AULA 02 - Equilíbrio geral e bem-estar

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DESCRIÇÃO
Caixa de Edgeworth e alocações eficientes no sentido de Pareto; Lei de Walras e equilíbrio geral em mercados competitivos; relação entre equilíbrio
geral e eficiência no sentido de Pareto; produção no modelo de equilíbrio geral; primeiro e segundo teoremas do bem-estar; funções de bem-estar
social e sua relação com justiça alocativa e equidade.
PROPÓSITO
Aprender os fundamentos do modelo de equilíbrio geral, ferramenta básica para análise econômica no mercado, na academia e na política pública.
PREPARAÇÃO
Lápis e papel.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever o modelo de equilíbrio geral em um contexto de competição perfeita
MÓDULO 2
Descrever o primeiro e o segundo teoremas do bem-estar social, assim como as funções de bem-estar social
INTRODUÇÃO
Processing math: 100%
Apesar de as sociedades serem formadas por um conjunto heterogêneo de indivíduos com diferentes preferências e, muitas vezes, movidos única e
exclusivamente por seus interesses individuais, suas ações não geram um caos econômico. Muito pelo contrário, é possível identificarmos certa
harmonia no funcionamento das economias. Por exemplo, ao irmos ao supermercado sabemos, com algum grau de certeza, o preço dos produtos que
desejamos comprar. Aparentemente, a mão invisível do mercado, proposta primeiramente por Adam Smith (1776), leva a economia de mercado a um
equilíbrio estável – ao menos em algumas situações.
Desde o trabalho pioneiro de Adam Smith, muitos estudos se dedicaram à análise da existência, da unicidade e da estabilidade de um equilíbrio geral
competitivo. Isto é, será que existe um conjunto de preços capaz de igualar a oferta e a demanda de todos os mercados da economia? Ao contrário
das análises de equilíbrio parcial que focam apenas em um mercado, vamos considerar todos os mercados de forma simultânea, ou seja, vamos
analisar o funcionamento da economia como um todo. Nosso objetivo será determinar preços e quantidades de equilíbrio em um sistema em que
diferentes mercados estão interligados. Isso é o que chamamos de análise de equilíbrio geral.
O problema de equilíbrio geral será apresentado em duas fases: primeiro, destacaremos apenas uma economia de trocas puras, sem produção. Em
seguida, introduziremos a atuação das firmas, ou seja, o lado da produção. Após determinarmos os preços e as quantidades de equilíbrio geral do
mercado competitivo, discutiremos a relação entre esse equilíbrio e a eficiência no sentido de Pareto: apresentaremos o primeiro e o segundo
teoremas fundamentais do bem-estar. Por fim, discutiremos as funções de bem-estar social e sua relação com justiça alocativa e equidade.
MÓDULO 1
 Descrever o modelo de equilíbrio geral em um contexto de competição perfeita
A CAIXA DE EDGEWORTH E A EFICIÊNCIA NO SENTIDO DE PARETO
Para iniciarmos nossa análise de equilíbrio geral, trabalharemos com uma economia de trocas puras (ou, simplesmente, economia de troca), isto
é, uma economia em que não há produção, mas apenas trocas entre os agentes a partir de suas dotações iniciais. Cada agente será dotado por
“natureza” de determinada quantia finita de bens de consumo.
Com essa dotação inicial, os agentes escolherão entre consumir esses bens ou trocá-los com os outros agentes dessa economia, de acordo com as
suas preferências individuais.
Como cada consumidor tem sua preferência e é movido por seu interesse individual, as trocas servirão como um mecanismo de redistribuição das
dotações iniciais de modo a maximizar a utilidade de cada indivíduo. Note que estamos supondo que todas as trocas são voluntárias: isso significa que
há um sistema de justiça para garantir o funcionamento dos mercados.
Para simplificarmos ainda mais, faremos inicialmente como Jehle e Reny (2011) e iremos supor que as trocas entre os agentes não sejam
intermediadas por um sistema de preços, ou seja, não existe um mercado formal em que sabemos quanto custa cada bem. Nosso modelo será dado,
simplesmente, pela dotação inicial de cada agente e suas preferências.
Suponha que temos na sociedade apenas dois consumidores, denominados aqui por consumidor A e consumidor B. Essa economia ainda é composta
de apenas dois bens, chamados de bem 1 e bem 2. Isso pode parecer simplório, mas muito do que aprendemos nesse cenário simplificado se aplica a
situações mais complexas.
A dotação inicial é a alocação dos bens 1 e 2 com que os consumidores começam, isto é, que eles detêm antes do processo de trocas. É,
basicamente, a quantidade de cada um dos bens que cada consumidor possui inicialmente.
A dotação inicial para os consumidores será dada por:
Consumidor A
EA1, E
A
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Consumidor B
( )
Processing math: 100%
EB1, E
B
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba que, em nossa notação, o sobrescrito representa os consumidores, enquanto o subscrito, os bens de consumo.
A dotação total da economia será simplesmente a soma das dotações dos agentes econômicos:
ET = EA1 + E
B
1, E
A
2 + E
B
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por exemplo, podemos pensar que os dois agentes são João e Maria.
JOÃO
MARIA
Começa com duas maçãs e cinco laranjas.
Dessa forma,
EA1 = E
JOÃO
MAÇÃ = 2,
EA2 = E
JOÃO
LARANJA = 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tem inicialmente três maçãs e duas laranjas.
Dessa forma,
EB1 = E
MARIA
MAÇÃ = 3 ,
EB2 = E
MARIA
LARANJA = 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A caixa de Edgeworth, ferramental analítico desenvolvido pelo economista inglês Francis Ysidro Edgeworth, permite analisar os aspectos essenciais
dessa economia de troca com dois bens e dois consumidores. A caixa é uma representação gráfica em que cada ponto possui quatro coordenadas,
das quais duas serão referentes ao consumidor A e as outras duas ao consumidor B. Cada eixo da caixa representa a distribuição da dotação para
cada consumidor e cada bem. Assim, o tamanho da caixa será dado pela dotação total da economia.
( )
( )
Processing math: 100%
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 1 - A caixa de Edgeworth
Como podemos ver no gráfico 1, a caixa de Edgeworth é constituída de dois gráficos espelhados, em que para o agente A o gráfico é como da forma
corriqueira e para o agente B é na sua versão espelhada – estamos falando aqui dos gráficos em que representamos a restrição orçamentária e as
curvas de indiferença.
Para cada consumidor (ou agente), o eixo horizontal dará a dotação do bem 1 e o eixo vertical representa a dotação do bem 2.
 COMENTÁRIO
Observe que, enquanto a dimensão do eixo horizontal será igual à dotação total da economia do bem 1 eA1 + e
B
1 , a altura do eixo vertical será a
dotação total da economia em relação ao bem 2 eA2 + e
B
2 . O ponto e = e
A, eB assinalado na caixa representa a dotação inicial dos agentes A e
B, em que eA = eA1 , e
A
2 e e
B = eB1 , e
B
2 .
A caixa ainda é capaz de representar todas as possíveis distribuições dos bens dessa economia entre os dois consumidores, que chamaremos de
alocações factíveis.
Chamaremos a cesta de consumo de cada agente de xA = xA1 , x
A
2 e x
B = xB1 , x
B
2 representam, respectivamente, o consumo do bem 1 e do bem
2 pelo agente A. O mesmo vale para a cesta de consumo do outro agente. Assim, uma alocação dessa economia será o par de cestas de consumo 
x = xA, xB , atribuindo uma cesta de bens para cada consumidor da economia.
Dizemos que determinada alocação é factível se a quantidade consumida de um bem é igual ao seu total disponível. Ou seja, é o caso das alocações
que exaurem a dotação total de cada bem na economia.
Portanto, x = xA, xB é uma alocação factível se:
XA1 + X
B
1 = E
A
1 + E
B
1
 XA2 + X
B
2 = E
A
2 + E
B
2
No exemplo, qualquer alocação é factível se os agentes consomem cinco maçãs e sete laranjas.
Na verdade, podemostambém considerar alocações em que os consumidores não esgotam a dotação inicial dos bens, mas isso tem pouca relevância
prática e não trataremos neste tema.
Destacamos, ainda, que a própria dotação inicial é uma alocação factível. Além de conseguir representar graficamente a dotação inicial, a caixa de
Edgeworth é capaz de representar todas as possíveis alocações factíveis da economia.
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Processing math: 100%
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 2 - Alocação Factível na Caixa de Edgeworth
No gráfico 2, representamos a dotação inicial e = eA, eB e uma outra alocação fatível dada por x = xA, xB
 ATENÇÃO
Toda alocação factível dos bens entre os consumidores é representada graficamente por algum ponto da caixa.
No entanto, para caracterizarmos completamente essa economia, precisamos de mais do que o conjunto de alocações factíveis. As trocas entre os
indivíduos dependerão, além das dotações iniciais, das preferências dos agentes. Nesse sentido, para completarmos a descrição de uma economia de
troca com dois agentes, representaremos as preferências individuais por meio de funções de utilidade.
Supondo preferências bem comportadas, podemos desenhar curvas de indiferença dos agentes na caixa de Edgeworth. Para tanto, incluiremos as
curvas de indiferença do agente A de forma usual, enquanto as curvas de indiferença do agente B são incluídas de cabeça para baixo – ou seja,
espelhadas. Assim, ao nos movermos para o nordeste (para direita e para cima) obteremos as alocações preferidas pelo agente A. Já quando nos
movermos para o sudoeste (para esquerda e para baixo) estaremos nos movendo para as alocações preferidas pelo consumidor B. Veja:
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 3 – Curvas de Indiferença na Caixa de Edgeworth
Na medida em que, como aponta Varian (2012), a caixa de Edgeworth nos permite representar as cestas de consumo possíveis dos dois
consumidores, isto é, suas alocações factíveis, e as preferências dos agentes, ela nos fornece uma descrição completa da economia de trocas puras.
