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TEORIA GERAL DO POLÍGONO REGULAR

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Roberto Gandulfo – @portuguescombetinho 
TEORIA GERAL DO POLÍGONO REGULAR 
 
 Nos meus ensejos de madrugada, senti profunda necessidade de criar este documento, 
que elenca as principais demonstrações de cálculos relacionados ao polígono regular. No entanto, 
pertenço quase de todo ao mundo das Letras, e ele não abandono por nada da Matemática, mesmo 
que, às vezes, no suspirar da noite, me apareça a vontade de realizar alguns cálculos e resolver 
alguns exercícios de álgebra. 
 Contudo, já demonstro estes cálculos há algum tempo, e eles podem facilmente ser 
encontrados na internet. Mas nunca vi nenhum material que englobe toda a teoria do polígono 
regular, se é que ela pode caber neste pequeno documento. Portanto, a fim de elucidar a teoria aos 
estudiosos da geometria, ponho neste documento tudo que sei sobre os polígonos regulares, ou 
tudo que consigo saber... 
 Vale notar que todas as figuras serão descritas por escrita, sem desenhos. Além disso, 
todos os ângulos apresentados estarão em radianos, e não em graus. 
 
Características gerais 
 
 Primeiro, vamos às características gerais de um polígono regular: 
a) As medidas dos lados são iguais entre si. 
b) Os ângulos internos são congruentes entre si. 
c) Eles podem ser inscritos e circunscritos em uma circunferência. 
 Para as generalizações que faremos ao longo do material, nós suporemos um polígono 
regular de n lados de medida l, ângulos internos de medida ai, ângulos centrais de medida αc, raio 
r, apótema m, diagonal maior D, diagonal menor d e área S. Vale ressaltar que o número de lados 
é igual ao número de ângulos internos, logo há n lados e há n ângulos internos. Além disso, seus 
vértices são A1, A2, A3... An; seu centro é C. 
 
Ângulos notáveis 
 
 A medida dos ângulos internos de um polígono regular é fixa para uma determinada 
quantidade de lados. Antes, vamos relembrar a questão da soma dos ângulos internos (Si): a soma 
dos ângulos internos de um triângulo (3 lados) é π; de um quadrilátero (4 lados), 2π; de um 
pentágono (5 lados), 3π; de um hexágono (6 lados), 4π, e assim sucessivamente, não importando 
se esses polígonos são regulares ou não. Logo, podemos estabelecer uma fórmula geral para a 
soma dos ângulos internos de um polígono (regular ou não): 
 
𝑆 = (𝑛 − 2)𝜋 
 
 Se esse polígono for regular, todos os ângulos internos serão iguais. Portanto, para chegar-
se à formula do ângulo interno dos polígonos regulares, bastará dividir a soma pela quantidade de 
ângulos. 
 
𝛼 =
(𝑛 − 2)𝜋
𝑛
 
 
 Essa fórmula também pode ser escrita desta forma: 
 
𝛼 =
(𝑛 − 2)𝜋
𝑛
=
𝑛𝜋 − 2𝜋
𝑛
=
𝑛𝜋
𝑛
−
2𝜋
𝑛
⇒ 𝛼 = 𝜋 −
2𝜋
𝑛
 
 
Roberto Gandulfo – @portuguescombetinho 
 O ângulo central é o ângulo compreendido entre dois raios adjacentes. Podemos 
generalizá-lo como 𝐴 𝐶𝐴 (uma vez que o raio é qualquer segmento do tipo 𝐴 𝐶), ou 
simplesmente como 𝐴 𝐶𝐴 . Para calcular o ângulo central, bastará pegar o ângulo de uma volta 
completa e dividi-lo pela quantidade de lados. 
 
𝛼 =
2𝜋
𝑛
 
 
 Podemos notar, então, que, se afixado o número de lados, o ângulo interno e o ângulo 
central são suplementares. 
 
𝛼 + 𝛼 = 𝜋 
 
Perímetro e semiperímetro 
 
 O perímetro de um polígono regular é simples: basta multiplicar a medida do lado pelo 
número de lados. Representamos o perímetro por 2p, e o semiperímetro, por p. 
 
2𝑝 = 𝑛𝑙 
 
 O semiperímetro, portanto, é metade desse valor: 
 
𝑝 =
𝑛𝑙
2
 
 
Raio 
 
 Primeiro, devemos saber que o raio é qualquer segmento do tipo 𝐴 𝐶. Agora nós 
calcularemos a medida do lado em relação à do raio. Para fazê-lo, deveremos selecionar, no 
polígono geral, qualquer triângulo do tipo ∆𝐴 𝐶𝐴 . Então, dois de seus lados terá a medida do 
raio; o outro será o lado; o ângulo compreendido entre esses raios é o ângulo central. Se definirmos 
que 𝑀 é o ponto central do lado 𝐴 𝐴 , então encontraremos o triângulo retângulo ∆𝐴 𝐶𝑀, e o 
ângulo 𝐴 𝐶𝑀 será congruente a metade do ângulo central: 
 
𝑚 𝐴 𝐶𝑀 =
𝛼
2
=
𝜋
𝑛
 
 
 Dessa forma, encontraremos uma relação clara: conhecemos a hipotenusa do triângulo 
retângulo (que é o próprio raio) e o cateto oposto ao ângulo que analisamos (que mede a metade 
do lado), logo 
 
sen
𝛼
2
=
𝑙
2
𝑟
 
sen
𝜋
𝑛
=
𝑙
2𝑟
 
𝑙 = 2𝑟 sen
𝜋
𝑛
 
 
 Podemos, ainda, isolar o raio: 
 
