P1 ANÁLISE 1 prof Ma To Fu UnB 2021

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Análise I - Turma A - P1
Matofu - UnB 2021
• A prova P1 é individual e sem consulta ao livre.
• Inicia-se às 08h05 e termina 09h50.
• Enviar solução da prova para o email ¡matofuc1tn@gmail.com¿ até as 10h10.
1 - Seja A ⊂ R limitado superiormente e
B = {−x | x ∈ A}
Prove que inf B = − supA.
2 - Sequencias:
(a) Sejam duas sequencias tais que xn → a e yn → b, com xn < yn, ∀n ∈ N. Prove
usando ε e n0 que a ≤ b.
(b) Use item (a) para concluir que
α < β + ε, ∀ε > 0 então α ≤ β.
3 - Quais propriedades clássicas (prinćıpio do supremo, intervalos encaixados, teorema
de Dedekind, teorema de Bolzano-Weierstrass, critério de Cauchy) valem para Reais ou
Racionais. Dê exemplos ou contra-exemplos.
4 - Prove que para todo a ∈ R, prove que a série
a2 +
a2
1 + a2
+
a2
(1 + a2)2
+
a2
(1 + a2)3
+ · · ·
é convergente e calcule sua soma.
5 - Compare séries convergentes (simples) com séries absolutamente convergente. Quais
as principais diferenças?
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