Quiz de Cálculo trilhas 01 a 06

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Quiz trilha 01
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Questão 1
O gráfico que melhor representa a função f ,f (x) = (senx) + 1 no intervalo [0;2π], é: 
 
Sua resposta está correta.
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Questão 2
Observando a figura a seguir é possível afirmar que as coordenadas dos pontos A, B, C e D são, respectivamente:
(-1;2),(3;1),(2;-1),(-2;-2) 
No plano cartesiano, cada ponto possui um par ordenado como coordenadas, sendo possível identificar sua localização no plano. No par ordenado, o primeiro elemento corresponde ao valor do eixo das abscissas Ox, e o segundo elemento ao valor do eixo das ordenadas Oy. Sendo assim, os pontos A, B, C e D possuem as coordenadas, respectivamente:
(-1;2),(3;1),(2;-1),(-2;-2).
Sua resposta está correta.
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Questão 3
Observando a figura a seguir é possível identificar que:
É um gráfico de uma função quadrática de sentença: f (x)=x2– 2 x – 3, cujo vértice possui as coordenadas (1; – 4) e com concavidade para cima. 
É um gráfico de uma função quadrática de sentença: f (x)=x2 – 2 x – 3, pois, ao fazermos a representação gráfica dessa função, obtemos essa figura. 
Ainda observando a figura, podemos identificar as coordenadas do vértice, o extremo da parábola, sendo exatamente (1; – 4). Para completarmos, sua concavidade está para cima.
Sua resposta está correta.
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Questão 4
Para a função f (x) = 75x−35√675x−356  , temos o conjunto D(f ) , domínio da função f, sendo:
D(f ) = {x ∈ R: x > 7} 
Para uma função como essa, é importante lembrar que para uma fração, o denominador não pode assumir o valor nulo e, ainda, quando temos uma radiciação cujo índice é par, o radicando não pode ser negativo no universo dos números reais.
Sendo assim, temos:
5 x -35 > 0
E resolvendo:
↔ 5 x > 35
↔ x = 35/5                                                   
↔ x > 7
Concluindo que D(f ) = {x ∈ R: x > 7}.
Sua resposta está correta.
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Questão 5
Com a apresentação do conjunto A sendo {x ∈ Z: -7 < x ≤ 5}, é possível identificar os elementos desse conjunto como:
{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} 
Como A={x ∈ Z: -7 < x ≤ 5}, cada elemento do A é um número inteiro que respeita a condição dada, -7 < x ≤ 5 . Sendo assim, o x só pode assumir os valores  -6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5.
Sua resposta está correta.
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Quiz trilha 02
Questão 1
14 
Sua resposta está correta.
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Questão 2
 
Por definição, temos: o limite de f(x) para x tendendo a t é igual a L se, e somente se, o limite lateral de f(x) para x tendendo a t pela esquerda for igual ao limite lateral de f(x) para x tendendo a t pela direita e estes forem iguais a L.
Sua resposta está correta.
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Questão 3
 
Sua resposta está correta.
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Questão 4
 
Por definição, temos: o limite de f(x) para x tendendo a t é igual a L se, e somente se, o limite lateral de f(x) para x tendendo a t pela esquerda for igual ao limite lateral de f(x) para x tendendo a t pela direita e estes forem iguais a L.
Sendo assim, a única alternativa que atende essa definição é: 
Sua resposta está correta.
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Quiz trilha 03
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Questão 1
Calculando a taxa de variação de f(x) = 7x = 8 no intervalo [2;5], o resultado é
7 
Por definição, temos:
De um modo geral, dada uma função afim f(x) = ax + b, consideremos dois pontos quaisquer x1 e x2, x1 < x2. Quando x varia de x1 até x2, f (x) varia de y1 = f (x1) = ax1 + b até y2 = f (x2) = ax2 + b, ou seja, para uma variação de x igual a x1 – x2, temos:
f(x2) – f(x1) = (ax2 + b) – (ax1 + b) = a (x2 – x1)
Então, a é a taxa de variação de f(x) entre x_1 e x_2.
Calculando: Sendo a taxa de variação, temos:
Sua resposta está correta.
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Questão 2
Derivada da função f(x) = 7x3 é:
f´(x) = 21x2 
Seja f(x) = xn, onde n ϵ Z*
A derivada de f(x) pela definição é:
= f'(x) = n.xn-1
Dessa forma, temos:
f(x) = 7x3 → f´(x) = 7. 3. x2 = 21x2
Sua resposta está correta.
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Questão 3
Seja f(x) = x2 + 1, a derivada dessa função no ponto onde x = 2 , ou seja, f´(2) é:
4 
Sua resposta está correta.
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Questão 4
A derivada de f(x) = x2 sen(x)  é:
f´(x) = 2x sen(x) + x2 cos(x) 
Resolvendo:
A derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda função mais o produto da primeira função pela derivada da segunda função.
Se f e g são funções diferenciáveis de x, então:
Sendo assim, temos:
f(x) = x2 sen(x) → f´(x) = 2x sen(x) + x2 cos(x)
Sua resposta está correta.
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Questão 5
6x - y - 2 = 0 
Para a função f(x)=3x2 + 1
Equação da reta tangente tem esse formato: y - y0 = m (x - x0)
x0 = 1
y0 = 4
m é a derivada de f no ponto onde x = 1.
Assim,
y - y_0 = m (x - x_0)
y - 4 = 6(x - 1)
y - 4 = 6x - 66x - 6 - y + 4 = 0
6x - y - 2 = 0
Sua resposta está correta.
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Quiz trilha 04
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Questão 1
Seja a função y = 7x + 1, a derivada da sua inversa é:
 
