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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS www.enem.sistemafb.com.br 16 Professor: Alexandre Moura Para Fixar Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. Habilidade 27 – Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos. Compreendendo a Habilidade A habilidade 27 tem como foco principal saber calcular medidas estatísticas, como médias aritméticas, modas e medianas, e medidas de dispersão, como desvio-padrão e variância, a partir de um conjunto de valores apresentados. Medidas de tendência central – mediana. Objeto de Conhecimento: Nesse último fascículo de Matemática e suas Tecnologias, vamos interpretar gráficos e tabelas para fazer inferências e compreender o caráter aleatório dos fenômenos naturais e sociais. Chegamos ao final do Projeto Enem 2020, com o fascículo número 16, certos da enorme contribuição que proporcionamos ao seu aprendizado, o que será traduzido na sua aprovação no curso desejado. Sucesso e até breve! Bom estudo para você! CARO ALUNO, 01. (Enem) O gerente de uma concessionária apresentou a seguinte tabela em uma reunião de dirigentes. Sabe-se que ao final da reunião, a fim de elaborar metas e planos para o próximo ano, o administrador avaliará as vendas, com base na mediana do número de automóveis vendidos no período de janeiro a dezembro. Mês Número de automóveis vendidos Janeiro 25 Fevereiro 20 Março 30 Abril 35 Maio 40 Junho 50 Julho 45 Agosto 35 Setembro 60 Outubro 55 Novembro 70 Dezembro 65 Qual foi a mediana dos dados apresentados? A) 40,0 B) 42,5 C) 45,0 D) 47,5 E) 50,0 Matemática e suas Tecnologias2 Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. Habilidade 28 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade. Compreendendo a Habilidade A habilidade 28 tem como foco principal saber utilizar conceitos estatísticos e cálculos probabilísticos na resolução de problemas do cotidiano. Probabilidade (definição). Objeto de Conhecimento: 02. (Enem) O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a essas, entre outros benefícios, a restituição de imposto de renda antes dos demais contribuintes. A tabela informa os nomes e as idades de 12 idosos que aguardam suas restituições de imposto de renda. Considere que, entre os idosos, a restituição seja concedida em ordem decrescente de idade e que, em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem seja decidida por sorteio. Nome Idade (em ano) Orlando 89 Gustavo 86 Luana 86 Teresa 85 Márcia 84 Roberto 82 Heloisa 75 Marisa 75 Pedro 75 João 75 Antônio 72 Fernanda 70 Nessas condições, a probabilidade de João ser a sétima pessoa do grupo a receber sua restituição é igual a A) 1 12 B) 7 12 C) 1 8 D) 5 6 E) 1 4 Professor: Lucas Carvalho Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. Habilidade 29 – Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação. Compreendendo a Habilidade A habilidade 29 tem como foco principal saber interpretar os valores obtidos em cálculos probabilísticos e estatísticos para a elaboração de argumentos que sirvam para justificar uma ação, opinião ou julgamento. Probabilidade (definição). Objeto de Conhecimento: 03. (Enem) Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida). O jogador acerta o taco na bola branca de forma que essa acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada. Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é A) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor. B) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. C) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. D) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo. E) Caio, pois a soma que escolheu é a maior. Matemática e suas Tecnologias 3 Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. Habilidade 30 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade . Compreendendo a Habilidade A habilidade 30 tem como foco utilizar o conhecimento adquirido em estatística e probabilidade para resolver situações propostas que possam agir na realidade analisada. Probabilidade. Objeto de Conhecimento: 04. (Enem) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico: PERFIL