Tendo explicitado as dotações iniciais e as preferências de ambos os consumidores, uma questão fundamental pode ser feita: se os dois agentes
começam no ponto de dotação inicial “e” do gráfico 3, há incentivos para os consumidores trocarem bens? Ou ainda, é possível por meio das
trocas melhorar a situação de ambos os agentes?
Lembre-se de que estamos falando apenas de trocas voluntárias – ou seja, ninguém pode ficar em uma situação pior após as trocas.
( ) ( )
Processing math: 100%
Dado o ponto de dotação inicial, “e”, vamos entender como fica a situação de cada agente:
AGENTE A
Estará melhor com relação a essa dotação inicial em todas as alocações acima de sua curva de indiferença que passa pelo ponto de dotação
inicial. Observe que, para o consumidor A, qualquer ponto acima e à direita da curva de indiferença que passa pelo ponto “e” será melhor (lembre-se
de que o objetivo do consumidor é maximizar sua utilidade).
AGENTE B
Da mesma forma, ele estará melhor com relação à dotação inicial em todas as alocações abaixo de sua curva de indiferença, que passa pelo ponto de
dotação inicial. Para o consumidor B, qualquer ponto abaixo e à esquerda da curva de indiferença que corta o ponto “e” será melhor.
Assim, podemos concluir que a região em que ambos os consumidores estarão melhores é aquela que corresponde à interseção entre as áreas em
que ambos melhorariam, isto é, a área hachurada em cinza do gráfico 3. Por exemplo, uma troca que faça os agentes saírem do ponto “e” para o
ponto “x” faria com que ambos melhorassem.
Agora, será que existe algum ponto em que não seja mais possível melhorar a situação de ambos os agentes por meio das trocas? Ou, colocando de
forma alternativa, em qual ponto não há mais trocas que possam beneficiar ambos os agentes?
Podemos visualizar esse ponto na figura a seguir:
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 4 - Alocação Eficiente de Pareto
No ponto “x” da caixa de Edgeworth, o conjunto de alocações factíveis acima da curva de indiferença de A não intercepta o conjunto de alocações
factíveis acima da curva de indiferença de B. Portanto, qualquer troca que melhore a situação de um dos agentes automaticamente irá piorar a
situação do outro.
Qualquer ponto acima e à direita da curva de indiferença de A irá melhorar a situação do agente A, mas irá piorar a situação do agente B.
Qualquer ponto abaixo e à esquerda da curva de indiferença de B irá melhorar a situação do agente B, mas irá piorar a situação do agente A.
No ponto “x”, qualquer movimento que melhore uma das partes irá piorar a condição da outra.
Uma alocação como essa é conhecida como alocação eficiente no sentido de Pareto. Quando não existem trocas mutualmente vantajosas a serem
feitas, podemos dizer que a alocação é eficiente no sentido de Pareto. Ou, de outra maneira, em uma alocação eficiente no sentido de Pareto, não
há como fazer com que alguém melhore sem que outra pessoa piore, pois já esgotamos todas as trocas mutuamente vantajosas (ou que ao
menos não piorem ninguém, e melhorem para pelo menos um consumidor). Se ainda não tivermos esgotado essas trocas, estamos em uma alocação
ineficiente, pois não estamos aproveitando alguma possibilidade de ganho mútuo.
Processing math: 100%
 
Foto: Shutterstock.com
Observe uma característica importante da alocação eficiente no sentido de Pareto: as curvas de indiferença se tangenciam, em vez de se cruzar.
Afinal, se elas se cruzassem, poderíamos identificar uma área de ganho mútuo entre as curvas de indiferença.
No entanto, será o ponto “x” da caixa de Edgeworth a única alocação eficiente no sentido de Pareto?
A resposta é não. Na verdade, todas as alocações no ponto de tangência entre as curvas de indiferença dos indivíduos são alocações eficientes no
sentido de Pareto.

Perceba que no ponto de tangência todos os ganhos de troca já foram exauridos: não há como melhorar a situação de um consumidor, sem piorar a
do outro.

Por outro lado, se estivermos em um ponto de não tangência, então, há espaço para trocas mutuamente vantajosas, não sendo, portanto, uma
alocação eficiente no sentido de Pareto (a exceção são os casos de fronteira em que um dos agentes não consome um dos bens. Apesar de não
serem pontos de tangência entre as curvas de indiferença, são alocações eficiente no sentido de Pareto; não focaremos nesse caso neste conteúdo.).
Portanto, há várias alocações que são eficientes no sentido de Pareto dentro da caixa de Edgeworth. Denominamos o conjunto de todas as
alocações eficientes no sentido de Pareto de curva de contrato. Como podemos ver na figura anterior, a curva de contrato pode se estender do ponto
de origem do consumidor A até o ponto de origem do consumidor B, compreendendo todos os pontos de tangência entre as curvas de indiferença dos
dois agentes.
Devemos notar ainda que a curva de contrato não depende da dotação inicial, mas apenas dos pontos de tangência entre as curvas de
indiferença.
Como as trocas nessa economia são feitas de forma voluntária, se a economia se encontra em um ponto eficiente no sentido de Pareto, não será
possível mudar essa alocação (uma mudança pioraria a situação de pelo menos um dos consumidores). Os pontos da curva de contrato são, portanto,
candidatos naturais ao equilíbrio da economia. No entanto, apesar de as trocas terminarem sobre a curva de contrato, ainda não podemos especificar
em qual posição.
As alocações eficientes no sentido de Pareto também podem ser examinadas por meio de um problema de maximização de utilidade. Uma alocação
eficiente no sentido de Pareto é aquela que maximiza a utilidade de um agente, dado um nível fixo de utilidade do outro consumidor. Note que essa
maximização necessariamente exaure os ganhos mútuos de troca e, portanto, caracteriza as alocações eficientes de Pareto.
Assim, o problema é maximizar a utilidade de um consumidor sujeitoà utilidade do outro agente e à factibilidade das alocações:
 MAX
XA1 , X
A
2 , X
B
1 , X
B
2
 UA XA1, X
A
2( )
Processing math: 100%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
UB XB1, X
B
2 = Ū
XA1 + X
B
1 = E
A
1 + E
B
1
XA2 + X
B
2 = E
A
2 + E
B
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sejam λ, µ1 e µ2 os multiplicadores de Lagrange das restrições. O lagrangiano do problema pode ser escrito como:
L = UA XA1, X
A
2 - Λ U
B XB1, X
B
2 - Ū
-Μ1 X
A
1 + X
B
1 - E
A
1 - E
B
1 - Μ2 X
A
2 + X
B
2 - E
A
2 - E
B
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela condição de primeira ordem em relação ao consumo de ambos os bens dos dois consumidores, temos que no ponto de ótimo:
CONSUMIDOR A
∂ L
∂ xA1
=
∂ uA
∂ xA1
- µ1 = 0
∂ L
∂ xA2
=
∂ uA
∂ xA2
- µ2 = 0
CONSUMIDOR B
∂ L
∂ xB1
= - λ
∂ uB
∂ xB1
- µ1 = 0
∂ L
∂ xB2
= - λ
∂ uB
∂ xB2
- µ2 = 0
Ora, dividindo a primeira CPO pela segunda e a terceira pela quarta, obtemos:
TMSA =
∂ UA
∂ XA1
∂ UA
∂ XA2
=
Μ1
Μ2
( )
( ) ( ( ) )
( ) ( )
| |
Processing math: 100%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TMSB =
∂ UB
∂ XB1
∂ UB
∂ XB2
=
Μ1
Μ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que as razões entre utilidades marginais são simplesmente as taxas marginais de substituição para cada agente. Temos, então:
TMSA = TMSB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, em uma alocação eficiente no sentido de Pareto, as taxas marginais de substituição entre os dois bens devem ser iguais entre os dois
consumidores. Isso significa exatamente que a inclinação das curvas de indiferença dos dois consumidores deve ser igual, ou seja, há tangência
entre as curvas de indiferença na alocação eficiente. Caso contrário, haveria alguma troca que melhoraria a condição de um dos consumidores, sem
piorar a do outro.
Por fim, vale destacar que o caso simples de apenas dois consumidores e dois bens pode ser generalizado para o caso mais geral com vários
consumidores e bens. No entanto, como a exposição dos casos mais gerais seria mais complexa, optamos pela simplificação, sem perda das
principais conclusões do processo de transação em uma economia de troca pura.
EQUILÍBRIO GERAL, LEI DE WALRAS E EFICIÊNCIA
Até o momento, analisamos uma economia extremamente simples, caracterizada, basicamente, pelas dotações iniciais dos indivíduos e por suas
preferências. Vimos que, nessa economia de troca pura, os agentes têm incentivo à troca até chegarem a uma alocação eficiente no sentido de
Pareto.
Apesar das alocações eficientes no sentido de Pareto (a curva de contrato) serem candidatas naturais ao equilíbrio dessa economia, ainda não
podemos afirmar precisamente qual será o equilíbrio. Para obtermos uma descrição mais precisa do equilíbrio da economia, iremos supor, agora, que
as transações serão realizadas em um mercado perfeitamente competitivo.
Todas as transações entre os indivíduos serão intermediadas, agora, por um sistema de preços. Cada consumidor agirá de modo a maximizar seu
bem-estar, dados os preços de mercado. Cada consumidor, agindo como comprador ou vendedor, não tem poder para afetar os preços de cada
mercado. Vamos continuar supondo que não exista produção nessa economia: cada consumidor recebe uma dotação inicial que pode ser
transacionada no mercado para adquirir outras cestas de bens.
| |
| | | |
Processing math: 100%
 
Imagem: Shutterstock.com
O vetor de preços será o instrumento alocativo dessa economia, pois determinará o valor de cada dotação inicial e, por conseguinte, as possibilidades
de consumo de cada agente econômico.
O equilíbrio nesse sistema de mercado é alcançado quando a demanda se iguala à oferta, aos preços prevalecentes, em todos os mercados
simultaneamente.
