5 09 ET Interpolação Polinomial

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CÁLCULO NUMÉRICO 
Robertos Carlos Lourenço dos Santos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
5 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
 
Neste bloco, estudaremos a Interpolação Polinomial, estudando sua definição e 
passando pela Interpolação Linear, Interpolação Quadrática e Outras Formas de 
Polinômio de Interpolação. 
Nesse momento será obrigatório a utilização de ferramentas estudadas anteriormente 
para solucionar sistemas lineares. Caso exista alguma dificuldade em resolver é 
necessário retomar os estudos anteriores para dar continuidade no tema a seguir. 
Bons estudos! 
 
5.1 Interpolação Linear 
Nesse momento temos como objetivo compreender e desenvolver a interpolação 
linear. 
Realizar a interpolação polinomial é uma ferramenta para determinar uma função 
aproximada de outra função desconhecida. 
Sendo assim, tal estudo é fundamental: 
I. Quando não conhecemos a expressão analítica de f(x), isto é, sabemos apenas seu 
valor em alguns pontos distintos: n
xxxx ,...,,, 210 
II. Sendo f(x) uma função extremamente complicada e de difícil manejo. Trocando 
dessa forma a precisão pela simplificação dos cálculos. 
 
3 
 
Definição: Polinômio de interpolação de uma função y = f(x) sobre um conjunto de 
pontos distintos nxxxx ,...,,, 210 ao polinômio de grau máximo n que coincide com 
f(x) em nxxxx ,...,,, 210 . Tal polinômio será designado por: 
)();( xPouxfP nn 
Exemplo: 
Conhecendo a seguinte tabela: 
 
 
Determine o polinômio de interpolação para a função definida por esse conjunto de 
pares. 
 
 
 
4 
 
 
 
Interpolação Linear 
Dados dois pontos distintos de uma função 
),(),(:)( 1100 yxeyxxfy  
geramos uma reta que passa pelos dois pontos, 
),(),( 1100 yxeyx onde P1 é uma 
reta que está se aproximando da função original f(x). 
011 )( axaxP  
Exemplo: 
Seja a função y = f(x) definida pelos pontos (0,00; 1,35) e (1; 2,94). Determine o valor 
aproximado para f(0,73). 
 
 
5 
 
Resolução: 
 
 
 
Erro de Truncamento 
Erro de truncamento (ET) é cometido quando a fórmula de interpolação a ser utilizada 
é escolhida, pois a aproximação de uma função conhecida apenas através de dois 
pontos dados é feita por um polinômio de primeiro grau. 
Fórmula: 
 
 10
10
,
2
)(''
)..()(
xx
f
xxxxxET




 
 
 
 
6 
 
Exemplo: 
Seja a função f(x) = x² - 3x + 1, usando os valores de para x (x1 = 1,0 e x2 = 1,5) e os 
valores correspondentes f(x1) e f(x2), calcule: 
a) o valor aproximado para f(1,2); 
b) o erro de truncamento cometido no cálculo do item anterior. 
 
Resolução: 
a) O valor aproximado para f(1,2); 
i. f(1,0) = - 1 e f(1,5) = -1,25 
 
b) o erro de truncamento cometido no cálculo do item anterior. 
 
 
 
7 
 
5.2 Interpolação Quadrática 
Vamos conhecer a Interpolação Quadrática, sendo uma maneira de encontrar uma 
função aproximada quando conhecemos apenas três pontos distintos de uma 
determinada função. 
Sendo assim, se de uma função, são conhecidos três pontos distintos, então o 
polinômio interpolador será: 
01
2
22 )( axaxaxP  
O polinômio )(2 xP é conhecido como função quadrática, cuja imagem geométrica é 
uma parábola. 
Resolvendo o sistema gerado pela substituição das coordenadas dos pontos distintos 
 );(),;(),;( 221100 yxyxyx na função, encontramos os valores de 
.,
210
aeaa 
 








2021
2
22
1011
2
12
0001
2
02
yaxaxa
yaxaxa
yaxaxa
 
 
Exemplo 1: 
 
Utilizando os três pontos da tabela abaixo, determine a função quadrática que se 
aproxima da função 
1
².2
)(


x
xsen
xf . 
 
 
 
8 
 
x y = f(x) 
0 0 
π/6 0,328 
π/4 0,560 
 
Resolução: 
Substituindo as coordenadas dos três pontos no polinômio 01
2
22 )( axaxaxP  
formamos o sistema a seguir: 
 
 














































































333,0
452,0
0
560,0
6
.
4
.
328,0
6
.
6
.
0
560,0
6
.
4
.
328,0
6
.
6
.
00.0.
2
1
0
1
2
2
1
2
2
0
01
2
2
01
2
2
01
2
2
a
a
a
aa
aa
a
aaa
aaa
aaa




 
 
Após encontrar os valores de 
210
, aeaa , determinamos o polinômio 
xxxP .452,0.333,0)( 22  
 
Exemplo 2: 
Determinar o valor aproximado de f (0, 2) trabalhando com a interpolação quadrática, 
usando os valores tabelados da função f(x) = x² - 2x + 1. Usando apenas 2 casas 
decimais. 
 
9 
 
 
x y = f(x) 
0,5 0,25 
0,3 0,49 
0,1 0,81 
Resolução: 
Para o polinômio interpolador 01
2
22 )( axaxaxP  , substituímos os pontos dados e 
geramos o sistema: 


























00,1
00,2
00,1
81,01,0..01,0
49,03,0.09,0
25,05,0.25,0
81,01,0.1,0.
49,03,0.3,0.
25,05,0.5,0.
2
1
0
012
012
012
01
2
2
01
2
2
01
2
2
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
 
 
Logo, 64,0)2,0(12)( 2
2
2  PxxxP 
Portanto, o valor aproximado para f (0,2) definido pela interpolação quadrática é 0,64. 
 
5.3 Outras Formas de Polinômio de Interpolação 
Nesse momento será possível conhecer Outras Formas do Polinômio de Interpolação, 
estudando a Diferença Dividida, o Cálculo Sistemático das Diferenças Divididas e a 
Fórmula de Newton do Polinômio de Interpolação. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. p. 304 – 312. 
Ótima leitura. 
 
 
 
10 
 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos a Interpolação Polinomial, sua definição, Interpolação Linear, 
Interpolação Quadrática e Outras Formas de Polinômio de Interpolação. 
 
Referências 
BARROSO, L. C.; BARROSO, M.M. A.; FREDERICO, F.C.F.; CARVALHO, M. L. B.; MAIA, M. 
L. Cálculo Numérico. São Paulo: Harbra, 1987. 
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009. 
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; TEIXEIRA, J. C.; MACHADO, N. J.; GOULART, M. C.; CASTRO, L. R. S.; 
MACHADO, A. S. Matemática. São Paulo: Atual, 1995. 
LAY, D. C; LAY, S. R; MCDONALD, J. J. Álgebra Linear e suas aplicações. Rio de Janeiro: 
LTC, 2018. 
LIPSCHUTZ, S. Álgebra Linear. São Paulo: Makron Books, 1994.