DA ILHA DE CALOR URBANA Rural ºF 92 91 90 89 88 87 86 85 Comercial Residencial Urbano Residencial Subrbano 30 31 32 33 ºC CENTRO Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é A) 1 5 B) 1 4 C) 2 5 D) 3 5 E) 3 4 Professor: Jorge Júnior Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação. Habilidade 25 – Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. Análise de gráficos. Objeto de Conhecimento: 05. (Enem) A fim de acompanhar o crescimento de crianças, foram criadas pela Organização Mundial da Saúde (OMS) tabelas de altura, também adotadas pelo Ministério da Saúde do Brasil. Além de informar os dados referentes ao índice de crescimento, a tabela traz gráficos com curvas, apresentando padrões de crescimento estipulados pela OMS. O gráfico apresenta o crescimento de meninas, cuja análise se dá pelo ponto de intersecção entre o comprimento, em centímetro, e a idade, em mês completo e ano, da criança. 120 115 110 105 100 95 90 85 80 120 115 110 105 100 95 90 85 80 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 Idade (mês completo e ano) 3 anos 5 anos4 anos Meses C om pr im en to /e st at ur a (c m ) p97 p85 p50 p15 p3 Uma menina aos 3 anos de idade tinha altura de 85 centímetros e aos 4 anos e 4 meses sua altura chegou a um valor que corresponde a um ponto exatamentesobre a curva p50. Qual foi o aumento percentual da altura dessa menina, descrito com uma casa decimal, no período considerado? A) 23,5% B) 21,2% C) 19,0% D) 11,8% E) 10,0% Matemática e suas Tecnologias4 Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação. Habilidade 26 – Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos. Análise de gráficos. Objeto de Conhecimento: 06. (Enem) Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. Tempo (s) A B A ltu ra (m ) 20 16 12 8 4 0 -4 -8 -12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá: A) diminuir em 2 unidades. B) diminuir em 4 unidades. C) aumentar em 2 unidades. D) aumentar em 4 unidades. E) aumentar em 8 unidades. Exercícios Propostos Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. Habilidade 27 – Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes) ou em gráficos. Medidas de tendência central – Média Aritmética. Objeto de Conhecimento: 01. (Enem) Os pesquisadores de uma empresa especializada em grãos selecionaram cinco diferentes tipos de semente de feijão e concluíram que, quando armazenadas por até seis meses, o poder germinativo de cada um desses tipos expressa, em porcentagem, quantas sementes são capazes de germinar, transcorrido o tempo de armazenamento correspondente. Considere que o tempo zero corresponde ao plantio direto da semente sem armazenamento, conforme descrito no quadro. Semente de feijão Tempo de armazenamento (em mês) 0 3 6 Poder germinativo (em porcentagem) Tipo 1 84 84 79 Tipo 2 85 82 79 Tipo 3 86 80 77 Tipo 4 82 82 80 Tipo 5 85 85 76 Um agricultor irá plantar três áreas distintas utilizando sementes de um mesmo tipo. A primeira área será plantada quando da aquisição das sementes; a segunda, três meses após a primeira; e a terceira, três meses após a segunda, respeitando assim o tempo de armazenamento utilizado pelos pesquisadores. Esse agricultor irá optar pela compra do tipo de semente que apresentar a maior média dos três percentuais de poder germinativo. Disponível em: http://sistemasdeproducao.cnptia.embrapa.br. Acesso em: 22 out. 2015. Adaptado. Segundo essas informações, qual será o tipo de semente a ser adquirida por ele? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Matemática e suas Tecnologias 5 Medidas de tendência central - Mediana. Objeto de Conhecimento: 02. As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora. Notas (em pontos) 20 18 18 16 17 13 14 1 14 12 Conhecimentos específicos Conhecimentos pedagógicos 19 16 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Avaliador A Avaliador B Avaliador C Avaliador D Avaliador E Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é A) 0,25 ponto maior. B) 1,00 ponto maior, C) 1,00 ponto menor. D) 1,25 ponto maior. E) 2,00 pontos menor. Medidas de tendência central – Mediana. Objeto de Conhecimento: 03. O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010. 