Por definição:
x'(y) = 
Sua resposta está correta.
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Questão 2
Para x2 + y2 = 25, temos: 
 
Importante lembrar que para desenvolver y’ é necessário diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, então resolver a equação resultante para y’.
Sendo assim:
Sua resposta está correta.
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Questão 3
Para y = x5 + x3 + x - 9, o valor de y (4) é:
120 x 
Para y = x5 + x3 + x – 9, valor de  y (4) é: 
y' = 5x4 + 3x2 + 1
y''  = 20x3 + 6x
y''' = 60x2 + 6
y (4) = 120 x
Sua resposta está correta.
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Questão 4
A derivada de h(x) = sen (9 + 3x) é:
3 cos⁡ (9 + 3x) 
É importante reparar que h(x) é uma função composta, onde temos:
f(x) = sen(x) e g(x) = 9 + 3x sendo h(x) = f(g(x)).
Para um caso como esse, aplicamos a Regra da Cadeia.
h´(x) = f´(g(x))g´(x)
Onde desenvolvemos da seguinte forma:
f(x) = sen(x) ↔ f´(x) = cos⁡ (x)
g(x) = 9 + 3x ↔ g´(x) = 3
Agora, temos:
h(x) = sen (9 + 3x) ↔ h´(x) = [cos⁡(9 + 3x)].(3)
= 3 cos (9 + 3x)
Sua resposta está correta.
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Questão 5
Calcule  :
 
Usando a Regra de L’Hôpital, temos:
Sua resposta está correta.
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Questão 1
Sendo ]-2;2[ o intervalo I, onde x ∈ I, a função f(x) = x3 – 12x + 1 é:
Decrescente. 
Para determinarmos se f´(x) é positiva ou negativa no intervalo, utilizamos a tabela:
f(x) = x3 – 12x + 1 → f´(x) = 3x2 – 12, temos:
Sendo assim, a função é decrescente no intervalo ]-2;2[.
Sua resposta está correta.
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Questão 2
x < x0 → f(x) é decrescente → f´(x) ≤ 0 
Sua resposta está correta.
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Questão 3
Um ponto em movimento obedece à equação horária S=t3 + t2 + 1, onde t representa o tempo em segundos e S espaço percorrido em metros. Sua velocidade no instante t = 3 s é:
33 m/s 
Para determinarmos a velocidade desse ponto no instante indicado, primeiro derivamos a função.
S = t3 + t2 + 1
V(t) = S´(t) = 3t2 + 2 t
V(3) = 3.32 + 2.3 = 3.9 + 6 = 27 + 6 = 33
Portanto, a velocidade no instante t = 3 s é 33 m/s.
Sua resposta está correta.
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Questão 4
Para função custo dada por C(x) = 1000x3 – 500x + 150, a função custo marginal é:
Cmg(x) = 3000x2 – 500 
A função custo marginal é a derivada da função custo, sendo assim:
C(x) = 1000x3 – 500x + 150
→ Cmg(x) = 3000x2 – 500
Sua resposta está correta.
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Quiz trilha 06
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Questão 1
Utilizando o Teorema de Bolzano para f(x) = 3x2 + 5x – 9, está correto afirmar que existe f(x) = 0 quando:
x ∈ [1;2] 
Utilizando o Teorema de Bolzano, é possível identificar que:
Se f é uma função contínua em [a;b], onde f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe (pelo menos) um ponto c de [a;b] tal que f(c) = 0.
Nesse caso:
f(1) = 3.12 + 5.1 -9 = -1
f(2) = 3.22 + 5.2 - 9 = 13
Logo, f(x) = 0 existe quando x ∈ [1;2].
Sua resposta está correta.
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Questão 2
Sendo f (x) =   está correto afirmar que:
f é contínua em R. 
A função f é contínua em R, mas não é derivável quando x = 0.
f (x) =  para qualquer valor real f é contínua, pois 
 f (x) = f (a). Porém, não existe a derivada de f para x = 0. 
f (x) =   f '(x) = 
Sua resposta está correta.
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Questão 3
f é uma função descontínua em 3, pois  f (x) ≠ f (3) 
para a função f ser contínua em 3 é necessário que  f (x) = f (3). Porém, isso não ocorre.
 (x3 – 1) =  33 – 1 = 26
f (3) = 10, ou seja,   f (x) ≠ f (3)
Sua resposta está correta.
Questão 4
Podemos afirmar que f(x) = (7x3 – x2 + 5). cos⁡(x)  é uma função contínua pelo motivo a seguir:
f é produto de funções contínuas. 
Para a alternativa onde f é produto de funções contínuas:
f(x) = (7x3 – x2 + 5). cos⁡(x)
g(x) = (7x3 – x2 + 5)
e h(x) = cos⁡(x)
Temos g e h funções contínuas, onde a propriedade do produto entre duas funções contínuas gera uma outra função contínua.
Sua resposta está correta.