Vamos continuar supondo aqui, para simplificar, que temos apenas dois bens e dois consumidores. Cada consumidor tem sua dotação inicial e suas
preferências. Introduzimos, agora, um vetor de preços para os bens dessa economia (p1, p2). Diante desses preços, cada agente decidirá o quanto
demandar de cada bem, dado o valor da sua dotação inicial (que funcionará como uma restrição orçamentária).
Portanto, o problema da escolha do consumidor ocorrerá do seguinte modo:
CONSUMIDOR A
CONSUMIDOR B
CONSUMIDOR A
MAX
XA1 , X
A
2
 UA XA1, X
A
2 S. A. P1X
A
1 + P2X
A
2 ≤ P1E
A
1 + P2E
A
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONSUMIDOR B
MAX
XB1 , X
B
2
 UB XB1, X
B
2 S. A. P1X
B
1 + P2X
B
2 ≤ P1E
B
1 + P2E
B
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que eA1 , e
A
2 e e
B
1 , e
B
2 são as dotações iniciais dos agentes. Resolvendo o problema do consumidor, obtemos as demandas dos
dois agentes pelos bens 1 e 2:
( )
( )
( ) ( )
Processing math: 100%
xA1 p1, p2 , x
A
2 p1, p2 e x
B
1 p1, p2 , x
B
2 p1, p2
Perceba, porém, que a obtenção das demandas dos dois bens pelos consumidores por esse problema de otimização não garante que a economia
esteja em equilíbrio. O equilíbrio acontecerá quando a demanda pelos bens se igualar a sua oferta. A seguir, ilustramos um caso em que a economia
não está em equilíbrio, pois há um excesso de demanda pelo bem 2 e um excesso de oferta pelo bem 1.
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 5 - Vetor de Preços e Demandas na Caixa de Edgeworth
Perceba que no gráfico 5, cada agente escolhe a cesta de consumo que maximiza sua utilidade sujeito à restrição orçamentária (a curva de indiferença
tangencia a reta orçamentária). No entanto, para essas cestas de consumo, a oferta do mercado não se iguala a sua demanda: a demanda total pelo
bem 2 supera sua oferta, enquanto a demanda total pelo bem 1 é menor que sua oferta.
 COMENTÁRIO
Colocando de outra maneira, o consumidor A é um demandante líquido do bem 2, deseja consumir mais que sua dotação pelo produto. Já o
consumidor B é um ofertante líquido do bem 2 (deseja consumir menos que sua dotação pelo bem). No entanto, a demanda líquida do consumidor A
pelo bem 2 é maior do que a quantidade ofertada pelo consumidor B. Assim, há um excesso de demanda pelo bem 2. E, por outro lado, há um
excesso de oferta do bem 1.
Concluímos que, com os preços representados no gráfico 5, a economia não está em equilíbrio. Como mostra Kreps (1990), o equilíbrio de
mercado, ou equilíbrio competitivo, ou equilíbrio walrasiano caracteriza-se por um conjunto de preços de equilíbrio e alocações de equilíbrio,
tais que:
CONDIÇÃO I
CONDIÇÃO II
CONDIÇÃO I
Os agentes escolhem a cesta de consumo ótima, obtida a partir do seu problema de maximização de utilidade sujeito à restrição orçamentária.
CONDIÇÃO II
A demanda se iguala à oferta para todos os bens da economia.
Perceba que, em nosso exemplo do gráfico 5, apesar de os preços e de as alocações satisfazerem a primeira condição, não satisfazem a segunda.
Por isso, não representam uma situação de equilíbrio competitivo.
O equilíbrio geral competitivo também pode ser definido em relação à função de excesso de demanda agregada. Para uma economia com dois
agentes e dois bens, a função de excesso de demanda agregada ocorrerá pela soma das demandas líquidas dos agentes (diferença entre a
demanda e a dotação) por cada bem da economia.
( ) ( ) ( ) ( )
Processing math: 100%
Algebricamente, podemos escrever que a função excesso de demanda agregada para os bens será:
BEM 1
Z1 P1, P2 = X
A
1 P1, P2 - E
A
1 + X
B
1 P1, P2 - E
B
1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou, reescrevendo:
Z1 P1, P2 = X
A
1 P1, P2 + X
B
1 P1, P2 - E
A
1 + E
B
1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize arolagem horizontal
BEM 2
Z2 P1, P2 = X
A
2 P1, P2 - E
A
2 + X
B
2 P1, P2 - E
B
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou, reescrevendo:
Z1 P1, P2 = X
A
1 P1, P2 + X
B
1 P1, P2 - E
A
1 + E
B
1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que as demandas são obtidas do problema de otimização com restrição dos consumidores, isto é, são as demandas ótimas dos agentes.
Além disso, é importante salientar que z1 p1, p2 = 0 e z2 p1, p2 = 0 equivale a dizer que, aos preços (p1,p2), a demanda de mercado é igual à
oferta de mercado para os bens 1 e 2. Com isso, obtemos uma outra versão para a condição (ii) acima.
 IMPORTANTE
Um vetor de preços p *1, p
*
2 é chamado de equilíbrio walrasiano se z1 p
*
1, p
*
2 = 0 e z2 p
*
1, p
*
2 = 0. Ou seja, um vetor de preços é um equilíbrio
geral competitivo se ele iguala a demanda agregada à oferta agregada em todos os mercados da economia, supondo que os agentes estão
otimizando, o que está implícito ao usarmos as funções demanda, que são derivadas a partir do problema de maximização de utilidade.
No entanto, essa nossa definição é mais forte do que a necessária. Se z1 p
*
1, p
*
2 = 0, então z2 p
*
1, p
*
2 = 0 como preconiza a Lei de Walras. De
forma mais geral, a Lei de Walras afirma o seguinte:
Seja uma economia com n mercados. Se aos preços p*, n – 1 mercados estão em equilíbrio, então, necessariamente o último mercado também estará
em equilíbrio. Isto é, se z1(p*) = 0, ..., zn-1(p*) = 0, então zn(p*) = 0.
Obviamente, no caso de dois bens necessitaremos apenas verificar o equilíbrio de um dos mercados. Mostraremos a validade da Lei de Walras para
esse caso mais simples.
Dadas as demandas ótimas dos agentes A e B para os bens 1 e 2, teremos o seguinte:
( ) [ ( ) ] [ ( ) ]
( ) [ ( ) ( )] [ ]
( ) [ ( ) ] [ ( ) ]
( ) [ ( ) ( )] [ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Processing math: 100%
P1X
A
1 + P2X
A
2 = P1E
A
1 + P2E
A
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
P1X
B
1 + P2X
B
2 = P1E
B
1 + P2E
B
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Somando as equações dos agentes A e B, obtemos:
P1X
A
1 + P2X
A
2 + P1X
B
1 + P2X
B
2 = P1E
A
1 + P2E
A
2 + P1E
B
1 + P2E
B
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Colocando os preços em evidência, podemos reescrever como:
P1 X
A
1 + X
B
1 - E
A
1 + E
B
1 + P2 X
A
2 + X
B
2 - E
A
2 + E
B
2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E pela definição de função de excesso de demanda agregada, temos:
P1Z1 P1, P2 + P2Z2 P1, P2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, se p *1, p
*
2 é um equilíbrio walrasiano para o mercado do bem 1, isto é, z1 p
*
1, p
*
2 = 0, então:
P1Z1 P
*
1, P
*
2 + P2Z2 P
*
1, P
*
2 = 0
0 + P2Z2 P
*
1, P
*
2 = 0
Z2 P
*
1, P
*
2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[( ) ( )] [( ) ( )]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Processing math: 100%
Assim, mostramos que, se a demanda pelo bem 1 for igual à oferta pelo bem 1, então teremos a garantia que o mercado do bem 2 também estará em
equilíbrio (a oferta será igual à demanda).
Após definirmos o equilíbrio competitivo, é importante ressaltarmos que os preços de equilíbrio são dados de forma relativa, uma vez que, se
multiplicarmos todos os preços por uma constante, não mudaremos a demanda e a oferta de nenhum dos consumidores.
Portanto, para encontrarmos os preços do equilíbrio competitivo, convém igualarmos um dos preços a 1, e calcularmos os outros preços como uma
medida relativa ao preço numerário. O bem cujo preço fazemos igual a 1 é chamado de bem numerário, e podemos sempre obter isso: se o preço
desse bem é igual a p *1, basta dividir todos os preços da economia por p
*
1, o que podemos fazer exatamente porque multiplicar todos os preços por
uma constante positiva (como o recíproco de p *1) não altera o equilíbrio.
A existência de um equilíbrio competitivo pode ser demonstrada matematicamente sob determinadas hipóteses. No entanto, vai além do escopo de
nossa análise. De forma geral, podemos dizer que a condição básica para a existência de um vetor de preços tal que a demanda seja igual à oferta é
que a função de excesso de demanda agregada seja contínua.
Como aponta Varian (2012), isso significa, de modo geral, que:
 PEQUENAS VARIAÇÕES NOS PREÇOS DEVEM RESULTAR EM PEQUENAS
VARIAÇÕES NA DEMANDA DOS AGENTES ECONÔMICOS.
Em última instância, para termos uma função de excesso de demanda agregada contínua, os consumidores têm de possuir utilidades bem
comportadas (contínuas, estritamente crescentes, e côncavas).
Os preços de equilíbrio p *1, p
*
2 e as alocações de equilíbrio x
A
1 p
*
1, p
*
2 , x
A
2 p
*
1, p
*
2 e x
B
1 p
*
1, p
*
2 , x
B
2 p
*
1, p
*
2 podem ser vistas na caixa de
Edgeworth, como no gráfico 6. Nesse caso, não há excesso nem de demanda, nem de oferta. Mais precisamente, aos preços de equilíbrio, a demanda
por cada um dos bens é exatamente igual à sua oferta.
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 6 - Equilíbrio Competitivo na Caixa de Edgeworth
Aos preços de equilíbrio, a quantidade total demandada por um bem é igual à sua oferta. Uma propriedade interessante do equilíbrio de mercado é
que as curvas de indiferença dos dois indivíduos tangenciarão a reta orçamentária no mesmo ponto, fazendo com que suas curvas de indiferença se
tangenciem.