181.419 JAN 2010 400.000 BRASIL – Comportamento do Emprego Formal no período de janeiro a outubro de 2010 – CAGED 300.000 200.000 100.000 0 FEV 2010 MAR 2010 ABR 2010 MAIO 2010 JUN 2010 JUL 2010 AGO 2010 SET 2010 OUT 2010 266.415 305.068 298.041 212.952 181.796 299.415 246.875 204.804 209.425 Disponível em: www.mte.gov.br. Acesso em: 28 fev. 2012. Adaptado. Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é A) 212 952. B) 229 913. C) 240 621. D) 255 496. E) 298 041 Medidas de tendência central – Mediana. Objeto de Conhecimento: 04. Em uma seletiva para a final dos 100 metros livres de natação, numa olimpíada, os atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os seguintes tempos: Raia Tempo (segundo) 1 20,90 2 20,90 3 20,50 4 20,80 5 20,60 6 20,60 7 20,90 8 20,96 A mediana dos tempos apresentados no quadro é A) 20,70 B) 20,77 C) 20,80 D) 20,85 E) 20,90 Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. Habilidade 28 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade. Probabilidade condicional. Objeto de Conhecimento: 05. (Enem) Para um docente estrangeiro trabalhar no Brasil, ele necessita validar o seu diploma junto ao Ministério da Educação. Num determinado ano, somente para estrangeiros que trabalharão em universidades dos estados de São Paulo e Rio de Janeiro, foram validados os diplomas de 402 docentes estrangeiros. Na tabela, está representada a distribuição desses docentes estrangeiros, por países de origem, para cada um dos dois estados. Argentina Espanha Cuba Portugal Venezuela Total de docentes São Paulo 112 60 28 9 30 239 Rio de Janeiro 29 40 46 36 12 163 Total 141 100 74 45 42 402 Matemática e suas Tecnologias6 A probabilidade de se escolher, aleatoriamente, um docente espanhol, sabendo-se que ele trabalha em uma universidade do estado de São Paulo, é A) 60 402 B) 60 239 C) 60 100 D) 100 239 E) 279 402 Probabilidade (distribuição binomial) Objeto de Conhecimento: 06. O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20. A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é A) 0,02048 B) 0,08192 C) 0,24000 D) 0,40960 E) 0,49152 Probabilidade (definição). Objeto de Conhecimento: 07. Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação contra a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de São Paulo, a imunização “deve mudar”, no país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta dados específicos de um único posto de vacinação. CAMPANHA DE VACINAÇÃO CONTRA GRIPE SUÍNA Datas da vacinaçãoPúblico-alvo Quantidade de pessoas vacinadas 8 a 19 de março Trabalhadores da saúde e indígenas 42 22 de março a 2 de abril Portadores de doenças crônicas 22 5 a 23 de abril Adultos saudáveis entre 20 e 29 anos 56 24 de abril a 7 de maio População com mais de 60 anos 30 10 a 21 de maio Adultos saudáveis entre 30 e 39 anos 50 Disponível em: http://img.terra.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010. Adaptado. Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é A) 8% B) 9% C) 11% D) 12% E) 22% Probabilidade (eventos independentes). Objeto de Conhecimento: 08. (Enem) Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada uma. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna. Cor Urna 1 Urna 2 Amarela 4 0 Azul 3 1 Branca 2 2 Verde 1 3 Vermelha 0 4 Uma jogada consiste em: 1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; 2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? A) Azul. B) Amarela. C) Branca. D) Verde. E) Vermelha. Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. Habilidade 29 – Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação. Probabilidade (eventos independentes). Objeto de Conhecimento: Matemática e suas Tecnologias 7 09. (Enem) Um rapaz estuda em uma escola que fica longe de sua casa, e por isso precisa utilizar o transporte público. Como é muito observador, todos os dias ele anota a hora exata (sem considerar os segundos) em que o ônibus passa pelo ponto de espera. Também notou que nunca consegue chegar ao ponto de ônibus antes de 6h15min da manhã. Analisando os dados coletados durante o mês de fevereiro, o qual teve 21 dias letivos, ele concluiu