Lista de exercícios RESOLVIDA Mecânica dos Solos I - Acréscimo de tensão no solo, tensões efetivas, Boussinesq e Westergaard - Engenharia Civil

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Mecânica dos Solos I 
Lista de Exercícios no3 
 
 
 
1) Calcule as tensões efetivas finais nos pontos A e B, e na profundidade z = -14m. Considere o 
carregamento retangular uniformemente distribuído, Q = 340kPa, e os dados da Figura I. 
 
 
 
 
Figura I 
 
 
2. Calcule o acréscimo de tensão no ponto I (Figura II) por Boussinesq e Westergaard, para: a) solo 
argiloso (H = 8m) e b) solo arenoso (H = 10m). Faça uma análise comparativa dos resultados. 
Dados: solo argiloso µ = 0,40 e solo arenoso µ = 0,20. 
 
 
 
 
 
Figura II 
LISTA III - Mecânica dos Solos 
 
Aluna: Isabella do Socorro Neves Mergulhão 
Matrícula: 21850575 
 
Para o cálculo das tensões geostáticas iniciais, necessita-se do γsat (pois os solos 
são saturados) e z. Nesta questão, não foi dado o γsat, portanto, ele será 
deduzido abaixo de forma a achar uma correlação que envolva os índices físicos 
dados. 
γ𝑠𝑎𝑡 =
𝑃
𝑉
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑉𝑣 = 𝑉𝑤 
γ𝑠𝑎𝑡 =
𝑃
𝑉
=
𝑃𝑤 + 𝑃𝑠
𝑉𝑤 + 𝑉𝑠
 
Foi dado w, e sabe-se que 𝑤 =
𝑀𝑤∙𝑔
𝑀𝑠∙𝑔
=
𝑃𝑤
𝑃𝑠
, assim como, foi dado γ𝑠 =
𝑃𝑠
𝑉𝑠
. A partir 
deles, obtém-se 𝑃𝑤 = 𝑤 ∙ 𝑃𝑠 e 𝑃𝑠 = γ𝑠 ∙ 𝑉𝑠, portanto: 
 
γ𝑠𝑎𝑡 =
𝑤 ∙ 𝑃𝑠 + 𝑃𝑠
𝑉𝑤 + 𝑉𝑠
=
𝑤 ∙ γ𝑠 ∙ 𝑉𝑠 + γ𝑠 ∙ 𝑉𝑠
𝑉𝑤 + 𝑉𝑠
=
γ𝑠 ∙ 𝑉𝑠 ∙ (𝑤 + 1)
𝑉𝑤 + 𝑉𝑠
 
A partir de 𝑒 =
𝑉𝑣
𝑉𝑠
, obtém-se 𝑉𝑣 = 𝑉𝑤 = 𝑒 ∙ 𝑉𝑠 e portanto, substituindo na última 
igualdade: 
γ𝑠𝑎𝑡 =
γ𝑠 ∙ 𝑉𝑠 ∙ (𝑤 + 1)
𝑒 ∙ 𝑉𝑠 + 𝑉𝑠
=
γ𝑠 ∙ 𝑉𝑠 ∙ (𝑤 + 1)
𝑉𝑠 ∙ (𝑒 + 1)
=
γ𝑠 ∙ (𝑤 + 1)
(𝑒 + 1)
 
 
Line
Line
Como a questão não forneceu o valor de e, será necessário fazer uma dedução 
para encontrar uma correlação que utilize os índices físicos dados e ela será feita 
a seguir. 
𝑒 =
𝑉𝑣
𝑉𝑠
 
Como 𝑆𝑟 =
𝑉𝑤
𝑉𝑣
, tem-se que 𝑉𝑣 =
𝑉𝑤
𝑆𝑟
. Portanto: 
𝑒 =
𝑉𝑤
𝑉𝑠 ∙ 𝑆𝑟
 
A partir de γ𝑤 =
𝑃𝑤
𝑉𝑤
, obtém-se 𝑉𝑤 =
𝑃𝑤
 γ𝑤
 e, portanto: 
𝑒 =
𝑃𝑤
γ𝑤 ∙ 𝑉𝑠 ∙ 𝑆𝑟
 
A seguir, partindo de γ𝑠 =
𝑃𝑠
𝑉𝑠
, tem-se que 
1
𝑉𝑠
=
γ𝑠
𝑃𝑠
, então: 
𝑒 =
𝑃𝑤 ∙ γ𝑠
γ𝑤 ∙ 𝑃𝑠 ∙ 𝑆𝑟
 
