(z0) + sin(z0) cos(z)
3. Seja \u2126 um aberto e conexo. f(z) e g(z) sa\u2dco func¸o\u2dces anal´\u131ticas em \u2126 tal que
f(z)g(z) = 0, \u2200z \u2208 \u2126, mostre que f \u2261 0 ou g \u2261 0.
4. Seja \u2126 um aberto e conexo. Mostre que que a func¸a\u2dco anal´\u131tica f(z) em \u2126 e´ um
polino\u2c6mio de ordem menor ou igual que m se e somente se existe z0 \u2208 \u2126 tal que
f (n)(z0) = 0, para todo n > m.
5. Seja f(z) uma func¸a\u2dco inteira tal que |f(z)| \u2264 M |z|m, \u2200|z| > R para algum M > 0
e R > 0. Mostre que f(z) e´ um polino\u2c6mio de ordem menor ou igual a m.
8 Singularidades
Definition 8.1 Dizemos que uma func¸a\u2dco complexa f(z) tem uma sigularidade isolada
em z0 se ela na\u2dco for ana´litica em z0 (ou na\u2dco esta´ definida nesse ponto) sendo que e´
ana´litica em Br(z0)\u2212{z0} para algum r > 0. Neste caso a singularidade sera´ do seguinte
tipo:
1. Remov´\u131vel: Se existe g(z) ana´litica em Br(z0) tal que f(z) = g(z) para todo
z \u2208 Br(z0)\u2212 {z0} para algum ² > 0;
2. Po´lo: se lim
z\u2192z0
|f(z)| =\u221e;
3. Singularidade essencial: Se na\u2dco for remov´\u131vel nem po´lo.
Obs: Se z0 e uma singularidade remov´\u131vel de f(z) enta\u2dco existe lim
z\u2192z0
f(z) \u2208 C
Exemplo
1. f(z) =
sin(z)
z
definida para todo z 6= 0 tem uma singularidade remov´\u131vel em z = 0.
Vejamos porque´: como sin(0) = 0 existe m \u2208 N e uma func¸a\u2dco anal´\u131tica em C tal
que sin(z) = zmg(z), assim f(z) =
sin(z)
z
= zm\u22121g(z), \u2200z 6= 0 sendo zm\u22121g(z) e´
anal´\u131tica em todo C.
2. f(z) =
1
z2 + 1
tem um po´lo em z = i, pois
lim
z\u2192i
|f(z)| = lim
z\u2192i
1
|z \u2212 i||z + i| =\u221e
55
3. f(z) = e1/z tem uma singularidade essencial em z = 0. Para isto vejamos que na\u2dco
existe L \u2208 R ou L =\u221e tal que lim
z\u21920
|f(z)| = L
lim
z \u2192 0
z \u2208 R+
e1/z = e+\u221e = +\u221e, lim
z \u2192 0
z \u2208 R\u2212
e1/z = e\u2212\u221e = 0
onde R+ = {z = x+ iy : x > 0, y = 0} e R\u2212 = {z = x+ iy : x < 0, y = 0}
Theorem 8.2 f(z) tem uma singularidade remov´\u131vel em z = z0 se e somente se lim
z\u2192z0
(z\u2212
z0)f(z) = 0
Proof: (\u21d2): como tem uma singularidade remov´\u131vel em z = z0, tem-se f(z) = g(z)
para todo z \u2208 Br(z0)\u2212 {z0} com g(z) ana´litica em z0.
lim
z\u2192z0
(z \u2212 z0)f(z) = lim
z\u2192z0
(z \u2212 z0)g(z) = 0 · g(z0) = 0
(\u21d0): Definimos h(z) = (z \u2212 z0)f(z) para z \u2208 Br(z0)\u2212 {z0} e h(z0) = 0. Se mostrarmos
que h(z) e´ anal´\u131tica em z0 pelo fato de se anular em z0 teremos que h(z) = (z \u2212 z0)g(z)
onde g(z) e´ anal´\u131tica em z0 desta forma f(z) = g(z) para todo z \u2208 Br(z0) \u2212 {z0} o que
mostraria que z0 e´ uma singularidade remov´\u131vel de f(z). Enta\u2dco mostremos que h(z) e´
anal´\u131tica em z0, para isso, faremos uso do teorema de Morera, isto e´ mostraremos que\u222b
T
h(z) dz = 0 (8.11)
para todo curva triangular T inscrita em Br(z0). Denotemos com \u2206 o interior do tria\u2c6ngulo
enta\u2dco, temos 4 posibilidades
1. z0 6\u2208 \u2206 \u222a T
2. z0 e´ um ve´rtice de T
3. z0 \u2208 T e´ na\u2dco e´ ve´rtice de T
4. z0 \u2208 \u2206
Mostremos que (8.11) no segundo caso: Seja L o per´\u131metro de T como h(z0) = 0 para
cada ² > O existe \u3b4 > 0 tal que |h(z)| < ²/L para todo z \u2208 B\u3b4(z0) Sejam a, b pontos de
cada um dos lados do tria\u2c6ngulo T adjacentes ao ve´rtice z0 de tal forma que a, b \u2208 B\u3b4(z0)
enta\u2dco \u2223\u2223\u2223\u2223\u222b
T
h(z) dz
\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u2223\u2223\u2223\u2223\u222b
Tab
h(z) dz
\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2264 \u222b
Tab
|h(z)| |dz| \u2264 ²
56
onde Tab e´ o tria\u2c6ngulo de ve´rtices z0, a, b. Por ² ser arbitrario tem-se (8.11).
2
Theorem 8.3 Seja z0 \u2208 \u2126 onde \u2126 e´ aberto e conexo e seja f(z) anal´\u131tica en \u2126 \u2212 {z0}.
Enta\u2dco, f(z) tem um po´lo em z = z0 \u2208 \u2126 se e somente se existe m \u2208 N e uma func¸a\u2dco
anal´\u131tica g(z) em \u2126 tal que f(z) =
g(z)
(z \u2212 z0)m para todo z \u2208 \u2126\u2212 {z0} com g(z0) 6= 0
Proof: (\u21d2): Como f(z) possui um polo em z = z0 enta\u2dco 1/f(z) definida em BR(z0)
possui uma singualaridade remov´\u131vel em z0 logo existe uma func¸a\u2dco anal´\u131tica em BR(z0),
h1(z), tal que
1
f(z)
= h1(z), \u2200z \u2208 BR(z0) \u2212 {z0}. Verifica-se