que 6h21min foi o que mais se repetiu, e que a mediana do conjunto de dados é 6h22min. A probabilidade de que, em algum dos dias letivos de fevereiro, esse rapaz tenha apanhado o ônibus antes de 6h21min da manhã é, no máximo, A) 4 21 B) 5 21 C) 6 21 D) 7 21 E) 8 21 Probabilidade (definição). Objeto de Conhecimento: 10. (Enem) Para ganhar um prêmio, uma pessoa deverá retirar, sucessivamente e sem reposição, duas bolas pretas de uma mesma urna. Inicialmente, as quantidades e cores das bolas são como descritas a seguir: – Urna A – Possui três bolas brancas, duas bolas pretas e uma bola verde; – Urna B – Possui seis bolas brancas, três bolas pretas e uma bola verde; – Urna C – Possui duas bolas pretas e duas bolas verdes; – Urna D – Possui três bolas brancas e três bolas pretas. A pessoa deve escolher uma entre as cinco opções apresentadas: – Opção 1 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; – Opção 2 – Retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna B; – Opção 3 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna A; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna A; – Opção 4 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna D para a urna C; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna C; – Opção 5 – Passar, aleatoriamente, uma bola da urna C para a urna D; após isso, retirar, aleatoriamente, duas bolas da urna D. Com o objetivo de obter a maior probabilidade possível de ganhar o prêmio, a pessoa deve escolher a opção A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Probabilidade. Objeto de Conhecimento: 11. Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II para a produção de certo tipo de parafuso. Em setembro, a máquina I produziu 54 100 do total de parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos produzidos por essa máquina, 25 1 000 eram defeituosos. Por sua vez, 38 1 000 dos parafusos produzidos no mesmo mês pela máquina II eram defeituosos. O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso. 0 2 100 ≤ <P Excelente 2 100 4 100 ≤ <P Bom 4 100 6 100 ≤ <P Regular 6 100 8 100 ≤ <P Ruim 8 100 1≤ ≤P Péssimo O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como A) excelente. B) bom. C) regular. D) ruim. E) péssimo. Competência 7 – Compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística. Habilidade 30 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade . Inequações e probabilidade. Objeto de Conhecimento: Matemática e suas Tecnologias8 12. (Enem) Um designer de jogos planeja um jogo que faz uso de um tabuleiro de dimensão n × n, com n ≥ 2, no qual cada jogador, na sua vez, coloca uma peça sobre uma das casas vazias do tabuleiro. Quando uma peça é posicionada, a região formada pelas casas que estão na mesma linha ou coluna dessa peça é chamada de zona de combate dessa peça. Na figura está ilustrada a zona de combate de uma peça colocada em uma das casas de um tabuleiro de dimensão 8 × 8. O tabuleiro deve ser dimensionado de forma que a probabilidade de se posicionar a segunda peça aleatoriamente, seguindo a regra do jogo, e esta ficar sobre a zona de combate da primeira, seja inferior a 1 5 . A dimensão mínima que o designer deve adotar para esse tabuleiro é A) 4 × 4. B) 6 × 6. C) 9 × 9. D) 10 × 10. E) 11 × 11. Probabilidade e porcentagem. Objeto de Conhecimento: 13. O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98% foi criada com objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta: Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo. Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo. Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo. Proposta IV: vacinação de 49% do publico-alvo. Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo. Para diminuir os custos, a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas. Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014. Adaptado. A proposta implementada foi a de número A) I B) II C) III D) IV E) V Probabilidade (definição). Objeto de Conhecimento: 14. Considere o seguinte jogo de apostas: Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos. Quantidade de números escolhidos em uma cartela Preço da cartela (R$) 6 2,00 7 12,00 8 40,00 9 125,00 10 250,00 Cinco apostadores,cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos; Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos; Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são A) Caio e Eduardo. B) Arthur e Eduardo. C) Bruno e Caio. D) Arthur e Bruno. E) Douglas e Eduardo. Matemática e suas Tecnologias 9 Competência 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação. Habilidade 25 – Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos. Análise de Tabelas (inferência). Objeto de Conhecimento: 15. (Enem) O Ministério da Saúde e as unidades federadas promovem frequentemente campanhas nacionais e locais de incentivo à doação voluntária de sangue, em regiões com menor número de doadores por habitante, com o intuito de manter a regularidade de estoques nos serviços hemoterápicos. Em 2010, foram recolhidos dados sobre o número de doadores e o número de habitantes de cada região conforme o quadro seguinte. TAXA DE DOAÇÃO DE SANGUE, POR REGIÃO, EM 2010 Região Doadores Número de habitantes Doadores/ habitantes Nordeste 820 959 53 081 950 1,5% Norte 232 079 15 864 454 1,5% Sudeste 1 521 766 80 364 410 1,9% Centro-Oeste 362 334 14 058 094 2,6% Sul 690 391 27 386 891 2,5% Total 3 627 529 190 755 799 1,9% Os resultados obtidos permitiram que estados, municípios e o governo federal estabelecessem as regiões prioritárias do País para a intensificação das campanhas de doação de sangue. A campanha deveria ser intensificada nas regiões em que o percentual de doadores por habitantes fosse menor ou igual ao do País. Disponível em: http://bvsms.saude.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2013. Adaptado. As regiões brasileiras onde foram intensificadas as campanhas na época são A) Norte, Centro-Oeste e Sul. B) Norte, Nordeste e Sudeste. C) Nordeste, Norte e Sul. D) Nordeste, Sudeste e Sul. E) Centro-Oeste, Sul e Sudeste. Análise de Gráficos. Objeto de Conhecimento: 16. (Enem-PPL) De acordo com a Organização Mundial da Saúde (OMS), o limite de ruído suportável para o ouvido humano é de 65 decibéis. Ruídos com intensidade superior a este valor começam a incomodar e causar danos ao ouvido. Em razão disto, toda vez que os ruídos oriundos do processo de fabricação de peças em uma fábrica ultrapassam este valor, é disparado um alarme sonoro. Indicando que os funcionários devem colocar proteção nos ouvidos. O gráfico fornece a intensidade sonora registrada no último turno de trabalho dessa fábrica. Nele, a variável t indica o tempo (medido em hora), e i indica a intensidade sonora (medida em decibel). 95 65 I (decibel) t (hora)t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 Disponível em: www.crmariocovas.sp.gov.br. Acesso em: 24 abr. 2015. Adaptado. De acordo com o gráfico, quantas vezes foi necessário colocar a proteção de ouvidos no último turno de trabalho? A) 7 B) 6 C) 4 D) 3 E) 2 Razões e Proporções. Objeto de Conhecimento: 17. (Enem-PPL) Um gerente decidiu fazer um estudo financeiro da empresa onde trabalha analisando as receitas anuais dos três últimos anos. Tais receitas são apresentadas no quadro. Ano Receita (bilhão de reais) I 2,2 II 4,2 III 7,4 Estes dados serão utilizados para projetar a receita mínima esperada para o ano atual (ano IV), pois a receita esperada para o ano IV é obtida em função das variações das receitas anuais anteriores, utilizando a seguinte regra: a variação do ano IV para o ano III será igual à variação do ano III para o II adicionada à média aritmética entre essa variação e a variação do ano II para o I. Matemática e suas Tecnologias10 O valor da receita mínima esperada, em bilhão de reais, será de A) 10,0 B) 12,0 C) 13,2 D) 16,8 E) 20,6 Análise de Gráficos. Objeto de Conhecimento: 18. (Enem) O gráfico apresenta as taxas de desemprego durante o ano de 2011 e o primeiro semestre de 2012 na região metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a soma das taxas de desemprego aberto e oculto. 