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Soluções Capítulo 2 (COMPLETO) - Mecânica Analítica (Nivaldo A. Lemos)

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nova lagrangiana L̄ = L + dF/dt em geral não terá q como coordenada ćıclica,
mesmo sendo equivalente à lagrangiana original. Por exemplo, para F (q, t) = q2 teremos
L̄ =
q̇2
2
+ 2qq̇ (290)
produzindo a equação de movimento
q̈ + 2q̇ − 2q̇ = 0 ⇒ q̈ = 0 , (291)
que é a mesma equação de movimento para L. Mas será que p = q̇ é conservado no caso
de L̄? Claro que sim! Uma simples integração da equação de movimento implica em
q̇ = cte.
Este aparente paradoxo pode ser resolvido ajustando a demonstração do Teorema
2.5.1 do livro. Ao invés de considerar as equações de Lagrange para L, vamos utilizar
L̄ = L+ dF (q, t)/dt. Para a k-ésima coordenada generalizada,
d
dt
(
∂L̄
∂q̇k
)
− ∂L̄
∂qk
= 0 (292)
implica em
d
dt
[
pk +
∂
∂q̇k
(
dF
dt
)]
− ∂
∂qk
(
dF
dt
)
= 0 , (293)
onde usamos a definição do momento conjugado pk e o fato de que L independe de qk.
Além disso, usando os resultados de (128) e (129), sabemos que
d
dt
[
∂
∂q̇k
(
dF
dt
)]
=
∂
∂qk
(
dF
dt
)
, (294)
o que nos permite chegar ao mesmo resultado de conservação:
dpk
dt
= 0 . (295)
Assim, coordenadas ćıclicas continuam tendo seus momentos conjugados conservados,
mesmo após adicionarmos uma derivada total de uma função das coordenadas e do tempo.
Por outro lado, se pudermos adicionar algum dF/dt a uma lagrangiana para tornar alguma
de suas coordenadas em uma coordenada ćıclica, o seu momento conjugado (para ambas
as lagrangianas) será conservado.
44 Antonio Capanema
Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 45
Problema 2.20. Solução: Utilizando como coordenadas generalizadas (q1, q2, q3, q4) =
(xm, ym, xM , yM) definidas no Problema 1.12, os v́ınculos holônomos
ym = 0 , yM = 0 (296)
nos permitem identificar que a12 = a24 = 1 e que todos os outros coeficiences são nulos
partir das Eqs. (2.4.30) e (2.4.32) do livro. Se utilizarmos a lagrangiana (92), obteremos
2 equações de movimento que são (93) e (94), além de termos mais 2 equações de v́ınculo,
totalizando 4 equações para encontrarmos 6 incógnitas (as 4 coordenadas e mais 2 multi-
plicadores de Lagrange). Portanto, precisamos escrever a lagrangiana em termos de todas
as 4 coordenadas generalizadas, de modo que obteremos 6 equações no total.
Exprimindo a lagrangiana em termos destas coordenadas,
L =
M
2
(ẋ2M + ẏ
2
M) +
m
2
[
(ẋM − ẋm cosα− ẏm sinα)2 + (ẏM − ẋm sinα + ẏm cosα)2
]
+
+mg(xm sinα− ym cosα− yM) , (297)
e reescrevendo-a para simplificar nossas contas,
L =
M +m
2
(ẋ2M + ẏ
2
M) +
m
2
(ẋ2m + ẏ
2
m) +mg(xm sinα− ym cosα− yM)−
−m(ẋM ẋm cosα + ẋM ẏm sinα + ẏM ẋm sinα− ẏM ẏm cosα) , (298)
chegamos às equações de movimento para xm, ym, xM e yM , respectivamente
mẍm −mẍM cosα−mẏM sinα−mg sinα = 0 , (299)
mÿm −mẍM sinα +mẏM cosα +mg cosα = λ1 , (300)
(M +m)ẍM −mẍm cosα−mẏM sinα = 0 , (301)
(M +m)ÿM −mẍm sinα +mẏm cosα−mg = λ1 . (302)
Com aux́ılio dos v́ınculos, estas equações de movimento se tornam
ẍm − ẍM cosα− g sinα = 0 , mẍM sinα−mg cosα = −λ1 , (303)
(M +m)ẍM −mẍm cosα = 0 , mẍm sinα +mg = −λ2 . (304)
A força de v́ınculo sobre o bloco de massa m é Q′ym = λ1. Substitúındo (95) na segunda
das equações (304), obtemos
m2g sin2 α cosα
M +m sin2 α
−mg cosα = −λ1 ⇒ Q′ym =
Mmg cosα
M +m sin2 α
. (305)
45 Antonio Capanema
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(Nivaldo A. Lemos) 46
Problema 2.21. Solução: A lagrangiana do Problema 1.7 (com um fator m−1 inclúıdo
na exponencial; ver nota de rodapé do Problema 1.7),
L = eλt/m
(
m
2
ẋ2 −mgx
)
, (306)
se transforma sob uma translação infinitesimal x′ = x+ � em
L′ = eλt/m
(
m
2
ẋ′2 −mgx′
)
= L− eλt/mmg� . (307)
Notamos que a ação é quase-invariante sob esta transformação,
∆S =
∫ t′2
t′1
L′ dt′ −
∫ t2
t1
(
L+ �
dG
dt
)
dt
=
∫ t2
t1
(
L− eλt/mmg�
)
dt−
∫ t2
t1
(
L+ �
dG
dt
)
dt
= 0 ,
com G = −eλt/mm2g/λ. Identificando as funções associadas à transformação X = 0 e
Ψ = 1, a constante de movimento do teorema de Noether (Eq. (2.7.13) do livro) é
C = eλt/m
(
mẋ+
m2g
λ
)
, (308)
onde eliminamos um sinal negativo global já que isso não altera o fato de ser uma constante
de movimento.
