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Soluções Capítulo 2 (COMPLETO) - Mecânica Analítica (Nivaldo A. Lemos)

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de movimento.
29 Antonio Capanema
Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 30
Problema 2.9. Solução: (i) A equação de movimento para um oscilador harmônico
com frequência dependente do tempo, cuja lagrangiana é L = mq̇2/2−mω2(t)q2/2, é
q̈ + ω2(t)q = 0 . (209)
Usando esta equação de movimento, vemos que a quantidade I(q, q̇, t) = (ρq̇−ρ̇q)2+q2/ρ2,
que é implicitamente função de ρ e ρ̇ também, onde ρ(t) satisfaz a equação diferencial
ρ̈− 1
ρ3
+ ω2(t)ρ = 0 , (210)
é constante de movimento:
dI
dt
=
∂I
∂q
q̇ +
∂I
∂q̇
q̈ +
∂I
∂ρ
ρ̇+
∂I
∂ρ̇
ρ̈+
∂I
∂t
= −2(ρq̇ − ρ̇q)ρ̇q̇ + 2qq̇
ρ2
+ 2(ρq̇ − ρ̇q)ρq̈ + 2(ρq̇ − ρ̇q)q̇ρ̇− 2q
2ρ̇
ρ3
− 2(ρq̇ − ρ̇q)qρ̈
=
2qq̇
ρ2
− 2(ρq̇ − ρ̇q)ρω2(t)q − 2q
2ρ̇
ρ3
− 2(ρq̇ − ρ̇q)qρ̈
=
2qq̇
ρ2
− 2ρ2q̇ω2(t)q − 2ρq̇qρ̈+ 2q2ρ̇
(
ρ̈− 1
ρ3
+ ω2(t)ρ
)
= −2qq̇ρ
(
ρ̈− 1
ρ3
+ ω2(t)ρ
)
⇒ dI
dt
= 0 . (211)
(ii) Para o caso em que ω2(t) = ω20 + 2/(9t
2), a equação diferencial para ρ se torna
ρ̈− 1
ρ3
+
(
ω20 +
2
9t2
)
ρ = 0 . (212)
Esta é uma equação diferencial não-homogênea e não-linear de segunda ordem, o que
a torna bastante dif́ıcil de resolver. Podeŕıamos tentar substituir a solução desejada na
equação diferencial, mas isto daria muito trabalho! Por sorte, em 1950, Pinney7 verificou
que a solução completa para (212) é
ρ(t) =
√
u2(t) + v2(t) , (213)
onde u(t) e v(t) são a solução da equação diferencial linear correspondente (isto é, sem o
termo proporcional a ρ−3),
ÿ +
(
ω20 +
2
9t2
)
y = 0 . (214)
Nosso trabalho agora se resume a resolver (214).
7E. Pinney, The nonlinear differential equation y′′ + p(x)y + cy−3 = 0, Proc. Amer. Math. Soc. 1,
681 (1950). Versão alternativa da solução online em arXiv:1902.02739.
30 Antonio Capanema
Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 31
Começamos realizando a substituição y(t) =
√
tf(t) em (214). Tendo em mãos que
ÿ =
√
tf̈ + ḟ/
√
t− f/4t3/2, somos conduzidos à famosa equação de Bessel
√
tf̈ +
ḟ√
t
− f
4t3/2
+
(
ω20
√
t+
2
9t3/2
)
f = 0
⇒ t2f̈ + tḟ +
(
ω20t
2 − 1
36
)
f = 0 , (215)
cuja solução é uma combinação linear de funções de Bessel de primeira e segunda espécies,
J1/6(ω0t) e Y1/6(ω0t), respectivamente
8. Assim, a solução geral de (214),
y(t) = c1
√
t J1/6(ω0t) + c2
√
t Y1/6(ω0t) , (218)
nos permite identificar u(t) =
√
πt/2 J1/6(ω0t) e v(t) =
√
πt/2Y1/6(ω0t), onde tomamos
a liberdade de escolher c1 = c2 =
√
π/2 (é claro que esta escolha depende das condições
iniciais do problema, que não foram fornecidas). Finalmente, chegamos à solução
ρ(t) =
√
πt
2
√
J21/6(ω0t) + Y
2
1/6(ω0t) . (219)
8As funções de Bessel Jν(x) e Yν(x) são as soluções da equação de Bessel x
2y′′+xy′+ (x2− ν2)y = 0,
onde ν é chamada de ordem das funções de Bessel. Vale a pena ressaltar que Jν(ω0x) e Yν(ω0x) satisfazem
ω20x
2 d
2y
d(ω0x)2
(ω0x) + ω0x
dy
d(ω0x)
(ω0x) + (ω
2
0x
2 − ν2)y(ω0x) = 0 (216)
após uma simples renomeação da variável x→ ω0x. Podemos trocar as derivadas em ω0x por derivadas
somente em x pela regra da cadeia:
dy
d(ω0x)
(ω0x) =
dx
d(ω0x)
dy
dx
(ω0x) =
1
ω0
y′(ω0x) ,
d2y
d(ω0x)2
(ω0x) =
1
ω20
y′′(ω0x) ,
onde y′(ω0x) denota a derivada de y por x avaliada em ω0x. Assim, a equação diferencial (216) pode ser
reescrita na mesma forma de (215),
x2y′′(ω0x) + xy
′(ω0x) + (ω
2
0x
2 − ν2)y(ω0x) = 0 , (217)
provando que as soluções de (215) são J1/6(ω0x) e Y1/6(ω0x).
