Matrizes: Conceitos e Tipos

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Material elaborado pela professora Zeliane Arruda 
UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS
Ciências Exatas e Tecnológicas 
Álgebra Vetorial e Matricial 
Matrizes 
 Ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro 
pessoas, podemos dispô-los na tabela: 
Altura ( m ) Peso ( kg ) Idade ( anos ) 
Pessoa 1 1,70 70 23 
Pessoa 2 1,75 60 45 
Pessoa 3 1,60 52 25 
Pessoa 4 1,81 72 30 
 Se quisermos saber o peso da pessoa 3, iremos procurar o número que está na terceira 
linha e segunda coluna da tabela. 
 Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como 
no exemplo acima, mas colocados entre parênteses, colchetes ou duas barras: 
linha 














307281,1
255260,1
456075,1
237070,1
 ou 












307281,1
255260,1
456075,1
237070,1
 ou 
307281,1
255260,1
456075,1
237070,1
 coluna 
 Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de 
cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita. 
linha 4ª
linha 3ª
linha 2ª
linha 1ª












307281,1
255260,1
456075,1
237070,1
 1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna 
 Tabelas com m linhas e n colunas (m e n números naturais diferentes de 0) são 
denominadas matrizes mxn. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 4x3. 
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda 
� Notação Geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras
minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente a linha e a 
coluna que o elemento ocupa. 
Assim, uma matriz A do tipo mxn é representada por: 
















=
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
K
MKMMM
K
K
L
321
3333231
2232221
1131211
A
 
ou abreviadamente, A = [ ]
mxnij
a , em que i e j representam respectivamente, a linha e a 
coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha 
e 3ª coluna. 
 Na matriz 










−
−
=
210
2
2
1
4
512
A , temos: 







−===
===
=−==
2 ,1 ,0
2 ,
2
1
 ,4
5 ,1 ,2
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
� Tipos de Matrizes
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.
• Matriz Linha: matriz do tipo 1xn, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz
[ ]1374 −=A , do tipo 1x4
• Matriz Coluna: matriz do tipo mx1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,










−
=
1
2
1
B , do tipo 3x1 
• Matriz Quadrada: matriz do tipo nxn, ou seja, com mesmo número de linhas e colunas;
dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz 





=
14
72
C é do tipo 2x2, 
isto é , quadrada de ordem 2.
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A
principal é formada pelos elementos aij tais que i = j . Na secundária, temos i +j = n + 1.
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda 
















=
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
K
MKMMM
K
K
L
321
3333231
2232221
1131211
A
 diagonal secundária diagonal principal 
Assim, para a matriz C do exemplo, os elementos 211 =a e 122 =a (pois i = j ), formam a 
diagonal principal, e os elementos 212 =a e 721 =a (pois i + j= n + 1), formam a diagonal 
secundária. 
•• Matriz Nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0mxn . Por
exemplo, 





=
000
000
0 32x . 
•• Matriz Diagonal: matriz quadrada de ordem n ≥ 2, em que aij = 0 para todo i ≠ j, ou
seja, todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, sendo os
elementos desta nulos ou não. Por exemplo: 





=
10
02
2A e 










−=
000
030
001
3C
� Obs: Toda matriz quadrada nula é matriz diagonal. 
•• Matriz Identidade ou Matriz Unidade: matriz quadrada de ordem n ≥ 2, em que todos
os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada 
por I n, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo : 





=
10
01
2I e 










=
100
010
001
3I
Assim, para uma matriz identidade I n = [ ]nxnija , 



≠
=
=
ji
ji
aij se ,0
 se ,1
•• Matriz Transposta: matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
 Se 





−−
=
121
032
A então 










−
−
=
10
23
12
tA
Desse modo, se a matriz A é do tipo mxn , A t é do tipo nxm. 
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Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde a 2ª 
coluna de A t 
•• Matriz Simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,










=
846
425
653
A é simétrica, pois =12a 521 =a , =13a 631 =a , =23a 432 =a , ou seja, 
temos sempre =ija jia . 
•• Matriz Oposta: matriz –A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os
elementos de A. Por exemplo, se 





−
=
14
03
A , então 





−
−
=−
14
03
A . 
� Igualdade de Matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo mxn, são iguais se, e somente se, todos os
elementos correspondentes, ou seja, todos os elementos que ocupam a mesma posição são 
iguais: 
njmiba ijij ≤≤≤≤=⇔= 1 todoe 1 todopara BA
Se 





−
=
b1
02
A , 





−
=
31
2 c
B e A = B, então c = 0 e b = 3. 
� Operações envolvendo Matrizes
•• Adição
 
Dadas as matrizes A = [ ]
mxnij
a e B = [ ]mxnijb , chamamos de soma dessas matrizes a 
matriz C = [ ]mxnijc obtida pela soma de todos os elementos correspondentes de A e B , ou 
seja, 
 A + B = C⇔ aij + bij = cij , para todo 1≤ i ≤ m e todo 1≤j ≤ n 
Por exemplo: 






−
=
052
310
A e 





−
−
=
543
211
B ⇒ 





+−+−
+−+
=+
504532
231110
BA = 





511
501
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda 
 É sempre bom lembrar que só podemos somar duas matrizes do mesmo tipo e que a 
matriz soma é do tipo das matrizes somadas. 
•• Subtração
Dadas as matrizes A = [ ]
mxnij
a e B = [ ]mxnijb , chamamos de diferença entre essas 
matrizes, a soma de A com a matriz oposta de B: 
A – B = A + (-B ) 
Por exemplo: 






−
=
74
03
A e 





−
=
20
21
B ⇒ A – B = 





+−+
−+−+
=




 −−
+





− 2704
)2(0)1(3
20
21
74
03
 A – B = 





−
−
54
22
 
•• Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo mxn, o produto de x por A é uma
matriz do tipo mxn obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij = 
xaij: 
B = xA 
Por exemplo: 