Mais precisamente, sabemos que, em equilíbrio, as taxas marginais de substituição dos dois consumidores serão iguais à razão entre os preços (se
você não se lembra disso, reveja a teoria do consumidor!):
TMSA =
∂ UA
∂ XA1
∂ UA
∂ XA2
=
P *1
P *2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
| |
Processing math: 100%
TMSB =
∂ UB
∂ XB1
∂ UB
∂ XB2
=
P *1
P *2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, obtemos:
TMSA = TMSB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Lembre-se de que, no caso da economia de troca pura, as alocações eficientes no sentido de Pareto aconteciam no ponto de tangência entre as
curvas de indiferença dos consumidores. Portanto, as condições que descrevem a eficiência de Pareto são as mesmas que descrevem o equilíbrio
competitivo!
Com isso, chegamos a um dos principais resultados do equilíbrio geral competitivo: toda alocação de equilíbrio de mercado é eficiente no sentido
de Pareto.
Como analisaremos posteriormente, esse resultado é o primeiro teorema do bem-estar. Perceba que, no gráfico 6, o conjunto de alocações preferidas
dos agentes A e B não se interceptam. Portanto, não há mais trocas a serem feitas de modo a melhorar a situação de ambos os consumidores. De
outra maneira, não há alocações que ambos prefiram à alocação de equilíbrio. Logo, o equilíbrio é eficiente no sentido de Pareto.
Vamos concluir esta seção com um exemplo simples para ilustrar. Suponha que o consumidor A tenha função utilidade u xA1 , x
A
2 = 2ln x
A
1 + ln x
A
2 ,
enquanto o consumidor B tenha utilidade u xB1 , x
B
2 = ln x
B
1 + 2ln x
B
2 .
Temos então para a taxa marginal de substituição:
Do consumidor A
TMSA =
∂ UA
∂ XA1
∂ UA
∂ XA2
=
2
XA1
1
XA2
=
2XA2
XA1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Do consumidor B
TMSB =
∂ UB
∂ XB1
∂ UB
∂ XB2
=
1
XB1
2
XB2
=
XB2
2XB1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
| |
| | | |
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
| |
| |
Processing math: 100%
A curva de contrato é dada por TMSA = TMSB . Portanto:
2XA2
XA1
=
XB2
2XB1
⟹ 4XA2X
B
1 = X
A
1X
B
2
 Atenção! Para visualização completa daequação utilize a rolagem horizontal
Podemos sempre escrever xA1 + x
B
1 = e1, ou seja, a soma das demandas individuais é igual ao total e1 disponível na economia. Analogamente, 
xA2 + x
B
2 = e2.
Podemos, então, reescrever a curva de contrato:
4XA2 E1 - X
A
1 = X
A
1 E2 - X
A
2
4XA2E1 - 4X
A
2X
A
1 = X
A
1E2 - X
A
1X
A
2
4XA2E1 - 3X
A
2X
A
1 = X
A
1E2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se as dotações iniciais são, por exemplo, e1 = e2 = 10, essa expressão se reduz a 40x
A
2 - 3x
A
2x
A
1 = 10x
A
1 .
Podemos, ainda, dividir todos os termos por xA2x
A
1
40
XA1
- 3 =
10
XA2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a curva de contrato. Se xA1 = 4, então essa equação permite obter x
A
2 =
10
7 .
Mas qual é o equilíbrio de mercado?
Precisamos definir alocações iniciais. Digamos que sejam eA1 , e
A
2 = e
B
1 , e
B
2 = (5,5). Ou seja, cada agente tem metade da dotação inicial de cada
bem na economia e, portanto, a renda de cada um é 5p1 + 5p2.
Vamos obter as demandas de cada agente (você deve ter visto isso antes de estudar este conteúdo!). O agente 1 maximiza sua utilidade 
2ln xA1 + ln x
A
2 sujeito a p1x
A
1 + p2x
A
2 = 5p1 + 5p2.
A solução é igual a TMS à razão de preços:
TMSA =
∂ UA
∂ XA1
∂ UA
∂ XA2
=
2
XA1
1
XA2
=
2XA2
XA1
=
P1
P2
⟹ XA1 =
2P2X
A
2
P1
.
| | | |
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
| |
Processing math: 100%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos substituir esse valor na restrição orçamentária:
P1X
A
1 + P2X
A
2 = 5P1 + 5P2 ⟹ P1
2P2X
A
2
P1
+ P2X
A
2 = 5P1 + 5P2 ⟹ 2P2X
A
2 + P2X
A
2 = 5P1 + 5P2 ⟹ 3
⟹ XA2 =
1
3
5P1 + 5P2
P2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Encontramos, então, a demanda do agente A pelo bem 2. Substituindo novamente na restrição orçamentária, encontraremos a demanda desse agente
pelo bem 1:
XA1 =
2
3
5P1 + 5P2
P1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Você deve reconhecer aí as demandas Cobb-Douglas. Fazendo exercício análogo para o agente 2, obtemos:
XB1 =
1
3
5P1 + 5P2
P1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
XB2 =
2
3
5P1 + 5P2
P2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos, agora, impor a condição de oferta igual a demanda. Vamos usar o mercado do bem 1: temos xA1 + x
B
1 = 10, ou seja:
2
3
5P1 + 5P2
P1
+
1
3
5P1 + 5P2
P1
= 10
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )Processing math: 100%
10P1 + 10P2 + 5P1 + 5P2 = 30P1
15P1 + 15P2 = 30P2
15P1 = 15P2
P1 = P2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Concluímos, então, que os bens terão o mesmo preço. Observe que não precisamos repetir o exercício para o mercado do bem 2, que, pela Lei de
Walras, dará o mesmo resultado (faça como exercício!). Podemos escolher o bem como numerário e fazer p1=1. Logo, a equação acima nos dá p2=1.
 IMPORTANTE
Ao impor a condição de oferta igual à demanda, encontramos os preços de mercado. Ou seja, os preços são definidos exatamente para fazer oferta
igual a demanda! Preços baixos demais geram excesso de demanda, e incentivo a aumento de preços; analogamente, preços muito altos geram
excesso de oferta, e incentivo a redução.
Obtemos finalmente as demandas individuais:
Agente A
XA1 =
2
3
5P1 + 5P2
P1
=
20
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
XA2 =
1
3
5P1 + 5P2
P2
=
10
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O agente A é demandante líquido do bem 1, pois sua demanda é maior que sua dotação inicial; e é ofertante líquido do bem 2.
Agente B
( )
( )
Processing math: 100%
XB1 =
1
3
5P1 + 5P2
P1
=
10
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
XB2 =
2
3
5P1 + 5P2
P2
=
20
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O agente B é exatamente o contrário: demandante líquido do bem 2 e ofertante líquido do bem 1. Aos preços de mercado, não há excesso de
demanda ou de oferta. Concluímos, assim, nosso exercício.

UM EXEMPLO ALGÉBRICO DE EQUILÍBRIO COMPETITIVO
Neste vídeo, apresentamos um exemplo geral de como encontrar os preços e as alocações de equilíbrio competitivo em uma economia de trocas
puras, isto é, sem produção.
EFICIÊNCIA NA PRODUÇÃO E LIVRE COMÉRCIO
Até o momento, restringimos nossa análise em uma economia de trocas puras sem produção, em que a quantidade de bens disponíveis para consumo
dos indivíduos era fixa. Agora, introduziremos a produção no estudo do equilíbrio geral. Nesse contexto, a oferta de bens na economia dependerá das
decisões de produção das firmas. Assim como na economia de trocas, o sistema de preços funcionará como o mecanismo de ajuste do equilíbrio da
economia equalizando a demanda e a oferta dos mercados.
( )
( )
Processing math: 100%
Para introduzirmos a produção no modelo de equilíbrio geral da maneira mais simples possível, iremos supor uma economia em que haja apenas dois
agentes econômicos tomadores de preços (sem capacidade de influenciar os preços de mercado): um consumidor e uma firma. Além disso, haverá
apenas dois bens nessa economia: o trabalho (ou lazer) do consumidor e um bem de consumo produzido pela firma. Muitas vezes, esse tipo de
economia é denominado “economia de Robinson Crusoé”, pois você pode imaginar uma pessoa em uma ilha deserta produzindo (fazendo papel da
firma) e consumindo (fazendo papel do consumidor). Para ficarmos na metáfora literária, imagine uma pessoa perdida em uma ilha deserta agindo
como uma empresa produtora de cocos e um consumidor (Robinson Crusoé) de cocos e de lazer.
A empresa de cocos, diante dos preços do trabalho e dos cocos, decidirá quanto demandar do insumo trabalho e quanto produzir de coco, com intuito
de maximizar seu lucro. Além do salário por seu trabalho na empresa, Robinson Crusoé receberá o lucro da empresa (ele é o único acionista da
empresa de coco, afinal, está sozinho na ilha), que formarão sua restrição orçamentária. Com base nessa restrição, o consumidor Robinson Crusoé
decidirá quanto demandar de lazer e cocos para seu consumo.
Primeiramente, vamos focar no problema da firma produtora de cocos. A firma utiliza apenas o fator trabalho para produzir seu bem de consumo
(cocos), tendo uma função produção do tipo c = f(h).
C = F(H)
Onde c é quantidade de cocos produzida e h é a demanda por horas de trabalho da firma.
 COMENTÁRIO
Quanto maior for o número de horas contratadas, h, menor será o tempo de lazer disponível para o consumidor.
Supondo os preços dos cocos (p) e do trabalho (w) como dados, o problema de maximização de lucros da empresa será:
MAX
H ≥ 0
 PF(H) - WH
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela condição de primeira ordem do problema da firma, sabemos que, em equilíbrio:
PF'(H) - W = 0
F'(H) =
W
PProcessing math: 100%
javascript:void(0)
PMGH =
W
P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, em equilíbrio, a produtividade marginal do trabalho (f ', ou PMgh) é igual aos salários sobre o preço – essa razão é chamada de salário real,
pois nos informa o poder de compra do trabalhador (quantos cocos podem ser comprados com o salário w?).
