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Soluções Capítulo 2 (COMPLETO) - Mecânica Analítica (Nivaldo A. Lemos)

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y(x) = C cosh
(
x
C
+ C ′
)
− λ , (180)
onde C e C ′ são constantes arbitrárias. As 3 constantes desconhecidas C, C ′ e λ serão
determinadas pelas condições de contorno em y(a) e y(b) e por (175).
24 Antonio Capanema
Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 25
Problema 2.6. Solução: Sabendo que a derivada total
d
dt
(
∂L
∂q̇i
)
=
n∑
j=1
∂2L
∂q̇j∂q̇i
q̈j +
n∑
j=1
∂2L
∂qj∂q̇i
q̇j +
∂2L
∂t∂q̇i
, (181)
podemos reescrever a equações de Lagrange na forma expĺıcita
n∑
j=1
∂2L
∂q̇j∂q̇i
q̈j +
n∑
j=1
∂2L
∂qj∂q̇i
q̇j +
∂2L
∂t∂q̇i
− ∂L
∂qi
= 0 , i = 1, ..., n . (182)
Se L̄(q, q̇, t) e L(q, q̇, t) diferem somente por uma derivada total no tempo de uma
função f(q, t), então a equação de movimento para L̄ = L+ ḟ é
0 =
n∑
j=1
∂2L̄
∂q̇j∂q̇i
q̈j +
n∑
j=1
∂2L̄
∂qj∂q̇i
q̇j +
∂2L̄
∂t∂q̇i
− ∂L̄
∂qi
=
n∑
j=1
∂2L
∂q̇j∂q̇i
q̈j +
n∑
j=1
∂2L
∂qj∂q̇i
q̇j +
∂2L
∂t∂q̇i
− ∂L
∂qi
+
+
n∑
j=1
∂2ḟ
∂q̇j∂q̇i
q̈j +
n∑
j=1
∂2ḟ
∂qj∂q̇i
q̇j +
∂2ḟ
∂t∂q̇i
− ∂ḟ
∂qi
.
Avaliando expĺıcitamente os termos com ḟ ,
∂2ḟ
∂q̇j∂q̇i
=
∂2
∂q̇j∂q̇i
( n∑
k=1
∂f
∂qk
q̇k +
∂f
∂t
)
=
∂
∂q̇j
(
∂f
∂qi
)
= 0 , (183)
∂2ḟ
∂qj∂q̇i
=
∂2
∂qj∂q̇i
( n∑
k=1
∂f
∂qk
q̇k +
∂f
∂t
)
=
∂2f
∂qj∂qi
, (184)
∂2ḟ
∂t∂q̇i
=
∂2
∂t∂q̇i
( n∑
k=1
∂f
∂qk
q̇k +
∂f
∂t
)
=
∂2f
∂t∂qi
, (185)
∂ḟ
∂qi
=
∂
∂qi
( n∑
j=1
∂f
∂qj
q̇j +
∂f
∂t
)
=
n∑
j=1
∂2f
∂qi∂qj
q̇j +
∂2f
∂qi∂t
, (186)
obtemos
0 =
n∑
j=1
∂2L
∂q̇j∂q̇i
q̈j +
n∑
j=1
∂2L
∂qj∂q̇i
q̇j +
∂2L
∂t∂q̇i
− ∂L
∂qi
+
+
n∑
j=1
∂2f
∂qj∂qi
q̇j +
∂2f
∂t∂qi
−
( n∑
j=1
∂2f
∂qi∂qj
q̇j +
∂2f
∂qi∂t
)
=
n∑
j=1
∂2L
∂q̇j∂q̇i
q̈j +
n∑
j=1
∂2L
∂qj∂q̇i
q̇j +
∂2L
∂t∂q̇i
− ∂L
∂qi
.
Portanto, L̄ e L geram equações de movimento idênticas.
