Atividade 4 A4 - Cálculo aplicado várias varáveis

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CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS 
Atividade 4 A4 
• Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial 
de primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma . O 
nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma 
função de e uma função de . A solução de tal equação é obtida 
ao integrarmos ambos os lados da igualdade. 
 
Dado que é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que 
corresponde à solução da equação diferencial separável . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação 
diferencial dada é uma equação separável. Separando as 
variáveis e , podemos reescrever a equação 
como . Integrando ambos os lados da igualdade, 
temos , onde . 
 
 
• Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade 
inicial se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. 
Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor 
elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação 
diferencial: , onde representa a quantidade de átomos presente 
na substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa 
teve sua quantidade inicial reduzida em 0,043% após 15 anos. 
 
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é . 
II. A função que representa o problema descrito é . 
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos. 
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
Resposta Selecionada: 
I e II, apenas. 
Resposta Correta: 
I e II, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo 
a equação diferencial separável , temos que as 
afirmativas I e II estão corretas, pois 
, onde . 
Para , concluímos que e, 
para concluímos . Portanto, a função que 
representa o problema descrito é . 
 
 
• Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, 
podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não 
são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. 
Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um 
dado ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é 
chamada de Problema de Valor Inicial (PVI) . 
 
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais 
ordinárias , 2003. Disponível 
em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso 
em: 20 dez. 2019. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , . 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação 
dada é separável, assim, podemos resolvê-la separando 
as variáveis e , integrando ambos os lados da 
igualdade em seguida: . 
Da condição inicial dada, temos que se então . 
Trocando esses valores na solução, obtemos: . 
Portanto, a solução do PVI é . 
 
 
• Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na 
forma , onde e são funções contínuas em um dado 
intervalo. A solução geral para equações diferenciais lineares de primeira 
ordem é dada pela expressão . 
 
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na 
sequência, assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s): 
 
 
I. A solução geral da equação é . 
II. A solução geral da equação é . 
III. A solução geral da equação é . 
IV. A solução geral da equação é . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
I, II e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I, II e IV, apenas. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando 
o método de solução para uma equação diferencial 
linear, temos: 
Afirmativa I: correta. Temos que e , assim, 
. 
 
Afirmativa II: correta. Dividindo toda a equação 
por , temos que e , assim, . 
 
Afirmativa IV: correta. Temos que e , 
assim, , onde . 
 
 
• Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao 
trocarmos a função e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma 
igualdade verdadeira. Uma equação diferencial possui uma infinidade de 
funções como solução, caso nenhuma condição seja especificada. Por outro 
lado, dada uma condição, obtém-se uma solução particular para a equação 
diferencial. 
 
Considere a equação diferencial . Analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s). 
 
I. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. 
II. ( ) Para temos que é solução da equação diferencial dada. 
III. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. 
IV. ( ) Para , temos que é solução da equação diferencial dada. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
V, V, V, F. 
Resposta Correta: 
V, V, V, F. 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. 
Resolvendo a equação diferencial, temos que sua 
solução geral é: . Assim: 
Afirmativa I: Verdadeira. Para , temos que . 
Portanto, é solução da equação diferencial dada. 
Afirmativa II: Verdadeira. Para , temos que . 
Portanto, é solução da equação diferencial dada. 
Afirmativa III: Verdadeira. Para temos que . 
Portanto, é solução da equação diferencial dada. 
 
 
• Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma 
grandeza podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte 
problema de valor inicial: 
 , 
onde é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou 
negativa. Considere a seguinte situação: 
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento 
é proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que 
corresponde à expressão da função crescimento dessa população. 
 
 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema 
pode ser descrito pela seguinte equação diferencial , 
onde é a função quantidade de bactérias que 
depende do tempo . Além disso, temos os seguintes 
dados: para temos . Resolvendo a equação 
diferencial, temos 
, onde e são constantes e . 
Como temos . Portanto, a função que descreve 
o crescimento dessa população de bactérias é . 
 
• Pergunta 7 
0 em 1 pontos 
 
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações 
diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) 
para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para 
Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo 
publicado em 1694”. 
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável 
é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a 
alternativa que corresponde à solução da equação diferencial . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
Comentário 
da resposta: 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. 
Primeiramente, vamos separar as variáveis e na 
equação diferencial para poder exibi-la na forma 
separável. Em seguida, vamos integrar ambos os 
 
membros da igualdade para obter sua solução. Então, 
. 
 
• Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada 
função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. 
Para verificar se uma função é soluçãode uma equação diferencial, 
devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e 
verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é 
solução, se não for verdadeira, não é solução. 
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a 
seguir: 
 
I. A função é solução da equação diferencial . 
II. A função é solução da equação diferencial . 
III. A função é solução da equação diferencial . 
IV. A função é solução da equação diferencial . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
II e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
II e IV, apenas. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo 
com a definição de solução de uma equação diferencial, 
temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois: 
Afirmativa II: Correta. Dada a função , temos . 
Repare que Trocando na equação diferencial, 
temos: 
 
Afirmativa IV: correta. Dada a função , 
temos e . Trocando , e na 
 
equação diferencial, temos: 
. 
 
• Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns 
critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de 
acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos 
que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na 
equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de 
maior ordem que aparece na equação. 
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa 
correta: 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 
1. 
Resposta Correta: 
A equação diferencial é de ordem 1 e grau 
1. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo 
com as definições de classificação por ordem e grau, 
temos que a ordem da equação é definida pela “maior 
derivada” da equação, no caso, a maior derivada é a de 
ordem 1, . Já a classificação pelo grau é dada pelo 
expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1, 
pois . 
 
 
• Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma , 
onde e são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). 
Se , a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se a 
equação é dita linear não homogênea. 
 
STEWART, J. Cálculo . 
 
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v. 
 
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta: 
 
 
Resposta Selecionada: 
A equação diferencial tem solução . 
Resposta Correta: 
A equação diferencial tem solução . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a 
equação diferencial , escrevemos sua equação 
auxiliar . Resolvendo essa equação de segundo grau, 
obtemos os seguintes valores para . Como as raízes 
são distintas, podemos escrever a solução geral da 
equação diferencial dada como .