Roberto Gandulfo – @portuguescombetinho 
𝑟 =
𝑙
2 sen
𝜋
𝑛
 
 
Apótema 
 
 Eu gostaria de fazer um pequeno adendo ao apótema, embora creia que ele não será tão 
necessário ao longo das explicações subsequentes. No triângulo retângulo ∆𝐴 𝐶𝑀 – que vimos 
anteriormente –, o lado que conecta o centro ao ponto médio do lado (𝐶𝑀) é o apótema. Se nos 
valermos do cosseno, encontramos a relação entre o raio (hipotenusa) e o apótema, que aqui 
representaremos por m. 
 
cos
𝛼
2
=
𝑚
𝑟
 
cos
𝜋
𝑛
=
𝑚
𝑟
 
𝑚 = 𝑟 cos
𝜋
𝑛
 
 
 O aluno também pode usar a tangente para descobrir a relação entre o apótema e o lado. 
Ele chegará ao seguinte resultado: 
 
𝑙 = 2𝑚 tg
𝜋
𝑛
 
 
 Se isolarmos o apótema, chegamos à seguinte expressão: 
 
𝑚 =
𝑙
2 tg
𝜋
𝑛
 
 
Área 
 
 Agora que encontramos a relação entre a medida do lado e a do raio e entre a do apótema 
e a do lado, podemos encontrar a área do polígono geral. Para isso, bastará compreendermos que 
todo polígono regular de n lados possui n triângulos do tipo ∆𝐴 𝐶𝐴 . Logo, se conseguirmos 
calcular a área desse triângulo, apenas deveremos multiplicá-la pelo número de lados. 
 Uma das fórmulas para calcular área de triângulos se baseia na medida de dois lados e do 
ângulo que existe entre eles. Se um triângulo possui dois lados de medida a e b e o ângulo entre 
eles mede α, então sua área será calculada desta forma: 
 
𝑆∆ =
𝑎𝑏 sen(𝛼)
2
 
 
 Por ser de demonstração fácil, esta fórmula não será explicada aqui. No triângulo 
∆𝐴 𝐶𝐴 , dois lados são os raios, e o ângulo que há entre eles é o central. Logo, a área desse 
triângulo pode ser calculada da seguinte maneira: 
 
𝑆∆ =
𝑟𝑟 sen
2𝜋
𝑛
2
=
𝑟 sen
2𝜋
𝑛
2
 
 
Roberto Gandulfo – @portuguescombetinho 
 Agora, bastará multiplicar essa área pelo número de lados. Portanto, a área do polígono 
geral é esta: 
 
 
𝑆 =
𝑛𝑟 sen
2𝜋
𝑛
2
 
 
 Podemos reescrever essa fórmula substituindo o raio pelo lado. 
 
𝑆 =
𝑛
𝑙
2 sen
𝜋
𝑛
sen
2𝜋
𝑛
2
=
𝑛
𝑙
4 sen
𝜋
𝑛
sen
2𝜋
𝑛
2
=
𝑛𝑙 sen
2𝜋
𝑛
8 sen
𝜋
𝑛
 
 
 Para simplificar essa expressão, podemos utilizar a fórmula do seno do arco duplo: 
 
sen(2𝑥) = 2 sen(𝑥) cos(𝑥) 
 
 Portanto, 
 
sen
2𝜋
𝑛
= 2 sen
𝜋
𝑛
cos
𝜋
𝑛
 
 
 Dessa forma, 
 
𝑆 =
𝑛𝑙 2 sen
𝜋
𝑛
cos
𝜋
𝑛
8 sen
𝜋
𝑛
=
𝑛𝑙 cos
𝜋
𝑛
4 sen
𝜋
𝑛
 
𝑆 =
𝑛𝑙
4 tg
𝜋
𝑛
 
 
 Partindo-se da primeira fórmula (que continha o raio, e não o lado), podemos reescrevê-
la de outra forma. Relembremos, então, dois fatos: 
 
𝑆 =
𝑛𝑟 sen
2𝜋
𝑛
2
 
sen
2𝜋
𝑛
= 2 sen
𝜋
𝑛
cos
𝜋
𝑛
 
 
 Além disso, devemos relembrar a fórmula do lado em relação ao raio: 
 
𝑙 = 2𝑟 sen
𝜋
𝑛
 
 
 Portanto, a fórmula geral da área pode ser reescrita assim: 
 
𝑆 =
𝑛𝑟 sen
2𝜋
𝑛
2
=
𝑛𝑟 2 sen
𝜋
𝑛
cos
𝜋
𝑛
2
 
Roberto Gandulfo – @portuguescombetinho 
𝑆 =
2𝑟 sen
𝜋
𝑛
𝑛𝑟 cos
𝜋
𝑛
2
 
𝑆 =
𝑛. 𝑙. 𝑟 cos
𝜋
𝑛
2
 
 
 Se bem repararmos, ainda conseguimos encontrar o apótema nessa fórmula: 
 
𝑆 =
𝑛. 𝑙. 𝑟 cos
𝜋
𝑛
2
 
𝑆 =
𝑛. 𝑙. 𝑚
2
 
 
 Por fim, podemos encontrar aí o semiperímetro: 
 
𝑆 =
𝑛𝑙
2
𝑚 = 𝑝. 𝑚 
 
 Enfim, é apenas outra maneira de escrever a mesma fórmula. Mas qualquer bom 
matemático sabe que, na maior parte das vezes, quanto menor o número de variáveis (ou 
elementos codependentes), melhor será o emprego da fórmula. Eu, particularmente, prefiro a 
primeira ou a segunda fórmula apresentada para a área, porque ali só aparecem S, r e n ou S, l e 
n. Nesta última, vemos a dependência entre S, n, l e m, todos codependentes. 
 Antes de encerrar este tópico, o aluno deve notar que o apótema é o raio da
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