Graficamente, o equilíbrio ocorrerá no ponto de tangência entre a função de produção e a reta isolucro mais elevada (se não se lembrar disso, reveja a
teoria da firma!). Como o lucro é π = pf(h) - wh, então, resolvendo para f(h) teremos todas as combinações das horas trabalhadas e cocos que geram
um lucro π:
F(H) = 
Π
P +
W
P H
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 7 - Maximização de Lucro da Firma
Portanto, dados os preços, a firmadecidiu o quanto demandar de trabalho de modo a maximizar seu lucro. Para h*, a demanda de trabalho de
equilíbrio, a firma produzirá c* = f(h*) cocos, obtendo um lucro de π* = pf(h*) - wh*.
Esse lucro será todo direcionado ao consumidor Robinson Crusoé, que decidirá como alocar seus recursos entre consumo de cocos (c) e lazer (l).
Portanto, o problema do consumidor Robinson Crusoé será:
MAX
C ≥ 0 , L ≥ 0
 U(C, L)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
PC ≤ WH + Π*
L = H - H
Processing math: 100%
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
L = H - H
Em que H é o total de horas disponíveis para trabalho – se quiser, você poderá pensar em termos diários e fazer H=24 horas.
Devemos observar que a restrição orçamentária informa que o total de gastos com cocos do nosso agente ilhado não pode ser maior que o valor que
ele ganha trabalhando na empresa mais os lucros auferidos. O problema pode ser reescrito como:
MAX
C ≥ 0 , L ≥ 0
 U(C, L)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito a:
PC ≤ W H - L + Π*
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 COMENTÁRIO
Observe que essa restrição pode ser reescrita como:
PC + WL ≤ WH + Π*
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Do lado esquerdo, temos o gasto do consumidor com bens de consumo (pc) e com lazer (wl). Do lado direito, temos sua renda. Observe que o preço
do lazer é exatamente o salário: o custo de oportunidade de uma hora de lazer é uma hora de salário de que se abre mão.
Montando o lagrangiano, temos:
L = U(C, L) - Λ PC - WH + WL - Π*
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela condição de primeira ordem do problema de otimização:
∂ L
∂ L =
∂ U ( C , L )
∂ L - ΛW = 0
( )
( )
Processing math: 100%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∂ L
∂ C =
∂ U ( C , L )
∂ C - ΛP = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou ainda,
∂ U ( C , L )
∂ L = ΛW
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∂ U ( C , L )
∂ C = ΛP
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, em equilíbrio, a taxa marginal de substituição entre lazer e cocos será tal que:
|TMS| =
∂ U ( C , L )
∂ L
∂ U ( C , L )
∂ C
=
W
P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o problema do consumidor é simétrico entre a escolha do tempo de lazer ou a escolha do tempo de trabalho, graficamente a solução do
problema do consumidor pode ser apresentada usando curvas de indiferença entre consumo de cocos e trabalho. Neste caso, a curva de indiferença
terá inclinação positiva, pois trabalho é um mal e consumo de cocos, um bem. O ponto de equilíbrio será aquele em que a curva de indiferença mais
elevada tangencie a restrição orçamentária.
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 8 – Maximização de Utilidade do Consumidor
Assim, podemos dizer que tanto o problema da firma quanto o problema do consumidor já estão caracterizados. Em equilíbrio, a firma produzirá no
ponto em que a produtividade marginal das horas trabalhadas se iguala à razão w/p. Da mesma forma, o consumidor alocará seus recursos entreProcessing math: 100%
consumo de cocos e lazer de modo a igualar a taxa marginal de substituição a essa mesma razão.
Assim, temos que, em equilíbrio:
PMGH = |TMS| =
∂ U ( C , L )
∂ L
∂ U ( C , L )
∂ C
=
W
P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou, de outra maneira, em equilíbrio, a inclinação da função de produção da firma será igual à inclinação da curva de indiferença do
consumidor. Sendo assim, aos preços de equilíbrio (p*, w*), o equilíbrio geral competitivo em um mercado com produção será dado no ponto de
tangencia entre a curva de indiferença, a reta orçamentária e a função de produção:
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 9 - Equilíbrio no Consumo e na Produção
O equilíbrio geral competitivo com produção caracteriza-se por um conjunto de preços de equilíbrio e alocações de equilíbrio, tais que:
OS AGENTES ESCOLHEM A CESTA DE CONSUMO ÓTIMA DE SEU PROBLEMA DE
MAXIMIZAÇÃO DE UTILIDADE SUJEITO À RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA.
AS FIRMAS DETERMINAM SUA OFERTA COM BASE NO PROBLEMA DE MAXIMIZAÇÃO
DE LUCROS.
A DEMANDA SE IGUALA À OFERTA (PRODUÇÃO + DOTAÇÃO) PARA TODOS OS BENS
DA ECONOMIA.
Perceba que no exemplo anterior, aos preços de equilíbrio não existe excesso de demanda ou oferta para nenhum dos bens.
A economia encontra-se em equilíbrio já que aos preços (p*, w*), a demanda maximizadora de utilidade do consumidor se iguala à oferta
maximizadora de lucro da firma.
Ou ainda, aos preços (p*, w*), as funções de excesso de demanda agregada são iguais a zero para todos os mercados.
Vamos ilustrar o que vimos com um exemplo simples.
Processing math: 100%
Exemplo
Suponha que a função utilidade do consumidor seja u(c, l) = c × l, e a função de produção da firma seja f(h) = √h.
Como vimos, a solução do problema da firma é dada por:
F'(H) =
W
P ⟹
1
2√H
=
W
P ⟹ H =
P
2W
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
A PRODUÇÃO É:
F(H) = √H =
P
2W
2
=
P
2W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O LUCRO É:
Π = P
P
2W - W
P
2W
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A RENDA DO CONSUMIDOR É:
W H - L + Π* = W(24 - L) + P
P
2W - W
P
2W
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O consumidor maximiza sua função utilidade u(c,l)=c×l sujeito à restrição orçamentária:
PC = W(24 - L) + P
P
2W - W
P
2W
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
√( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Processing math: 100%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Para simplificar, observe que a restrição orçamentária permite escrever:
C =
1
P W(24 - L) + P
P
2W - W
P
2W
2
=
W
P (24 - L) +
P
2W - 
P
4W =
W
P (24 - L) +
P
4W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo esse valor de c na função utilidade, vemos que o problema do consumidor se resume a maximizar:
U C, L =
W
P (24 - L) +
P
4W × L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos agora apenas uma variável: lazer l.
A condição de primeira ordem é:
W
P (24 - 2L) +
P
4W = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Rearranjando, obtemos:
L = 12 +
P2
8W2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a demanda por lazer do consumidor. Logo, sua oferta de horas de trabalho é:
24 - L = 12 -
P2
8W2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em equilíbrio, essa oferta deve ser igual à demanda da firma por horas de trabalho: 24 - l = h.
Portanto:
12 -
P2
8W2
=
P
2W
2
( ( ) ( ) ) ( )
( ) ( )
( )Processing math: 100%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Rearranjando, obtemos:
P
W = √32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo nas expressões de horas de lazer, obtemos l = 16: o consumidor demanda 16 horas de lazer por dia, e trabalha oito horas. Você pode
obter o mesmo resultado substituindo a razão p /w na demanda da firma por horas de trabalho.
 SAIBA MAIS
Se em uma economia sem produção a condição básica para a existência do equilíbrio eram funções utilidades bem comportadas, a introdução da
produção acrescenta um condicionante fundamental: convexidade no conjunto de produção das firmas. Caso haja retornoscrescentes de escala, por
exemplo, o conjunto de produção não será convexo, implicando a não existência de um conjunto de preços de equilíbrio.
Já mostramos que, no caso de uma economia de trocas puras, o equilíbrio competitivo é eficiente no sentido de Pareto. Chamamos esse resultado de
primeiro teorema do bem-estar. E o mesmo resultado vale para uma economia com produção, ou seja, todo equilíbrio de mercado em uma
economia com produção é eficiente no sentido de Pareto.
Perceba que, no exemplo, uma alocação de consumo de cocos e lazer é um equilíbrio competitivo se, e somente se, maximiza a utilidade do
consumidor sujeito à restrição orçamentária (que, em última instância, será determinada pela tecnologia e dotação da economia). Portanto, essa
alocação seria a mesma caso um planejador central benevolente determinasse a combinação de cocos e lazer que maximizasse o bem-estar do
indivíduo. Concluímos, assim, a validade do primeiro teorema do bem-estar: qualquer equilíbrio walrasiano é eficiente no sentido de Pareto.
O modelo de equilíbrio geral com produção que analisamos é o mais simples possível, tendo apenas um consumidor, um fator de produção e um
produto final. No entanto, os resultados obtidos podem ser generalizados para o caso de um modelo com inúmeros consumidores e vários bens.
Para exemplificarmos como os resultados podem ser generalizados, apresentaremos um modelo com apenas um consumidor, dois fatores de
produção e dois bens finais.
Exemplo
Suponha que temos dois produtos, X e Y, produzidos por duas firmas distintas, usando apenas dois fatores de produção: capital (K) e trabalho (L).
Além disso, as quantidades disponíveis para os fatores de produção são fixas. Podemos representar as firmas em uma caixa de Edgeworth com suas
respectivas isoquantas (combinação de capital e trabalho que produzem determinada quantia do bem final).
 COMENTÁRIO
Os pontos de tangência entre as isoquantas das firmas que produzem os bens X e Y representam os pontos de eficiência produtiva na alocação dos
insumos entre as firmas. Nesses pontos, qualquer realocação dos fatores de produção entre as empresas levará a piora de situação de, ao menos,
uma das firmas. Perceba que, nos pontos de eficiência produtiva, as taxas marginais de substituição dos insumos serão iguais entre as firmas.