7,6 2,0 8,4 2,0 9,1 2,0 9,1 2,1 8,8 2,1 9,0 2,2 10,5 10,6 11,3 11,2 10,7 11,0 11,1 11,2 9,9 10,6 9,5 9,0 Jan. Fev. Mar. Abr. Maio Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov. Dez. Em % Aberto/2012 Oculto/2012 Total/2011 Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da mesma taxa em junho de 2012 e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual a essa taxa em dezembro de 2011. Disponível em: www.dieese.org.br. Acesso em: 1o ago. 2012. Adaptado. Nesse caso, a taxa de desemprego aberto de dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuais, de A) 1,1 B) 3,5 C) 4,5 D) 6,8 E) 7,9 Análise de Gráficos. Objeto de Conhecimento: 19. Uma pesquisa de mercado foi realizada entre os consumidores das classes sociais A, B, C e D que costumam participar de promoções tipo sorteio ou concurso. Os dados comparativos, expressos no gráfico, revelam a participação desses consumidores em cinco categor ias: v ia Corre ios ( juntando embalagens ou recortando códigos de barra), via internet (cadastrando-se no site da empresa/marca promotora), via mídias sociais (redes sociais), via SMS (mensagem por celular) ou via rádio/TV. PARTICIPAÇÃO EM PROMOÇÕES DO TIPO ORTEIO OU CONCURSO EM UMA REGIÃO A/B C/D 34 Percentual 40 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 35 28 33 24 20 30 28 Correios Internet Mídias Sociais SMS Rádio/TV 3737 Uma empresa vai lançar uma promoção utilizando apenas uma categoria nas classes A e B (A/B) e uma categoria nas classes C e D (C/D). De acordo com o resultado da pesquisa, para atingir o maior número de consumidores das classes A/B e C/D, a empresa deve realizar a promoção, respectivamente, via A) Correios e SMS. B) Internet e Correios. C) Internet e Internet. D) Internet e Mídias Sociais. E) Rádio/TV e Rádio/TV. Razão entre Grandezas. Objeto de Conhecimento: 20. O índice de eficiência utilizado por um produtor de leite para qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela produção média diária de leite (em kg), dividido pelo intervalo entre partos (em meses). Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente quando esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo (alimentação, vacinação e outros). Na comparação de duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem maior índice. A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas: DADOS RELATIVOS À PRODUÇÃO DAS VACAS Vaca Tempo de lactação (em dias) Produção média diária de leite (em kg) Intervalo entre partos (em meses) Malhada 360 12,0 115 Mamona 310 11,0 112 Maravilha 260 14,0 112 Mateira 310 13,0 113 Mimosa 270 12,0 111 Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a A) Malhada. B) Mamona. C) Maravilha. D) Mateira. E) Mimosa. Matemática e suas Tecnologias 11 Diretor de Ensino: Marcelo Pena Supervisão Pedagógica: Dawison Sampaio Professores: Alexandre Moura, Lucas Carvalho e Jorge Júnior Supervisão Gráfica: Felipe Marques e Sebastião Pereira Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica:: Claudia Revisão: Sarah 040.152 - 157679/21 Expediente GABARITOS PARA FIXAR 01 02 03 04 05 06 B E C E A C EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01 02 03 04 05 A B B D B 06 07 08 09 10 B C E D E 11 12 13 14 15 B D A A B 16 17 18 19 20 D C E B D ANOTAÇÕES MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 16 COMENTÁRIOS – PARA FIXAR www.enem.sistemafb.com.br 01. Colocando os dados em rol, temos: {20, 25, 30, 35, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70} Por definição: Mediana = 40 45 2 42 5+ = , . Resposta correta: B 02. Como Orlando, Gustavo, Luana, Teresa, Márcia e Roberto são mais velhos queJoão, aqueles 6 receberão a restituição antes dele. Além disso, como desejamos que João seja o sétimo, ele deverá ser o primeiro dentre os 4 idosos de 75 anos a receber. Portanto, a probabilidade é 1 (João) dentre 4 possíveis (Heloisa, Marisa, Pedro, João) para ser o primeiro a receber, ou seja, 1/4. Resposta correta: E 03. Possíveis resultados para: Arthur: {(1,11); (2,10); (3,9); (4,8); (5,7)} – (5 possibilidades) Bernardo: {(2,15); (3,14); (4,13); (5,12); (6,11); (7,10);(8,9)} – (7 possibilidades) Caio: {(7,15); (8,14); (9,13); (10,12)} – (4 possibilidades) Portanto, Bernardo apresenta mais chances de vencer. Resposta correta: C 04. O espaço amostral da escolha de Rafael terá 4 elementos e sua escolha, de acordo com as condições do problema, poderá ser Rural, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. Logo, a probabilidade será: P = 3 4 Resposta correta: E 05. A altura inicial da menina (aos 3 anos) é de 85 cm, e a sua altura aos 4 anos e 4 meses (sobre a curva p50) é de 105 cm. Daí, temos: Percentual de aumento = 105 85 85 20 85 0 235 23 5− = ≅ =, , % Resposta correta: A 06. 