Estudo das Cônicas - Matemática

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matemática 
ESTUDO DAS CÔNICAS
Cônicas são figuras geométricas planas
definidas a partir da intersecção de um
cone duplo de revolução com um plano. 
As figuras que podem ser obtidas nessa
intersecção, e que podem ser chamadas de
cônicas, são: circunferência, elipse,
parábola e hipérbole.
Todas as definições das cônicas são
baseadas na distância entre dois pontos,
que pode ser encontrado no plano por meio
do teorema de Pitágoras.
Circunferência 
Dado um ponto C e um comprimento fixo r,
todo ponto que está a uma distância r do
ponto C é um ponto da circunferência. O
ponto C é chamado de centro da
circunferência e r é seu raio.
Dadas as coordenadas do ponto C (a, b), as
coordenadas do ponto P (x, y) e o
comprimento do segmento r, a equação
reduzida da circunferência é:
(x – a)² + (y – b)² = r²
Elipse
Dados dois pontos F1 e F2 do plano,
chamados de focos, a elipse é o conjunto
dos pontos P, tais que a soma da distância
de P a F1 com a distância de P a F2 é a
constante 2a. A distância entre os pontos F1
e F2 é 2c e 2a > 2c.
Existem duas versões da equação reduzida
da elipse; a primeira é válida para quando
os focos estão sobre o eixo x de um plano
cartesiano e o centro da elipse coincide
com a origem.
A segunda versão é válida para quando os
focos estão sobre o eixo y e o centro da
elipse coincide com a origem: 
O número e=c/a e igual a c sobre a é
chamado de excentricidade e indica o
quanto a elipse é "achatada".
Temos ainda a seguinte relação:
a² = b² + c²
Sendo
a: medida do semi-eixo maior
b: medida do semi-eixo menor
c: metade da distância focal
 
Parábola
Dada uma reta r, chamada de diretriz, e um
ponto F, chamado de foco, ambos
pertencentes ao mesmo plano, uma parábola
é o conjunto de pontos P, tais que a distância
entre P e F seja igual à distância entre P e r.
O parâmetro de uma parábola é a distância
entre o foco e a diretriz, e essa medida é
representada pela letra p. Também existem
duas versões para a equação reduzida da
parábola. A primeira é válida quando o foco
está sobre o eixo x:
y² = 2px
A segunda é válida quando o foco está sobre
o eixo y:
x² = 2py
Hipérbole
Dados dois pontos distintos F1 e F2, e a
distância 2c entre esses pontos, um ponto P
pertencerá à hipérbole se a diferença entre a
distância de P até F1 e a distância de P a F2,
em módulo, for igual a uma constante 2a.
Assim:
| PF1 – PF2| = 2a
 