Como as isoquantas representam a combinação de capital e trabalho para produzir determinada quantia de um bem final, a curva de contrato na
produção do gráfico 10 dará a quantidade máxima produzida do bem Y, dada uma quantidade produzida do bem X.
Processing math: 100%
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 10 – Caixa de Edgeworth da Eficiência na Produção
Podemos usar essa informação para construirmos a fronteira de possibilidades de produção, que mostra o conjunto das diferentes combinações de
produção de dois bens produzidos com quantidades fixas de insumos alocados eficientemente. Alternativamente, podemos dizer que a fronteira de
possibilidades de produção fornece a quantidade máxima de um bem que a sociedade pode produzir, dada qualquer quantidade do outro bem,
supondo alocação eficiente dos insumos. Assim, com a curva de contrato na produção da caixa de Edgeworth (gráfico 10), podemos construir a
fronteira de possibilidades de produção a seguir:
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 11 – Conjunto de Possibilidades de Produção
Cada ponto da fronteira de possiblidades de produção corresponde a um ponto da curva de contrato na produção. No entanto, esses pontos fazem
parte de um conjunto maior denominado de conjunto de possibilidades de produção, que dá as diferentes combinações possíveis da produção dos
dois bens, independentemente de os insumos serem alocados eficientemente, ou não. Isto é, corresponde a todos os pontos da caixa de Edgeworth.
Portanto, a fronteira de possibilidades de produção é um subconjunto do conjunto de possibilidades de produção em que os insumos
produtivos são alocados eficientemente.
A inclinação negativa da fronteira de possibilidades de produção decorre da escassez de recursos da economia. Para produzir um pouco mais do bem
Y, necessito reduzir a produção do bem X (a quantidade de insumo disponível é fixa). A inclinação negativa da fronteira de possiblidades de produção
é chamada de taxa marginal de transformação (TMT), que mede quanto de um bem podemos obter ao não produzirmos uma unidade do outro bem.
Formalmente, podemos dizer que a taxa marginal de transformação do bem X para o bem Y será:
TMT = -
DY
DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que, como já dissemos, é a própria inclinação da fronteira de possiblidades de produção. Agora que já analisamos a alocação produtiva nessa
economia de dois bens, devemos incluir as preferências do consumidor para obtermos o equilíbrio competitivo.
Processing math: 100%
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 12 – Equilíbrio Geral com Produção
No gráfico 12, adicionamos a curva de indiferença entre os bens X e Y do consumidor (representando as preferências do agente econômico) em nossa
análise de equilíbrio geral. Aos preços de equilíbrio (Px*, Py*), as firmas decidirão produzir no ponto de maximização de lucro (X*, Y*), onde a razão dos
preços é igual à razão dos custos marginais (a inclinação da fronteira de possibilidades de produção pode ser vista como a razão entre os custos
marginais de produção).
Por outro lado, aos preços (Px*, Py*), a demanda do consumidor ocorrerá no ponto de tangência entre a curva de indiferença mais elevada e a
restrição orçamentária, correspondendo exatamente ao ponto (X*, Y*). Portanto, aos preços (Px*, Py*), não haverá excesso de demanda ou oferta dos
bens X e Y.
 COMENTÁRIO
Concluímos, dessa maneira, que os preços (Px*, Py*) representam um equilíbrio geral competitivo com produção, pois, para esse vetor de preços, o
consumidor maximiza sua utilidade, as firmas maximizam seus lucros e os mercados estão em equilíbrio (oferta igual a demanda).
É importante ainda perceber que, no equilíbrio competitivo, a taxa marginal de substituição do consumidor será igual à razão entre os preços. Da
mesma forma, a taxa marginal de transformação das firmas também será igual à razão entre os preços.
Logo, em equilíbrio, a economia irá operar em um ponto que as taxas marginais de substituição de todos os consumidores são iguais às taxas
marginais de transformação entre os bens.
A taxa que o consumidor está disposto a trocar um bem pelo outro é igual à taxa que um bem pode ser transformado no outro de acordo com as
possibilidades tecnológicas das firmas. Mais do que isso, nesse ponto de equilíbrio não há como haver rearranjos de consumo e produção que
melhorem a situação de todos os consumidores e firmas. Todo equilíbrio competitivo é eficiente no sentido de Pareto.
APLICAÇÃO: COMÉRCIO INTERNACIONAL
O estudo do equilíbrio geral com produção fornece interessantes insights para questões de comércio internacional. Suponha, como faz Nicholson e
Snyder (2012), que uma economia produza apenas grãos (X) e manufaturas (Y). O governo impõe tarifas sobre a importação de grãos, de modo que
aos preços de equilíbrio (Px*, Py*), o nível de produção de equilíbrio de grãos e manufaturas será (X*, Y*).
Processing math: 100%
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 13 - Equilíbrio Geral e Livre Comércio
A eliminação das tarifas alfandegárias para a importação dos grãos irá alterar a razão entre os preços, modificando a inclinação da restrição
orçamentária, como podemos verificar no gráfico 13. A sua inclinação se reduzirá de Px*/Py* para Px’/Py’. Com isso, o equilíbrio se deslocará do ponto
E.
Aos novos preços de equilíbrio, o país:
Produzirá:
No ponto A = (XA, YA)
Consumirá:
No ponto B = (XB, YB)
Portanto, haverá um aumento na importação de grãos na magnitude de (XB - XA) e as exportações de manufaturas aumentarão em (YA - YB). A
abertura comercial, além de mudar a alocaçãoprodutiva e de consumo da economia, aumentará o bem-estar do consumidor na medida em que, em
seu novo equilíbrio de consumo, ele terá um maior nível de utilidade (salta de U1 para U2).
O livre comércio, ao permitir com que os países se especializem nos setores produtivos em que têm vantagem comparativa (produção de manufaturas,
em nosso exemplo), possibilita ganhos de eficiência e bem-estar para a economia. No entanto, apesar da abertura comercial proporcionar esses
ganhos de bem-estar, alguns setores podem sair perdendo. Em nosso exemplo, a redução das tarifas faz com que o equilíbrio produtivo da economia
se desloque do ponto E para o ponto A (com menor produção de grãos e maior produção de manufaturas).
 COMENTÁRIO
Se assumirmos que a produção de grãos utiliza mais trabalho pouco qualificado que a manufatura, então a abertura comercial irá gerar uma queda
relativa dos salários dos trabalhadores pouco qualificados (com a relativa queda na produção interna de grãos, há uma queda relativa na demanda por
trabalhadores pouco qualificados para a agricultura, gerando redução de seus salários).
Portanto, nesse exemplo, a redução das tarifas de importação pode beneficiar os trabalhadores mais qualificados, e prejudicar os menos qualificados.
Podemos concluir que, apesar do aumento do bem-estar geral da economia, alguns grupos podem sair perdendo no processo de liberalização
comercial. E esse é o cerne central de toda discussão sobre política tarifária.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. EM RELAÇÃO AO MODELO DE EQUILÍBRIO GERAL APRESENTADO, ASSINALE A ÚNICA AFIRMAÇÃO
VERDADEIRA.
Processing math: 100%
A) Em um modelo de equilíbrio geral de trocas puras, tanto os preços relativos como os absolutos são determinados no ponto de equilíbrio.
B) Supondo que existam k mercados na economia, a Lei de Walras afirma que se um vetor de preços equilibra ao menos dois mercados, então, todos
os outros mercados também estarão em equilíbrio.
C) Podemos afirmar que nem todo equilíbrio competitivo é eficiente no sentido de Pareto.
D) Todo equilíbrio competitivo (ou equilíbrio walrasiano) é eficiente no sentido de Pareto.
E) O equilíbrio competitivo caracteriza-se exclusivamente pela maximização de utilidade sujeito à restrição orçamentária pelos consumidores.
2. EM RELAÇÃO AO MODELO DE EQUILÍBRIO GERAL COM PRODUÇÃO, ASSINALE A ÚNICA ALTERNATIVA
VERDADEIRA.
A) Quando incluímos produção ao modelo de equilíbrio geral, concluímos que o equilíbrio competitivo deixa de ser eficiente no sentido de Pareto.
B) No ponto de equilíbrio de mercado, as firmas não necessariamente maximizam seus lucros.
C) O equilíbrio competitivo com produção pode ser caracterizado por um vetor de preços e alocações, tais que os consumidores maximizam sua
utilidade, as firmas maximizam seu lucro, e a oferta total da economia é igual à demanda.
D) Em um equilíbrio competitivo para uma economia com dois bens, a taxa marginal de substituição será maior que a taxa marginal de transformação.
E) O conjunto de possibilidades de produção é um subconjunto da fronteira de possibilidades de produção.
GABARITO
1. Em relação ao modelo de equilíbrio geral apresentado, assinale a única afirmação verdadeira.
A alternativa "D " está correta.
 
Esse resultado é o que chamamos de primeiro teorema do bem-estar. No ponto de equilíbrio do mercado, não há como melhorar a situação de um
agente econômico sem piorar a do outro. Nesse sentido, estamos em um ponto eficiente no sentido de Pareto.
2. Em relação ao modelo de equilíbrio geral com produção, assinale a única alternativa verdadeira.
A alternativa "C " está correta.
 
Se em uma economia de trocas puras, o equilíbrio walrasiano caracteriza-se por um vetor de preços e conjunto de alocações, tais que os
consumidores maximizam sua utilidade e a oferta se iguala à demanda. Quando incluímos produção no modelo, um novo condicionante é adicionado:
as firmas maximizam seu lucro. Portanto, o equilíbrio competitivo em uma economia com produção é como definido pela alternativa C.
MÓDULO 2
 Descrever o primeiro e o segundo teorema do bem-estar social, assim como as funções de bem-estar social
O PRIMEIRO E O SEGUNDO TEOREMAS DO BEM-ESTAR
A análise do equilíbrio geral competitivo permite chegarmos a dois resultados fundamentais sobre eficiência: o primeiro e o segundo teoremas do bem-
estar.