16 12 0 4 Depois Antes 6 De acordo com o enunciado, montou-se a figura acima, representando a trajetória antes e depois do projétil B. Coeficiente angular = ∆ ∆ y x Antes Depois ⇒ = = = = 12 6 2 16 4 4 Logo, o coeficiente angular da reta B deverá aumentar em unidades. Resposta correta: C Dig.: Claudia/Rev.: Sarah MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 16 COMENTÁRIOS – PROPOSTOS www.enem.sistemafb.com.br 01. Tipo 1: Tipo 2: Tipo 3: X X X = + + ≅ = + + ≅ = + 84 84 79 3 82 3 85 82 79 3 82 86 80 , ++ ≅ = + + ≅ = + + ≅ 77 3 81 82 82 80 3 813 85 85 76 3 82 Tipo 4: Tipo 5: X X , Portanto, a escolha será o tipo 1. Resposta correta: A 02. I. Média Antiga: X X X= + + + + + + + + + ⇒ = ⇒ =18 16 17 13 14 1 19 14 16 12 10 140 10 14 II. Média Nova: X X X= + + + + + + + ⇒ = ⇒ =18 16 17 13 14 14 16 12 8 120 8 15 Resposta correta: B 03. Escrevendo o “rol” com os dados obtidos, temos: 181419, 181796, 204804, 209425, 212952, 246875, 266415, 298041, 299415, 305068 Observamos que existem dois valores centrais, a saber, 212952 e 246875. Assim, calculando-se a mediana, temos: 212952 +246875 2 229913 5= PARTE INTEIRA ��� �� , Resposta correta: B 04. Rol: 20,5 – 20,6 – 20,6 – 20,8 – 20,9 – 20,9 – 20,9 – 20,96 Assim, Mediana M M o o d d = + = + = ( elemento) ( elemento) , , , 4 5 2 20 8 20 9 2 20 85 Resposta correta: D Linguagens, Códigos e suas Tecnologias2 040.152 - 157679/21 05. Por definição, a probabilidade P é calculada por: P P = ⇒ = Casos favoráveis Espaço amostral Docentes espanhóis em SSP Docentes em SP ⇒ =P 60 239 Resposta correta: B 06. Veja que: I. Para que o teste se encerre na 5ª pergunta é necessário que o candidato erre a resposta desta pergunta; II. Também é necessário que o candidato tenha errado anteriormente, ou seja, errado na 1ª, 2ª, 3ª ou 4ª pergunta; III. Se a probabilidade de errar é 0,2, então a probabilidade de acertar é 0,8. Solução: Sendo A utilizado para acerto e E para erro, temos os possíveis casos: (A, A, A, E, E), (A, A, E, A, E), (A, E, A, A, E), (E, A, A, A, E) Totalizando 4 casos. Portanto, teremos: P A E P P P = = → = = 4 4 8 10 2 10 4 512 1000 4 100 8192 1 3 2 3 2 · · · · · · 00000 0 08192⇒ =P , N: de casos Acertou 3 perguntas Errou 2 perguntas Resposta correta: B 07. Temos um universo de 200 pessoas vacinadas, logo, a probabilidade de esta pessoa ser portadora de doença crônica é P = = =22 200 11 100 11%. Resposta correta: C 08. As cores que podem ficar com o maior número de bolas, após o procedimento de retirada e depósito, são a verde (3 ou 4) e a vermelha (4). Portanto, como a probabilidade de retirar uma bola verde da urna 2 é 9 10 3 11 1 10 4 11 31 110 ⋅ + ⋅ = , e a probabilidade de retirar uma bola vermelha da urna 2 é 10 10 4 11 40 110 ⋅ = , segue que o jogador deve escolher a cor vermelha. Resposta correta: E 040.152 - 157679/21 Linguagens, e Códigos e suas Tecnologias 3 09. Como o rapaz nunca chega antes das 6h15min, a moda é 6h21min e a mediana 6h22min, temos: a temos temos 1 10 11 21 10 , ..., a ,..., a� ��� Mediana (6h22min) Como queremos a máxima probabilidade do rapaz ter apanhado o ônibus antes de 6h21m. Observe que, de 6h15m às 6h21m temos 7 horários favoráveis para o rapaz dentre 10 menores que a mediana. Sendo a moda 6h21min, a moda terá frequência igual a 3, pois caso sua frequência igual a 3, pois caso sua frequência seja 2, teremos um outro termo também como frequência 2. Logo, a probabilidade será: Prob = 7 21 Resposta correta: D 10. Preliminarmente, tem-se que a probabilidade de se extrair uma bola qualquer das urnas C ou D é igual a 1 2 . Na opção 1, a probabilidade é igual a 2 6 1 5 1 15 ⋅ = . Na opção 2, a probabilidade é igual a 3 10 2 9 1 15 ⋅ = . Na opção 3, a probabilidade é igual a 1 2 3 7 2 6 1 2 2 7 1 6 2 21 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = . Na