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Problemas em Teoria dos Números (Resolvidos e Propostos) do prof Diego Marques

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p. 
3. 7 Representação de inteiros como soma de quadrados 
Problemas propostos referentes ao Capítulo 7 
1. Verificar se os números 315 e 3185 podem ser representados conio soma de dois quadrados. Caso 
possam, encontrar tais representações. 
2. Se um primo ímpar pode ser escrito como soma de dois quadrados, mostre que p =i {mod .4). 
3. Encontrar 3 inteiros x > y > z >O tais que x- y, y- z ex- z sejam todos quadrados. 
4. Encontrar um inteiro t tal que· t2 - 5 e t2 + 5 sejam ambos quadrados. 
5. Mostrar que x = y = z =O é a única solução em inteiros para 
x2 + y2 + z2 = x2y2. 
6. Encontrar uma solução em inteiros positivos para · 
x 2 + y = y 2 + x - 18. 
7. Mostrar que todo inteiro positivo n pode ser escrito como 
n = x2 + y2 -. z2. 
8. Encontrar uma solução em inteiros positivos para 
3 · 2x + 1 = y 2 • 
9. Se n é um inteiro positivo provar que, 
' 
= {2n2 + 2n + 1)2 + {2n2 + 2n + 2)2 + · · ~ + {2n2 + 3n)2 
e, então, encontrar uma solução em inteiros positivos para, 
2 2 2 2 2 2 2 
Xl + X2 + X3 + X4 = X5 + X6 + X7 . • 
10. Mostre que se 3 não divide n então 6n não pode ser escrito como soma de quadrados. 
Capítulo 3. Problemas propostos 113 
3.8 Frações Contínuas 
Problemas propostos referentes ao Capítulo 8 
1. Evolua [2,1,2,1]. 
2 E t fr - t' d 22 35 13 . ncon re a açao con mua e 13 , 24 e 2015 . 
3. Prove que as frações parciais da fração contínua de um número são frações irredutíveis. 
4. Determine a fração contínua de 1+fN. 
5. Encontre os 5 primeiros termos na fração contínua de ~. 
6. Seja ao E Z e a~, ... , an,b E N. Prove que 
. se, e somente se, n é ímpar. 
7. Encontre a fração contínua de mt~ para m ~ 1. 
8. Mostre que Jn2- 1 = [n- 1,1,2n- 2]. 
9. Mostre que Jn2 + 1 = [n,2n]. 
10. Mostre que Jn2 +2 = [n,n,2n]. 
3.9 Partições 
Problemas propostos referentes ao Capítulo 9 
1. Dar uma prova combinatória para as seguintes identidades. 
) noo ·1 _ "'oo qkxk • a i=1 r=xqr - L.Jk=O {1-q){1-q2) ... {1-qk)' 
~ 
b) n~1 (1 + xqi) = l:~o {1-q)11-q2).~;1-qk)' 
2. Sejam Pk(n) o número de partições de nem exatamente k partes e qk(n) o número de partições 
de n, formadas por exatamente k partes distintas (por exemplo q3(8) = 2; 1 + 2 + 5 e 1 + 3 + 4). 
Mostrar que qk(n + (~)) = Pk(n). 
3. Mostrar que a função geradora para partições autoconjugadas com cada parte menor do que ou 
igual a N é 
I>l [~] J q2 
sendo [ ~] q
2 
o polinômio gaussiano [ ~] com q substituído por q2 . 
. 4. Dar wna prova bijetiva para a identidade: 
O número de partições de n em partes ímpares e distintas cada qual menor do que ou igual a 
2N -1, é igual ao número de partições autoconjugadas de n cujas partes são menores do que ou 
igual a N. 
114 Problemas em Teoria dos Números (Resolvidos e Propostos) 
5. Mostrar que o número de partições de n ê igual ao número de matrizes de duas linhas da forma 
onde Cs = O, Ct = ct+I + dt+I e z=:=l Cj + d.t = n. 
6. Mostrar que o número de partições de n cujas partes diferem por pelo menos 2 ê igual ao número 
de matrizes da forma 
onde c8 = 1, ct = 2 + Ct+l + dt+I e z:=:=l Cj +di= n. 
7. Mostrar que a função geradora para partições nas quais cada parte aparece pelo menos duas 
vezes ê dada por, 
oo 1 +q3n 
I11- q2n" n=l 
8. Em 1944 F. J. Dyson definiu o rank de uma partição como sendo a maior parte menos o número 
de partes. Mostrar que os ranks de uma partição e de sua conjugada diferem somente no sinal. 
9. Fazendo uso do Produto Triplo de Jacobi dar uma demonstração para o Teorema dos números 
pentagonais de Euler. 
10. Mostrar que o número de partições de n em que cacia parte aparece 2, 3 ou 5 vezes ê igual ao 
número de partições de n em que cada parte ê congruente a 2, 3, 6, 9 ou 10 módulo 12. 
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ISBN:: 9788539908202 
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tos. básicos. e· um estudo dos conceitos matemáticos necessários para a compreensão do método RSA. Numa lin-
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Teorema de Fermat foi resolvido. O capítulo final é uma introdução ao Programa de langlands, um aspecto 
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"~EDITORA 
'-tft CliNCIA MODERNA 
.. 
Impressão e acabamento 
Gráfica da Editora Ciência Moderna Ltda. 
Tel: (21) 2201 - 6662 
José Plínio de Oliveira 
Santos, mineiro de 
Lambari, é bacharel e 
mestre pela Unicamp e 
PhD pela Pennsylvania 
State University. Trabalha 
desde 1976 no IMECC-
UNICAMP tendo chefiado · ,_ 
o Departamento de 
Matemática Aplicada de 
1994 a 1998. É coautor de 
três outros livros na área 
de Combinatória. 
Diego Marques é mestre 
em matemática pela 
Universidade Federal do 
Ce~á e doutor pela 
Universidade de Brasília. 
Hoje é professor da 
universidade de Brasília, 
pesquisador do CNPq e 
foi membro da Academia 
Brasileira de Ciências de 
2011 a 2015. 
.. ----:-:-~ 
ISBN 978-85-399-0894-3 
" .. EDITORA 
'-t YJ CIÊNCIA MODERNA 
WWW.LCM.COM.BR 9 788539 908943