−
=
01
72
A e x = 3 ⇒ xA = 





−
=





−
=





− 03
216
0.3)1.(3
7.32.3
01
72
 3
•• Multiplicação de Matrizes
O produto das matrizes A = [ ]
mxpij
a e B = [ ]pxnijb é a matriz C = [ ]mxnijc em que cada 
elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-
ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B. 
Vamos multiplicar a matriz 










−
=
41
10
32
A e 





−
=
402
321
B para entender como se 
obtém cada cij : 
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda 
 B 






− 402
321
 A 










− 41
10
32










−−
−
−
1329
402
1844
 A.B 
Assim, A.B = 










−−
−
−
1329
402
1844
 Da definição, temos que a matriz produto A.B só existe se o número de colunas de A 
for igual ao número de linhas de B: 
Amxp . Bpxn = (A.B)mxn
 = 
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B (n) 
� Obs: *A propriedade comutativa, geralmente não vale para a multiplicação de matrizes. 
*Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0mxn uma matriz
nula, A.B = 0mxn não implica , necessariamente, queA= 0mxn ou B = 0mxn. 
*A lei do cancelamento não tem validade, ou seja, pode ocorrer A.B = A.C
mesmo com A ≠ 0 e B ≠ C 
Exercícios: 
1. Escreva as matrizes:
a) ( ) jiaa ijxij 32 que tal32 +==A b) ( )



≠+
=
==
jiji
jii
bb ijxij se 
 se 
 que tal
2
33
B
2. Calcule x, y e z para que










−
−
+
=
380
22
231
3
2
z
zx
xy
A seja uma matriz diagonal 
3. Encontre os valores desconhecidos, sabendo que: 





=





−−
−+
29
312
232 xyab
yxba
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda 
4. Quantos elementos tem uma matriz 3x5?
5. Sendo ( )
23xij
c=C dada por jic ij 32 −= , determine –C e C
t 
6. Dada a matriz 





=
3
41
2a
A , calcule o valor de a para que A seja simétrica. 
7. Dadas as matrizes 




 −
=
826
240
A , 





−
−
=
0612
963
B e 





−
−
=
211
010
C , calcule: 
a) A + B + C c) 2A - B + 3C e) (A + B )t - Ct
b) A + B -C d) 




 +− CBA
3
1
2
1
 f) (2A) t – B +3Ct
8. Calcule se possível:
a) 











−
−
2
3
41
35
b) [ ]










3
0
2
 531 c) 
04
12
61
21
53
−
−
d) ( )23-0
1
2
3










9. Sendo 





−
−
=




 −
=





=
52
30
 e 
41
23
 ,
1-2
01
CBA , determine: 
a) A.B.C c) A.B + Ct e) (A + B)2.C
b) (A + B).C d) A2 – (B.C)t f) (A t – Bt).C
10. Dadas as matrizes ( ) ( ) que tal, , que tal,
5446
ijbbjiaa ijxijijxij −==−== BA e C = 
AB, determine o elemento c42. 
Respostas 
1.a) 





13107
1185
 b)










954
543
431
2. x = 0, y = -3 e z = 2
3. a = 3 , b = 9 , x = 8 e y 5
4. 15 elementos
5. –A = (((( )))) a ij onde j3i2a ij ++++−−−−==== 
At= (((( ))))ija onde j2i3a ij ++++−−−−==== 
6. 2a ±±±±====
7. a) 





−−−−
−−−−
10519
793
 b) 





−−−−
−−−−
6317
7113
 c) 




 −−−−−−−−
2273
1313
 d) 





−−−−
−−−−
242
411
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda 
 e) 










−−−−
−−−−
67
311
173
f) não é possível efetuar as operações pois as ordens são diferentes.
8. a) 





5
9
b) [[[[ ]]]]17 c) não é possível efetuar a operação pois número de colunas da
primeira matriz é diferente do número de linhas da segunda matriz. 
d) 










−−−−
−−−−
−−−−
230
460
690
9. a) 





−−−−
−−−−
5516
194
 b) 





−−−−
−−−−
66
224
 c) 





−−−−
−−−−
32
43
 d) 





−−−−−−−− 113
20
 e) 





−−−−
−−−−−−−−
486
10028
 f) 





−−−−
−−−−
3110
12
10. c42 = 2
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda 
Resolução de Equações Matriciais
Exemplo 1: Sabendo que 




 −
=





=
85
20
 e 
43
21
BA , calcule a matriz X de modo que X + 
A = B. 
Resolução: 
Exemplo 2: Sendo 





=





=
28
414
 e 
21
41
BA , determine a matriz X de modo que AX = B. 
Resolução: 
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda 
Exercícios: 
1. Resolva a equação matricial 0ABX t =+−
3
1
2 , sendo 





−
=
06
60
A e 





=
64
20
B
2. Sendo A = (aij)2x2, em que aij = 2i – j , e B = (bij)2x2, em que bij = j – i , determine X tal
que 3A + 2X = 3B.
3. Calcule
( )
5
YX tt 23 −
 sabendo que 
( )
( )

=+
=−
000
55532
YX
YX
4. Resolva as seguintes equações matriciais:
a) 










=










− 0
5
5
 
111
032
010
X b) 





=





− 1020
201
423
201
 X c) 





=











1
2
10
21
y
x
5. Sabendo que 





=
43
54
A , determine uma matriz B de modo que AB = I2. 
6. Resolva o sistema



−=−
+=+
BAYX
BAYX
2
2
 , sabendo que 
61
30






=A e 




−
=
30
21
B
Respostas: 
1. 



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43
54
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3/73/5