opção 4, a probabilidade é igual a 1 2 2 5 1 4 1 2 3 5 2 4 1 5 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = . Na opção 5, a probabilidade é igual a 1 2 4 7 3 6 1 2 3 7 2 6 3 14 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = . Portanto, como 3 14 é a maior das probabilidades, segue o resultado. Resposta correta: E 11. Considere, a título de exemplo, uma produção de 100000 parafusos. De acordo com o texto, a máquina I produz 54% dos parafusos, logo a máquina II produzirá 46%. Dos 54000 parafusos produzidos por I, temos 2,5% de defeituosos, ou seja, 1350. Dos 46000 parafusos produzidos por II, temos 3,8% de defeituosos, ou seja, 1748. Acompanhe a tabela a seguir: Máquina I II Total Defeituoso 1350 1748 3098 Sem defeito 52650 44252 96902 Total 54000 46000 100000 Da tabela, infere-se que a cada 100000 parafusos, 3098 serão defeituosos, assim, a probabilidade de escolhermos, ao acaso, um parafuso defeituoso é 3098 100000 3 098= , %. Como 2% < 3,098% < 4%, o desempenho é considerado bom. Resposta correta: B Linguagens, Códigos e suas Tecnologias4 040.152 - 157679/21 12. Observando que o tabuleiro tem n · n = n2 casos, temos: I. Casas não ocupadas = n2 – 1. II. Casas na zona de combate: (n – 1) + (n – 1) = 2(n – 1) Devemos ter: 2 1 1 1 5 2 1 1 1 1 52 n n n n n −( ) − < ⇒ −( ) +( ) −( ) < Como n > 1; n – 1 é positivo. Daí, obtemos: 2 1 1 5n + < ; como n + 1 > 0 obtemos: 10 < n + 1 ⇒ n > 9. Resposta correta: D 13. Sejam: P ⇒ população total. V ⇒ população vacinada. P – V ⇒ população não vacinada. Considerando que a eficácia da vacina é de 98%, tem-se que 2% de V está sujeita a desenvolver a doença, ou seja, é como se essa parte da população não tivesse sido vacinada. Assim, de acordo com o enunciado, pode-se montar a seguinte inequação: 50% (2% V + P – V) ≤ 5,9% P 50 100 2 100 100 100 5 9 100 50 100 98 100 5· , ·V P V P P V+ − ≤ ⇒ − ≤ ,,9 100 P 50P – 49V ≤ 5,9 P 44,1 P ≤ 49 V V ≥ 0,90 P V ≥ 90% P Isso significa que, no mínimo, 90% da população total deverá ser vacinada. ⇒ proposta I Resposta correta: A 14. I. P Arthur C C C ( ) = =250 2506 6 60 6 60 6 , , , IV. P Douglas C C P Douglas C P Douglas C ( ) = × ( ) = × ( ) = 4 4 84 336 9 6 60 6 60 6 6 , , , 00 6, II. P Bruno C C C C P Bruno C P Br ( ) = × + × ( ) = × + × 41 4 41 7 4 1 7 6 60 6 6 6 60 6 60 6 , , , , , uuno C ( ) = 291 60 6, V. P Eduardo C C P Eduardo C P Eduardo ( ) = × ( ) = × ( ) = 2 2 210 420 10 6 60 6 60 6 , , , CC60 6, III. P Caio C C C C P Caio C P C ( ) , , , , , = × + × ( ) = × + × 12 10 12 28 10 1 8 6 60 6 6 6 60 6 60 6 aaio C ( ) = 346 60 6, Resposta correta: A 040.152 - 157679/21 Linguagens, e Códigos e suas Tecnologias 5 15. O percentual de doadores por habitante do País é dado na tabela pelo total 1,9%. As regiões Nordeste, com 1,5%, Norte, com 1,5%, e Sudeste, com 1,9%, estão com percentuais iguaisou abaixo do Brasil. Resposta correta: B 16. Tem-se que I ≥ 65 para t1 ≤ t ≤ t2, t4 ≤ t ≤ t5 e t6 ≤ t ≤ t7. Logo, foi necessário colocar a proteção 3 vezes. Resposta correta: D 17. Se x é a variação do ano IV para o III, então x = − + − + − = + = 7 4 4 2 7 4 4 2 4 2 2 2 2 3 2 2 6 5 8 , , , , , , , , , . A resposta é 7,4 + 5,8 = 13,2 Resposta correta: C 18. Desemprego oculto (jun/2012) = 2,2% metade Desemprego oculto (dez/2012) = 2 2 2 11, , %= I Desemprego Total (dez/2011) = 9,0% iguais Desemprego Total (dez/2012) = 9,0% II Como a taxa de desemprego total é a soma das taxas de desemprego aberto e oculto: Total = oculto + aberto Em dez/2012, temos: 1,1 + X = 9 desemprego aberto em dez/2012 I II X = 9 – 1,1 = 7,9 Resposta correta: E 19. Para as classes A/B, temos que o maior número de consumidores participam via internet. Para as classes C/D, temos que o maior número de consumidores participam via Correios. Resposta correta: B 20. Calculando-se o índice de eficiência para cada vaca temos: Malhada: Mamona: Maravilha: 360 12 15 24 12 288 310 11 12 284 260 ⋅ = ⋅ = ⋅ ≅ ⋅⋅ ≅ ⋅ = ⋅ ≅ 14 12 303 310 13 13 310 270 12 11 294 Mateira: Mimosa: Portanto, a vaca Mateira é a mais eficiente. Resposta correta: D Dig.: Claudia/Rev.: Sarah
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