Apesar de já termos apresentado o primeiro teorema do bem-estar no módulo anterior, dedicaremos esta seção ao estudo mais profundo sobre a
relação entre o equilíbrio competitivo e a eficiência de Pareto.
Processing math: 100%
Os teoremas do bem-estar analisam as condições que levam um equilíbrio competitivo a ser eficiente no sentido de Pareto, e os condicionantes para
que a eficiência de Pareto possa ser alcançada por mercados competitivos. Primeiramente, vamos expor de maneira clara o primeiro resultado
fundamental da eficiência econômica decorrente do sistema de preços de mercado.
PRIMEIRO TEOREMA FUNDAMENTAL DO BEM-ESTAR
Todo equilíbrio competitivo é eficiente no sentido de Pareto.
O primeiro teorema do bem-estar afirma que toda alocação de equilíbrio competitivo (ou de mercado, ou walrasiano) é eficiente no sentido de Pareto.
Isto é, o mercado competitivo esgotará todos os ganhos de trocas, não havendo nenhum rearranjo dos recursos da economia (seja de consumo, ou
produção) que possa melhorar a situação de um agente, sem piorar a de outro.
O primeiro teorema fundamental do bem-estar não diz nada sobre justiça. Uma alocação eficiente no sentido de Pareto pode ser absolutamente injusta
ou desigual.
Apesar de nosso objetivo não ser apresentar uma prova do primeiro teorema fundamental do bem-estar, ilustraremos, para o caso de uma economia
de trocas puras com dois bens e dois consumidores, que esse primeiro resultado de bem-estar é válido.
Suponha que um equilíbrio competitivo com as alocações xA1 , x
A
2 e x
B
1 , x
B
2 não seja eficiente no sentido de Pareto. Portanto, existe uma outra
alocação factível dada por yA1 , y
A
2 e y
B
1 , y
B
2 que é preferida por ambos os agentes (estritamente, é fracamente preferida por ambos e estritamente
preferida por ao menos um, mas não nos preocuparemos com isso nessa ilustração). Ou seja:
YA1 + Y
B
1 = E
A
1 + E
B
1
YA2 + Y
B
2 = E
A
2 + E
B
2
Que é a condição de factibilidade. E pela relação de preferências:
YA1, Y
A
2 ≻ X
A
1, X
A
2
YB1, Y
B
2 ≻ X
B
1, X
B
2
No entanto, por hipótese, se os agentes escolhem a cesta x quando a cesta y está disponível, então a cesta de consumo y tem de ser mais cara do
que a dotação do agente:
P1Y
A
1 + P2Y
A
2 > P1E
A
1 + P2E
A
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
P1Y
B
1 + P2Y
B
2 > P1E
B
1 + P2E
B
2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Processing math: 100%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Somando as duas equações, temos:
P1 Y
A
1 + Y
B
1 + P2 Y
A
2 + Y
B
2 > P1 E
A
1 + E
B
1 + P2 E
A
2 + E
B
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, aplicando a condição de factibilidade:
P1 E
A
1 + E
B
1 + P2 E
A
2 + E
B
2 > P1 E
A
1 + E
B
1 + P2 E
A
2 + E
B
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma contradição. Portanto, nosso pressuposto de que a alocação do equilíbrio competitivo não era eficiente no sentido de Pareto está errada.
Assim, concluímos que todos os equilíbrios de mercado são eficientes no sentido de Pareto.
 COMENTÁRIO
A grande importância do primeiro teorema fundamental do bem-estar é que ele mostra que o mercado competitivo é um mecanismo capaz de obter
resultados eficientes no sentido de Pareto. Ou seja, agentes econômicos movidos apenas por seu auto interesse podem levar a economia para um
equilíbrio Pareto ótimo.
Se o primeiro teorema fundamental do bem-estar afirma que todo equilíbrio de mercado é eficiente no sentido de Pareto, então uma pergunta é válida:o contrário também é verdadeiro? Isto é, dada uma alocação Pareto ótima, podemos encontrar um vetor de preços que faça essa alocação constituir
um equilíbrio competitivo? Sob certas condições, a resposta é sim. Esse resultado é o segundo teorema fundamental do bem-estar.
SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DO BEM-ESTAR
Sob algumas hipóteses, para qualquer alocação eficiente no sentido de Pareto existirá um conjunto de dotações iniciais e um vetor de
preços relativos, tal que essa alocação seja um equilíbrio competitivo.
Qualquer alocação Pareto ótima também pode ser um equilíbrio walrasiano para um vetor de preços e uma redistribuição adequada das dotações
iniciais. Ou, de outra maneira, o segundo teorema fundamental do bem-estar explicita que, sob certas condições, toda alocação eficiente no sentido de
Pareto pode ser obtida pelo mecanismo de mercado para uma distribuição apropriada das dotações iniciais. Se o governo quer atingir uma alocação
eficiente, basta redistribuir recursos da maneira apropriada e deixar o mercado trabalhar – retomaremos esse ponto adiante.
Afirmamos que o resultado do segundo teorema do bem-estar só é válido sob algumas condições. A mais relevante delas é a convexidade. Tanto as
preferências dos consumidores como o conjunto de possibilidades de produção das firmas devem ser convexos.
 EXEMPLO
No gráfico 14, apresentamos um exemplo de como a não convexidade invalida os resultados do segundo teorema do bem-estar. Enquanto o agente B
tem preferências convexas, o agente A tem preferências não convexas. Sendo assim, a alocação (xA,xB), apesar de eficiente no sentido de Pareto,
não poderá ser alcançada pelo mercado competitivo. Não há um vetor de preços para o qual ambos os agentes escolherão consumir nesse ponto.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Processing math: 100%
Ao vetor de preços (p1*,p2*), o agente A demandará a cesta yA, enquanto o B terá como preferência a cesta xB. Como resultado, aos preços (p1*,p2*),
teremos a alocação (yA,xB), em que a oferta não será igual à demanda, não sendo, portanto, uma alocação de equilíbrio. Apesar da alocação (xA,xB)
ser eficiente no sentido de Pareto, não é possível termos um vetor de preços capaz de tornar essa alocação um equilíbrio walrasiano. Na presença de
preferências não convexas, nem toda alocação Pareto ótima poderá ser alcançada pelo mecanismo de mercado.
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 14 – Convexidade e 2º Teorema do Bem estar
Podemos dizer que uma das principais implicações do segundo teorema do bem-estar é que ele permite a separação dos problemas de distribuição e
eficiência econômica. Como toda alocação eficiente no sentido de Pareto pode ser obtida por um equilíbrio competitivo, então, para qualquer
distribuição dos recursos da economia Pareto ótima que a sociedade deseje, podemos usar a economia de mercado para alcançá-la. Portanto,
podemos concluir que os mecanismos de mercado são neutros do ponto de vista distributivo. Para qualquer alocação desejada, podemos usar o
mercado para alcançá-la de forma eficiente. Para tanto, basta os governos redistribuírem adequadamente as dotações iniciais dos agentes ou
utilizarem impostos/subsídios.
Por fim, devemos destacar que os dois teoremas fundamentais do bem-estar valem tanto para uma economia de trocas puras quanto para uma
economia com produção. Em ambos os casos, todo equilíbrio competitivo é Pareto eficiente e toda alocação eficiente no sentido de Pareto pode ser
alcançada através do mercado competitivo.
 COMENTÁRIO
Os dois teoremas do bem-estar possuem ainda algumas hipóteses implícitas. Primeiro, todos os agentes devem ser tomadores de preço, como
estamos supondo ao estudar equilíbrio competitivo. Se houver poder de mercado, como no caso de monopólios e oligopólios, os teoremas não se
aplicam: o equilíbrio de mercado pode ser ineficiente. Além disso, não pode haver qualquer tipo de externalidade: todos os custos e benefícios de
uma ação devem ser levados em conta por quem toma essa ação.
EXTERNALIDADE
De maneira mais precisa, deveríamos falar que não pode haver mercados incompletos, mas isso foge ao escopo do tema.
Para concluir, vamos usar um pouco de lógica para reinterpretar o primeiro teorema do bem-estar (vale raciocínio análogo para o segundo). Sabemos
que a afirmativa “A implica B” é equivalente a dizer “não B implica não A”.
Pense em um exemplo: “se chove, então, molha” é equivalente a dizer “se não molhou, é porque não choveu”. O primeiro teorema tem a seguinte
estrutura lógica: sob determinadas condições (ausência de externalidades e de poder de mercado), todo equilíbrio competitivo é eficiente de Pareto.
Logo, se encontrarmos algum equilíbrio competitivo que não é ótimo de Pareto, podemos concluir que ao menos uma dessas condições falhou: ou há
poder de mercado, ou há externalidades!
O primeiro teorema do bem-estar não garante que todo equilíbrio competitivo seja eficiente de Pareto, mas apenas estabelece condições para que isso
ocorra. Dessa forma, ele mostra um mapa para buscar as causas da ineficiência.
Processing math: 100%
javascript:void(0)
FUNÇÕES DE BEM-ESTAR SOCIAL, JUSTIÇA ALOCATIVA E
EQUIDADE
Vimos, em nossa análise do equilíbrio geral, que há inúmeras alocações eficientes no sentido de Pareto em uma economia de trocas puras ou com
produção. Mais do que isso, o segundo teorema fundamental do bem-estar garante que qualquer uma dessas alocações Pareto eficientes pode ser
alcançada por um mercado competitivo, desde que as dotações iniciais sejam ajustadas adequadamente.
No entanto, a pergunta que fica é: como a sociedade escolherá entre essas diferentes alocações Pareto eficientes?
Essa é a principal questão da economia do bem-estar social: como desenvolver critérios de escolha social no intuito de medir a preferência social de
determinada alocação em relação a outra. Ou de outra maneira, como podemos agregar preferências individuais em uma preferência social?