Para verificar que C é constante de movimento, basta derivá-la,
dC
dt
= eλt/mmẍ+ eλt/m
(
λẋ+mg
)
= eλt/m
(
mẍ+ λẋ+mg
)
.
Usando a equação de movimento (60),
dC
dt
= 0 . (309)
46 Antonio Capanema
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Problema 2.22. Solução: (i) Uma part́ıcula de massa m movendo-se sob o potencial
V = −κ/r (cuja força central associada é F = −κr̂/r2) possui lagrangiana dada pela Eq.
(1.7.2) do livro. Vale lembrar que, como o vetor posição r é alinhado com F = ṗ, então
o torque em relação à origem é nulo:
r× F = N = l̇ = 0 ⇒ l = r× p = cte . (310)
Com este resultado, podemos ver que o vetor de Laplace-Runge-Lenz,
A = p× l−mκr
r
, (311)
é constante de movimento12:
dA
dt
= F× l−mκ
(
ṙ
r
− r
r2
dr
dt
)
= F× (r× p)− κp
r
+mκ
r
r2
dr
dt
= r(F · p)− p(F · r)− κp
r
+mκ
r
r2
dr
dt
= −mκr
(
r̂
r2
· ṙ
)
+ p
κ
r
− κp
r
+mκ
r
r2
dr
dt
= −mκ
r3
r(r · ṙ) +mκ r
r2
dr
dt
= −mκ
r3
r
(
1
2
d
dt
r2
)
+mκ
r
r2
dr
dt
= −mκ
r3
r
(
r
dr
dt
)
+mκ
r
r2
dr
dt
⇒ dA
dt
= 0 . (313)
(ii) Pela definição de A,
A · l = (p× l) · l−mκr
r
· l = 0 , (314)
onde o primeiro é zero por definição (p × l é obrigatoriamente perpendicular a l) e o
segundo termo é nulo pois o vetor posição da part́ıcula permanece no plano da órbita, que
é perpendicular a l. Este resultado nos diz que A ⊥ l , implicando que A está contido
no plano da órbita.
12Uma forma mais elegante de dedizir que A é constante de movimento é através do teorema de
Noether. Sob a transformação infinitesimal
x′i = xi +
�
2
[
2pixs − xips − δis(r · p)
]
, (312)
onde i, s = 1, 2, 3 correspondem às 3 componentes de cada vetor, pode-se mostrar que a lagrangiana
do problema de Kepler é quase-invariante. A quantidade conservada associada a esta transformação,
segundo o teorema de Noether, é a componente s do vetor de Laplace-Runge-Lenz, As.
47 Antonio Capanema
Soluções de Mecânica Anaĺıtica
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(iii) Tomando o produto escalar de A por r,
A · r = (p× l) · r−mκr
r
· r = l2 −mκr , (315)
onde usamos a propriedade ćıclica do produto misto: (p× l) · r = (r× p) · l = l · l = l2.
Se o ângulo entre A e r é θ, então temos a relação
Ar cos θ = l2 −mκr ⇒ 1
r
=
mκ
l2
(
1 +
A
mκ
cos θ
)
, (316)
que corresponde à equação da órbita (Eq. (1.7.16) do livro)
1
r
=
mκ
l2
(1 + e cosϕ) . (317)
(iv) De (316) e (317) podemos identificar diretamente
e =
A
mκ
(318)
e θ = ±ϕ. Como ϕ é o ângulo entre r e o semieixo maior da órbita eĺıptica, este último
resultado implica que A aponta ao longo deste eixo (no sentido positivo ou negativo,
dependendo do sinal relativo entre θ e ϕ).
Problema 2.23. Solução: (i) Sob a transformação finita x′(t′) = eα x(t), t′ = e2α t,
onde α é uma constante, a lagrangiana L = ẋ2/2− g/x2, com g constante, se torna
dx′
dt′
= e−2α
dx′
dt
= e−αẋ ⇒ L′ = e−2α ẋ
2
2
− e−2α g
x2
= e−2α L . (319)
A variação da ação será
∆S =
∫ t′2
t′1
L′ dt′ −
∫ t2
t1
Ldt = e−2α
∫ e2αt2
e2αt1
Ldt′ −
∫ t2
t1
Ldt = e−2α
∫ t2
t1
Le2α dt−
∫ t2
t1
Ldt ,
onde realizamos a mudança de variáveis t′ → t na primeira integral da última equação.
Assim, fica evidente que a ação é invariante, ∆S = 0 . Pelo teorema de Noether,
C =
∂L
∂ẋ
(ẋX −Ψ)− LX = ẋ(ẋX −Ψ)−
(
ẋ2
2
− g
x2
)
X (320)
é uma constante de movimento. Para identificar as quantidades X e Ψ, promovemos a
constante α a uma constante infinitesimal. A transformação até O(α) é
x′ = x+ αx , t′ = t+ 2αt , (321)
implicando que X = 2t e Ψ = x pelas Eqs. (2.7.1) do livro.
48 Antonio Capanema
Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 49
Munidos de X e Ψ, podemos escrever a constante do teorema de Noether como
C = 2t
(
ẋ2
2
+
g
x2
)
− xẋ . (322)