A hipérbole também possui duas versões de
equação reduzida. A primeira é referente aos
casos em que os pontos F1 e F2 estão sobre o
eixo x e o centro da hipérbole é a origem do
plano cartesiano.
O segundo caso é para quando os focos da
hipérbole estão sobre o eixo y e seu centro
coincide com a origem do plano cartesiano.
Matemática Financeira - Juros
Juro é a remuneração cobrada pelo
empréstimo de dinheiro (ou outro item). É
expresso como um percentual sobre o valor
emprestado (taxa de juro) e pode ser
calculado de duas formas: juros simples ou
juros compostos.
Variação percentual
Variação percentual é a razão entre o
aumento de um valor A e o valor A. De
maneira geral, se uma grandeza assume
inicialmente um valor V0 e posteriormente um
valor V1, ao dividir a diferença (V1 – V0) por V0,
x = É o valor da mercadoria ou produto
em reais (R$);
p = é a porcentagem de aumento que
incide sobre o produto, que, no caso, é x;
+ = O sinal de adição (+) é o que
representa o aumento.
x = É o valor da mercadoria ou produto
em reais (R$);
p = é a porcentagem de aumento que
incide sobre o produto, que, no caso, é x;
- = o sinal de subtração (-) é que o
representa o desconto;
é possível obter a Variação percentual.
Quando a variação percentual é positiva,
ela é denominada taxa percentual de
crescimento. Quando a variação percentual
é negativa, ela é denominada taxa
percentual de decrescimento (Desde que V1
> 0 eV0 > 0).
Aumento e descontos sucessivos
O aumento e o desconto percentual são
aplicados sobre o preço de venda de uma
mercadoria. Antes de alterar o valor de um
produto, variáveis como inflação, oferta e
procura, são levados em consideração.
O cálculo para aumento é dado pela
seguinte fórmula:
x + p%. x = x + p . 
/ 100
Onde:
A estruturação da fórmula do desconto é a
seguinte:
x – p% . x = x – p . x
/ 100
Onde:
Exemplo 1
Ana quer comprar uma nova televisão para
assistir às Olimpíadas em alta resolução. Ela
decide comprar uma Smart TV que é full HD.
Antes de ir à loja física, faz uma consulta na
internet para pesquisar o preço do televisor.
Ela descobre que o valor da televisão é de
R$1580,00. Ao ir à loja física, Ana leva um
susto, que, na verdade, é uma boa surpresa.
O televisor que pretende comprar está com
desconto de 30%. Calcule quanto Ana
pagará pela televisão
Esse é um exemplo de desconto percentual.
Sendo assim, devemos utilizar a fórmula:
x - p%. x = x – p . x
/ 100
Dados:
x = R$ 1580,00
p = 30% = 30/100
Resolução:
x - p%. x = x – p . x
/ 100
1580 – 30/100 . 1580 =
 1580 – 47400/100 
= 1580 – 474 = 1106
Com o desconto de 30%, Ana pagará pelo
televisor R$1106,00.
Exemplo 2
Alcir quer tanto comprar um carro que
guarda até as moedas. Na televisão, são
tantos comerciais falando da redução do IPI
(Imposto sobre Produto Industrializado) que
todos os dias ele se anima a comprar o carro.
Durante um ano de economias, Alcir vê-se em
uma situação difícil, já que as
concessionárias não estão mais oferecendo o
desconto do IPI, que era de 18%. Ele havia
juntado R$21.000,00, mas esse dinheiro não
será mais suficiente para comprar o carro à
vista. Calcule o quanto de dinheiro a mais
Alcir precisará para comprar o carro.
Nesse exemplo, utilizaremos a fórmula
referente ao aumento percentual:
x + p%. x = x + p . x
/ 100
Dados do exemplo
x = R$ 21.000,00
p = 18% = 18/100
Resolução do exemplo
x + p%. x = x + p . x
/ 100
21000 = x + 18.x / 100
21000 = 100.x + 18.x
 / 100 / 100 
21000 = 82.x / 100
21000.100 = 82.x
2100000/82 = x 
x = 25609,75
O carro que Alcir quer comprar custa agora
R$ 25.609,75. Para comprá-lo, Alcir terá que
economizar ainda R$4.609,75
R$ 25.609,75 – R$21.000,00 = R$4.609,75
Juros simples e composto
Enquanto nos juros simples a correção apli-
J: juros
C: valor inicial da transação, chamado
em matemática financeira de capital
i: taxa de juros (valor normalmente
expresso em porcentagem)
t: período da transação
cada em todo o período leva em
consideração apenas o valor inicial
envolvido, nos juros compostos a correção
é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são
chamados de juros sobre juros, ou seja, o
valor é corrigido sobre um valor que
também já foi corrigido.
Fórmula de juros simples
Os juros simples são calculados aplicando a
seguinte fórmula:
J=C x i x t
Sendo,
Podemos ainda calcular o valor total que
será resgatado (no caso de uma aplicação)
ou o valor a ser quitado (no caso de um
empréstimo) ao final de um período
predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a
soma do capital com os juros, ou seja:
M= C + J
Podemos substituir o valor de J, na fórmula
acima e encontrar a seguinte expressão
para o montante:
M= C x (C x i x t)
M= C x (1 + i x t)
A fórmula que encontramos é uma função
afim, desta forma, o valor do montante
cresce linearmente em função do tempo.
Exemplo 3
Se o capital de R$ 1 000,00 rende
mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual
de juros no sistema de juros simples?
Pimeiro, vamos identificar cada grandeza
indicada no problema.
Dados:
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
Agora que fizemos a identificação de todas
as grandezas, podemos substituir na fórmu-
la dos juros.
Entretanto, observe que essa taxa é mensal,
pois usamos o período de 1 mês. Para
encontrar a taxa anual precisamos
multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12=
30% ao ano
Fórmula de juros compostos
O montante capitalizado a juros compostos é
encontrado aplicando a seguinte fórmula:
M= C (1 + i) t
Sendo,
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: período de tempo
Diferente dos juros simples, neste tipo de
capitalização, a fórmula para o cálculo do
montante envolve uma variaçãoexponencial.
Daí se explica que o valor final aumente
consideravelmente para períodos maiores.
Exemplo 4
Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00
aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um
ano, no sistema de juros compostos.
Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros
compostos, temos:
M= 2000 (1+0,04)4
M= 2000 x 1,1698
M= 2339,71
 
Portanto, ao final de um ano o montante será
igual a R$ 2 339,71.