Uma forma direta de agregação das preferências individuais é via votação. Isto é, uma alocação dos bens da economia é socialmente preferível a
outra se a maioria das pessoas prefere uma a alocação a outra. Entretanto, a votação pode acarretar não transitividade da preferência social.
Exemplo
Suponha que temos três indivíduos A, B e C tendo que escolher entre três alocações diferentes x, y e z. Os três agentes irão ordenar as alocações de
acordo com suas preferências da seguinte maneira:
A : X ≻A Y ≻AZ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B : Y ≻B Z ≻BX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C : Z ≻C X ≻CY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que ≻ i representa a preferência estrita do agente i.
Perceba que, se utilizarmos um método de votação majoritária entre duas alternativas, o resultado pode ser uma preferência social não transitiva:
X OU Y
Y OU Z
X OU Z
x ≻A y y ≻Bx x ≻Cy 
⇒ x ≻S y
y ≻A z y ≻Bz z ≻Cy
⇒ y ≻S z
x ≻A z z ≻Bx z ≻Cx
⇒ z ≻S x
Em que ≻S representa a preferência estrita social. Assim, como:
| |
| |
| |
Processing math: 100%
X ≻S Y, Y ≻S Z, Z ≻S X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, podemos concluir que a preferência não é transitiva: a alocação x é preferida a y, a y é preferida a z, mas a z é preferida a x (para a
transitividade valer a x deveria ser preferida a z). Esse resultado é o que chamamos de Paradoxo de Condorcet: mesmo que as preferências
individuais sejam transitivas, pode ocorrer que a preferência social não o seja.
O grande problema das preferências sociais não transitivas é que elas podem trazer problemas de manipulação da agenda. A ordem na qual a votação
é realizada tem influência de maneira decisiva no resultado da eleição.
 EXEMPLO
Se a votação começar com x contra y, e depois o vencedor contra z, no final, teremos a alocação z como vencedora. Por outrolado, se a votação
começar com z contra x, e depois o vencedor contra y, no final, teremos y como vencedor. Portanto, quem define a agenda de votação define a
alternativa vencedora.
Diante desse cenário, a pergunta a ser feita é: há alguma maneira de agregar as preferências individuais de forma imune a esse tipo de manipulação?
É possível encontrarmos uma regra social capaz de agregar as preferências sociais de maneira satisfatória?
Para responder a essa pergunta, primeiro vamos explicitar com base em Varian (2012) o que consideramos “satisfatório” para uma preferência social:
PROPRIEDADE I
PROPRIEDADE II
PROPRIEDADE III
Para preferências individuais completas, reflexivas e transitivas, o mecanismo de decisão social deve resultar em preferências sociais com as mesmas
características.
Se para todos os indivíduos i temos x ≻ iy, então a preferência social deve ser tal que x ≻Sy.
As preferências entre duas alocações x e y devem depender apenas de como as pessoas classificam essas alocações, não de como classificam as
alternativas (esse ponto é chamado de “independência das alternativas irrelevantes”).
Um dos mais importantes resultados da economia do bem-estar social mostra que essas três características consideradas satisfatórias para um
mecanismo de decisão social são incompatíveis com o sistema democrático. Mais precisamente, apenas uma ditadura, em que a preferência do
ditador é a própria preferência social, conseguiria satisfazer essas condições. Esse resultado é conhecido como o teorema da impossibilidade de
Arrow.
Teorema da Impossibilidade de Arrow: Se um mecanismo de escolha social satisfizer as propriedades (i), (ii) e (iii), ele, então, terá de ser uma ditadura:
todas as ordenações sociais são as ordenações de um indivíduo.
Sendo assim, para acharmos uma maneira democrática de agregar as preferências individuais devemos renunciar a uma das propriedades anteriores
considerada desejável. Abandonando a propriedade (iii), alguns tipos de votação com escala ordinal tornam-se possíveis. Usaremos as funções
utilidade para ordenarmos as preferências individuais, ou seja, para uma pessoa i temos x ≻ iy (a alocação x é preferida em relação a y) se, e
somente se, ui x > ui y .
Com base nas funções utilidade de cada indivíduo, podemos construir um modo de classificar as diferentes alocações possíveis, via funções de
agregação denominadas funções de bem-estar social. A função de bem-estar social é uma função definida sobre as funções de utilidade individuais.
Suponha uma economia com n indivíduos, cada qual com uma função utilidade. Assim, a função de bem-estar social W = W u1, . . . , un poderá ser
de diferentes tipos:
FUNÇÃO DE BEM-ESTAR SOCIAL UTILITARISTA OU DE BENTHAM
W u1, …, un = ∑
n
i = 1ui
É a simples soma das funções de utilidade individuais. Assim, diríamos que uma alocação x é socialmente preferida a y se
∑ ni = 1ui(x) > ∑
n
i = 1ui(y).
( ) ( )
( )
( )
Processing math: 100%
FUNÇÃO DE BEM-ESTAR SOCIAL DA SOMA PONDERADAS DAS UTILIDADES
W u1, …, un = ∑
n
i = 1aiui
Em que ai seria o peso dado para a utilidade de cada agente.
FUNÇÃO DE BEM-ESTAR SOCIAL RAWLSIANA
W u1, …, un = min u1, …, un
Nesse caso, o bem-estar social dependerá exclusivamente do bem-estar do agente na pior situação, a pessoa com a menor utilidade.
Cada função de bem-estar social representa diferentes julgamentos éticos sobre a melhor maneira de estabelecermos uma escolha social. Nossa
única restrição sobre essas funções é que elas sejam crescentes na utilidade de cada indivíduo. Dessa maneira, asseguramos que se todos preferem
x a y, então, a preferência social também estabelecerá x como preferido a y.
Definida a função de bem-estar social, podemos encontrar a alocação factível que maximiza o bem-estar da sociedade. Seja uma economia com n
consumidores e k bens, em que xji e e
j
i representam, respectivamente, o consumo e a dotação do bem j pelo agente i.
Além disso, sendo a alocação x a lista (um vetor) de quanto cada agente tem de cada bem, então, o problema de maximização de bem-estar social
será:
MAX
X
 W U1 X , …, UN X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sujeito às restrições de factibilidade (para simplificar, vamos considerar uma economia sem produção):
∑ NI = 1X
1
I = ∑
N
I = 1E
1
I
∑ NI = 1X
K
I = ∑
N
I = 1E
K
I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução desse problema pode ser apresentada graficamente para o caso mais simples de apenas dois agentes. Seja o conjunto de possibilidades
de utilidade todas as combinações possíveis para as utilidades dos dois indivíduos, e a fronteira de possibilidades de utilidade o conjunto de níveis
de utilidade associados a alocações eficientes no sentido de Pareto. Além disso, sejam as curvas de isobem-estar as distribuições de utilidade para
um nível de bem-estar constante. Então, a solução para o problema de maximização da função de bem-estar social ocorrerá no ponto de tangência
entre a fronteira de possibilidades de utilidade e a curva de isobem-estar mais elevada.
( )
( ) { }
( ( ) ( ))
Processing math: 100%
 
Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira
 Gráfico 15 - Maximização do Bem-Estar Social
Perceba que, no ponto de máximo bem-estar social, a alocação é eficiente no sentido de Pareto: ele ocorre na fronteira de possibilidades de utilidade.
Como a função de bem-estar social é crescente nas utilidades de cada agente, não há como aumentar a utilidade de um agente sem reduzir a de outro
no ponto de máximo bem-estar. Assim, a alocação que maximiza o bem-estar social é Pareto eficiente.
Além disso, supondo que o conjunto de possibilidades de utilidade seja convexo, podemos garantir que qualquer alocação eficiente no sentido de
Pareto é uma alocação de bem-estar máximo para alguma função de bem-estar social. Nesse sentido, temos uma relação importante entre as funções
de bem-estar social e as alocações eficientes no sentido de Pareto: toda alocação de máximo de bem-estar é eficiente no sentido de Pareto, e toda
alocação eficiente no sentido de Pareto é um máximo de bem-estar.
 SAIBA MAIS
A abordagem das funções de bem-estar social, por ser muito geral, não nos permite avaliar alguns aspectos morais específicos de determinada
distribuição dos recursos da economia. Portanto, agora vamos analisar alocações equitativas e justas, começando com algumas definições. Dizemos
que o indivíduo i inveja a cesta do indivíduo j caso ele prefira a cesta de j à sua própria cesta. Ou de outra maneira, i inveja j se prefere a cesta de j à
sua própria cesta. Além disso, definimos uma alocação equitativa como aquela em que nenhum indivíduo inveja a cesta de outro indivíduo. Por fim,
definimos uma alocação justa como sendo equitativa e eficiente no sentido de Pareto.
Um caso interessante de alocação equitativa é a divisão igualitária. Como todos os indivíduos têm a mesma cesta de bens, nenhum indivíduo invejará
o outro. Para além disso, pode-se mostrar que uma alocação de equilíbrio competitivo a partir de uma divisão igualitária é justa, isto é, será equitativa e
eficiente ao mesmo tempo. Ou seja, o sistema de mercado competitivo preservará a equidade da alocação: se a alocação inicial for a divisão
igualitária, então a alocação final terá de ser justa. Afinal de contas, qualquer indivíduo poderia ter comprado a cesta de qualquer outro indivíduo, dado
que as dotações iniciais são exatamente iguais!

FUNÇÃO DE BEM-ESTAR SOCIAL UTILITARISTA E ALOCAÇÃO ÓTIMA DOS
RECURSOS DA ECONOMIA
Neste vídeo, apresentaremos um exemplo simples do problema de maximização de bem-estar social em um contexto de uma função de bem-estar
social utilitarista.
Processing math: 100%
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SOBRE OS DOIS TEOREMAS FUNDAMENTAIS DO BEM-ESTAR, ASSINALE A ÚNICA ALTERNATIVA VERDADEIRA.
A) Segundo o primeiro teorema do bem-estar, toda alocação eficiente no sentido de Pareto é um equilíbrio competitivo.
B) A hipótese