25 Antonio Capanema
Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 26
Se, por outro lado, L̄(q, q̇, t) e L(q, q̇, t) são lagrangianas que geram equações de movi-
mento idênticas, então
n∑
j=1
∂2L
∂q̇j∂q̇i
q̈j +
n∑
j=1
∂2L
∂qj∂q̇i
q̇j +
∂2L
∂t∂q̇i
− ∂L
∂qi
=
=
n∑
j=1
∂2L̄
∂q̇j∂q̇i
q̈j +
n∑
j=1
∂2L̄
∂qj∂q̇i
q̇j +
∂2L̄
∂t∂q̇i
− ∂L̄
∂qi
(187)
implica na igualdade dos coeficientes de q̈j,
∂2L
∂q̇j∂q̇i
=
∂2L̄
∂q̇j∂q̇i
⇒ L− L̄ =
n∑
k=1
Fk(q, t) q̇k +G(q, t) , (188)
onde as Fk’s e G são funções arbitrárias. Substitúındo (188) em (187), obtemos
n∑
j=1
∂Fi
∂qj
q̇j +
∂Fi
∂t
−
( n∑
j=1
∂Fj
∂qi
q̇j +
∂G
∂qi
)
= 0 . (189)
Igualando os coeficientes de cada q̇j,
∂Fi
∂qj
=
∂Fj
∂qi
, j = 1, ..., n , (190)
podemos usar o Teorema D.1 do Apêndice D do livro para identificar a diferencial exata
dΦ(q, t) =
n∑
i=1
Fi(q, t) dqi + T (q, t) dt ⇒ Fi =
∂Φ
∂qi
, T =
∂Φ
∂t
, (191)
onde T (q, t) é uma função desconhecida.6 Substitúındo Fi de (191) em (189), podemos
expressar G em termos de Φ,
∂Fi
∂t
=
∂2Φ
∂t∂qi
=
∂G
∂qi
⇒ G = ∂Φ
∂t
, (192)
identificando que T = G. Assim, a diferença L− L̄ em (188) pode ser reescrita exclusiva-
mente em termos de Φ:
L− L̄ =
n∑
k=1
∂Φ
∂qi
q̇i +
∂Φ
∂t
=
dΦ
dt
. (193)
Conclúımos, portanto, que se L̄ e L satisfazem equações de movimento idênticas, então elas
devem diferir por uma derivada total no tempo de uma função arbitrária das coordenadas
generalizadas e do tempo.
6Note que, para valer o Teorema D.1, é necessário que ∂Fi/∂t = ∂T/∂qi, ∀i, para que tenhamos
n+ 1 funções de n+ 1 variáveis satisfazendo a condição (D.4) do livro. Isto é claramente satisfeito após
identificarmos T = G em (192).
26 Antonio Capanema
Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 27
Problema 2.7. Solução: A Lagrangiana
L̄ =
1
12
ẋ4 +
ω2
2
x2ẋ2 − ω
4
4
x4 (194)
gera a equação de movimento
d
dt
(
ẋ3
3
+ ω2x2ẋ
)
− ω2xẋ2 + ω4x3 = 0 ⇒ ẋ2ẍ+ ω2(xẋ2 + x2ẍ) + ω4x3 = 0 (195)
cuja solução pode ser posta na forma x(t) = A sin(ωt+ φ) , com A e φ constantes a
determinar pelas condições iniciais. Verificando:
0 = −A3ω4 cos2(ωt+ φ) sin(ωt+ φ) + ω2
[
A3ω2 sin(ωt+ φ) cos2(ωt+ φ)−
− A3ω2 sin3(ωt+ φ)
]
+ ω4A3 sin3(ωt+ φ)
= 0 .
Esta é a mesma solução da equação de movimento para um oscilador harmônico de massa
m = 1, obtido através da lagrangiana usual L = ẋ2/2 − ω2x2/2. Portanto, L e L̄ geral
equações de movimento equivalentes, isto é, que possuem as mesmas soluções.
Para demonstrar que estas lagrangianas não diferem por uma derivada total no tempo,
precisamos provar que
L̄− L = 1
12
ẋ4 + (ω2x2 − 1) ẋ
2
2
−
(
ω2x2
2
− 1
)
ω2x2
2
(196)
não possui antiderivada. Vamos começar assumindo que existe F (x, t) tal que dF/dt =
L− L̄. Pela regra da cadeia, o coeficiente de ẋ é
∂F
∂x
=
1
12
ẋ3 + (ω2x2 − 1) ẋ
2
. (197)
Claramente, este F é inexistente pois nenhuma função de (x, t) nos daria termos com ẋ
após uma derivada parcial em x. Esta contradição demonstra que as lagrangianas não
são equivalentes,
@F : L− L̄ = dF
dt
. (198)
Portanto, as as equações de movimento são equivalentes, mas não idênticas.