31 Antonio Capanema
Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 32
Problema 2.10. Solução: Os Teoremas 2.5.2 e 2.5.3 do livro nos dizem que, para um
potencial V independente das velocidades, se a lagrangiana L = T−V do sistema (e quais-
quer v́ınculos holônomos a que o sistema esteja sujeito) for invariante sob uma translação
ao longo da direção n̂ (rotação em torno do eixo n̂), então a componente n̂ do momento
linear P (angular L) do sistema é conservado. Uma part́ıcula movendo-se livremente num
potencial gravitacional não possui v́ınculos, e seu potencial certamente independe da sua
velocidade. A energia cinética é sempre invariante perante translações ou rotações (os
módulos das velocidades são inalterados), de modo que basta estudarmos as simetrias
de V para determinar as componentes de P e L que se conservam. Veremos que estas
simetrias associam-se às simetrias da própria distribuição de massa que é fonte do campo
gravitacional.
(i) Uma esfera de raio R gera um potencial que só depende da coordenada radial, V (r), e
é invariante perante rotação em torno de qualquer eixo (passando pela origem em r = 0).
Assim, todas as componentes de L se conservam: dL/dt = 0 . Como qualquer translação
afeta a coordenada r =
√
x2 + y2 + z2, nenhuma componente de P se conserva.
(ii) Um paraleleṕıpedo infinitamente longo com seção transversal quadrada não possui
nenhum eixo de simetria perante rotações arbitrárias (só rotações de 180°). Portanto,
o seu potencial V não será invariante perante rotações e nenhuma componente de L se
conserva. No entanto, há simetria de translação ao longo do eixo perpendicular à seção
transversal, n̂, o que implica em V ser invariante perante translações ao longo deste eixo.
Assim, d(P · n̂)/dt = 0 .
(iii) Uma haste de comprimento ` é uma distribuição que possui simetria ciĺındrica ao
longo do seu eixo, que chamaremos de n̂. Isto implica numa invariância sob rotações em
torno deste eixo: d(L · n̂)/dt = 0 . De resto, não há mais simetrias.
(iv) Um disco de raio R possui exatamente a mesma simetria do que a haste do item
anterior: d(L · n̂)/dt = 0 .
(v) Um cilindro infinitamente longo com seção transversal circular é análogo aos 2 itens
anteriores, d(L · n̂)/dt = 0 , porém com a diferença crucial de que o seu potencial também
é invariante sob translações ao longo do eixo n̂ já que trata-se de uma distribuição infinita
(igual ao item (ii)). Logo, d(P · n̂)/dt = 0 .
(vi) O caso do plano infinito foi discutido no final da seção 2.5 do livro: seu potencial
gravitacional é invariante perante translações paralelas ao plano (que tomaremos como
sendo o plano xy) e sob rotações em torno de um eixo perpendicular ao plano (conse-
quentemente, o eixo z). Isto resulta em d(P · x̂)/dt = d(P · ŷ)/dt = d(L · ẑ)/dt = 0 .
(vii) Um plano semi-infinito não possui simetrias; não há conservação de P ou L, muito
menos de suas componentes.
(viii) Uma hélice de raioR e passo p também não possui simetria sob translações/rotações
arbitrárias (só translações no eixo de comprimento fixo p). Não há momentos conservados.
32 Antonio Capanema
Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 33
Problema 2.11. Solução: Sob a transformação de calibre
A −→ A′ = A +∇Λ , φ −→ φ′ = φ− 1
c
∂Λ
∂t
, (220)
onde Λ(r, t) é uma função diferenciável arbitrária, a lagrangiana de uma part́ıcula imersa
em um campo eletromagnético externo (Eq. (1.6.11) do livro)
L =
mv2
2
− eφ+ e
c
v ·A (221)
se torna
L′ =
mv2
2
− eφ′ + e
c
v ·A′
=
mv2
2
− eφ+ e
c
∂Λ
∂t
+
e
c
v ·A + e
c
v · (∇Λ)
= L+
e
c
(
v ·∇Λ + ∂Λ
∂t
)
.
Vemos que a lagrangiana é alterada somente pelo acréscimo de uma derivada total de
uma função das coordenadas e do tempo,
L′ = L+
e
c
dΛ
dt
, (222)
e as equações de movimento são inalteradas pois L e L′ são equivalentes.
Problema 2.12. Solução: Definimos como coordenadas generalizadas deste sistema q1 =
r, q2 = θ e q3 = y; as duas primeiras especificam a posição de m2 na mesa e a última
representa a altura de m1 (medida para baixo a partir da mesa). Este sistema possui o
v́ınculo holônomo
r + y − l = 0 ⇒ dr + dy = 0 , (223)
onde l é o comprimento do fio, do qual identificamos, segundo a Eq. (2.4.1) do livro,
a11 = a13 = 1 e a12 = a1t = 0.
9 A lagrangiana
L =
m1ẏ
2
2
+
m2
2
(ṙ2 + r2θ̇2) +m1gy (224)
gera as equações de movimento, de acordo com a Eq. (2.4.9) do livro,
m2r̈ −m2rθ̇2 = λ1a11 = λ1 , (225)
d
dt
(m2r