27 Antonio Capanema
Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 28
Problema 2.8. Solução: A máquina de Atwood oscilante do Problema 1.5 com M = 3m
possui equações de movimento
4r̈ − rθ̇2 + g(3− cos θ) = 0 , (199)
r2θ̈ + 2rṙθ̇ + gr sin θ = 0 . (200)
Para provar que a quantidade
I(r, ṙ, θ, θ̇) = r2θ̇
(
ṙ cos
θ
2
− rθ̇
2
sin
θ
2
)
+ gr2 sin
θ
2
cos2
θ
2
(201)
é constante de movimento, vamos derivá-la no tempo diretamente:
dI
dt
=
∂I
∂r
ṙ +
∂I
∂ṙ
r̈ +
∂I
∂θ
θ̇ +
∂I
∂θ̇
θ̈ +
∂I
∂t
. (202)
Antecipando o tamanho desta expressão, vamos escrever cada termo separadamente:
∂I
∂r
ṙ = 2rṙ2θ̇ cos
θ
2
− 3r
2ṙθ̇2
2
sin
θ
2
+ 2grṙ sin
θ
2
cos2
θ
2
, (203)
∂I
∂ṙ
r̈ = r2θ̇r̈ cos
θ
2
, (204)
∂I
∂θ
θ̇ = −r
2ṙθ̇2
2
sin
θ
2
− r
3θ̇3
4
cos
θ
2
+
gr2θ̇
2
(
cos3
θ
2
− 2 sin2 θ
2
cos
θ
2
)
, (205)
∂I
∂θ̇
θ̈ = r2ṙθ̈ cos
θ
2
− r
3θ̇θ̈
2
sin
θ
2
− r
3θ̇θ̈
2
sin
θ
2
, (206)
∂I
∂t
= 0 . (207)
Há diversas simplificações para serem feitas:
1. Os dois últimos termos de (206) são iguais e podem ser juntados;
2. O segundo termo de (203) pode ser juntado com o primeiro termo de (205);
3. Usando (199), podemos substituir a soma de (204) com o segundo termo de (205)
por (gr2θ̇/4)(cos θ − 3) cos(θ/2);
4. Podemos reescrever cos3 θ/2 = (1 − sin2 θ/2) cos θ/2 no terceiro termo de (205),
simplificando a expressão entre parêntesis ao colocar cos θ/2 em evidência;
5. Usamos sin θ = 2 sin(θ/2) cos(θ/2) para simplificar o terceiro termo de (203).
28 Antonio Capanema
Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 29
Após estas simplificações, obtemos
dI
dt
= 2rṙ2θ̇ cos
θ
2
− 2r2ṙθ̇2 sin θ
2
+ grṙ sin θ cos
θ
2
+
gr2θ̇
4
cos θ cos
θ
2
−
− 3gr
2θ̇
4
cos
θ
2
+
gr2θ̇
2
(
1− 3 sin2 θ
2
)
cos
θ
2
+ r2ṙθ̈ cos
θ
2
− r3θ̇θ̈ sin θ
2
.
Ainda temos 8 termos para lidar. Usando (200), podemos colocar ṙ cos(θ/2) em evidência
no primeiro, terceiro e penúltimo termos para eliminá-los completamente:
dI
dt
= −2r2ṙθ̇2 sin θ
2
+
gr2θ̇
4
cos θ cos
θ
2
−3gr
2θ̇
4
cos
θ
2
+
gr2θ̇
2
(
1−3 sin2 θ
2
)
cos
θ
2
−r3θ̇θ̈ sin θ
2
.
Reduzimos nosso problema a 5 termos. Podemos usar (200) novamente, desta vez colo-
cando rθ̇ sin(θ/2) em evidência no primeiro e último termos para reescrevê-los como um
só termo proporcional a g:
dI
dt
= gr2θ̇ sin θ sin
θ
2
+
gr2θ̇
4
cos θ cos
θ
2
− 3gr
2θ̇
4
cos
θ
2
+
gr2θ̇
2
(
1− 3 sin2 θ
2
)
cos
θ
2
.
Finalmente, chegamos a uma expressão na qual todos os termos são proporcionais a
gr2θ̇/4. Colocando esta quantidade em evidência, podemos usar relações trigonométricas
para chegar a
dI
dt
=
gr2θ̇
4
(
4 sin θ sin
θ
2
+ cos θ cos
θ
2
− 3 cos θ
2
+ 2 cos
θ
2
− 6 cos θ
2
sin2
θ
2
)
=
gr2θ̇
4
(
8 sin2
θ
2
+ cos θ − 1− 6 sin2 θ
2
)
cos
θ
2
=
gr2θ̇
4
(
8 sin2
θ
2
+ cos2
θ
2
− sin2 θ
2
− 1− 6 sin2 θ
2
)
cos
θ
2
=
gr2θ̇
4
(
8 sin2
θ
2
− 8 sin2 θ
2
)
cos
θ
2
⇒ dI
dt
= 0 . (208)
Portanto, I é uma constante