Por fim, como 𝑤 =
𝑀𝑤∙𝑔
𝑀𝑠∙𝑔
=
𝑃𝑤
𝑃𝑠
, obtém-se: 
𝑒 =
𝑤 ∙ γ𝑠
γ𝑤 ∙ 𝑆𝑟
 
 
PARA O SOLO ARGILOSO: 
𝑒 =
𝑤 ∙ γ𝑠
γ𝑤 ∙ 𝑆𝑟
=
1,08 ∙ 22
10 ∙ 1,00
= 2,376 
 
γ𝑠𝑎𝑡 =
γ𝑠 ∙ (𝑤 + 1)
(𝑒 + 1)
=
22 ∙ (1,08 + 1)
(2,376 + 1)
= 13,55 𝑘𝑁/𝑚3 
 
PARA O SOLO ARENOSO: 
𝑒 = 0,98 
𝑤 ∙ γ𝑠
γ𝑤 ∙ 𝑆𝑟
= 0,98 =
𝑤 ∙ 26,5
10 ∙ 1,00
 
𝑤 = 36,98% 
 
γ𝑠𝑎𝑡 =
γ𝑠 ∙ (𝑤 + 1)
(𝑒 + 1)
=
26,5 ∙ (0,3698 + 1)
(0,98 + 1)
= 18,33 𝑘𝑁/𝑚3 
TENSÕES GEOSTÁTICAS INICIAIS 
σ = γ𝑠𝑎𝑡 ∙ 𝑧 = 13,55 ∙ 10 + 18,33 ∙ 4 = 208,82 𝑘𝑃𝑎 
𝑢 = γ𝑤 ∙ 𝑧 = 10 ∙ 14 = 140 𝑘𝑃𝑎 
𝜎′ = 𝜎 − 𝑢 = 208,82 − 140 = 68,82 𝑘𝑃𝑎 
 
ACRÉSCIMO DE TENSÃO 
 Para os cálculos de acréscimo de tensão foram utilizadas as informações 
do gráfico abaixo, disponível no livro do Carlos Souza Pinto. 
 
PONTO A 
Para o cálculo do acréscimo de tensão no ponto A, de acordo com a solução de 
Newmark, ele precisar estar em um dos vértices do retângulo, portanto, foi 
considerado um dos quadrados de acordo com a divisão abaixo: 
 
 
 
 
 
A 
5 m 
2 m 
A 
10 m 
4 m 
 Na tabela a seguir estão expostas as informações calculadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTO B 
Assim como no ponto A, para o cálculo do acréscimo de tensão no ponto B, de 
acordo com a solução de Newmark, ele precisar estar em um vértice do 
retângulo, portanto, criou-se um retângulo maior para acomodá-lo. Entretanto, 
como a nova área criada não corresponde de fato ao terreno em estudo, então, 
ao final, é necessário fazer o ajuste (por meio de subtrações) para obter-se os 
resultados corretos. 
A nova área está mostrada na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTO A 
Q (kPa) 340 
a (m) 5 
b (m) 2 
z (m) 14 
m a / z = 0,357 
n b / z = 0,143 
Iσ' 0,019 
Iσ' Total Iσ' *4 = 0,076 
∆σ'z (kPa) Q* Iσ' Total = 25,840 
A 
10 m 
4 m 
B 
3 m 
4 m 
A 
10 m 
4 m 
Os cálculos dos acréscimos de tensão foram feitos e estão alocados na tabela a 
seguir, sendo que os retângulos correspondentes estão na foto abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTO B 
Retângulo maior R1 R2 R3 
Q (kPa) 340 Q (kPa) 340 Q (kPa) 340 Q (kPa) 340 
a (m) 14 a (m) 7 a (m) 14 a (m) 4 
b (m) 7 b (m) 4 b (m) 3 b (m) 3 
z (m) 14 z (m) 14 z (m) 14 z (m) 14 
m 1,000 m 0,500 m 1,000 m 0,286 
n 0,500 n 0,286 n 0,214 n 0,214 
Iσ' 0,120 Iσ' 0,055 Iσ' 0,059 Iσ' 0,026 
 
Iσ' Total = (Iσ' retângulo maior - Iσ' R1 - Iσ' R2 + Iσ' R3) = 0,032 
∆σ'z (kPa) = Iσ' Total * Q = 10,880 
 
TENSÕES EFETIVAS FINAIS 
Tensões Efetivas Finais (σ' + ∆σ'z) (kPa) 
 
PONTO A PONTO B 
94,66 79,70 
 
A 
B 
Retângulo maior 
A 
B 
R1 
A 
B 
R2 
A 
B 
R3 
 
Para o cálculo de acréscimo de tensão em um ponto, existem as duas fórmulas 
abaixo: 
Boussinesq Westergaard 
 
 
 
 
 
 
 
Para este problema, foram utilizadas as duas, para a observação da diferença 
de resultados. E os resultados estão apresentados na tabela abaixo: 
Acréscimos de Tensão 
 
Solo Argiloso Solo Arenoso 
Boussinesq Westergaard Boussinesq Westergaard 
F (kN) 500 F (kN) 500 F (kN) 500 F (kN) 500 
z (m) 8 z (m) 8 z (m) 10 z (m) 10 
r (m) 6 r (m) 6 r (m) 6 r (m) 6 
∆σ'z (kPa) 1,223 µ 0,40 ∆σ'z (kPa) 1,107 µ 0,20 
- - ƞ 0,408 - - ƞ 0,612 
 ∆σ'z (kPa) 0,816 ∆σ'z (kPa) 0,774 
 
 
Lembrando-se que para o cálculo do ƞ, utilizou-se a seguinte expressão: ƞ =
√
1−2µ
2−2µ
. 
 
Com relação aos resultados pode-se observar uma diferença considerável no 
acréscimo de tensão no mesmo solo ao variar-se a equação de cálculo, cerca 
de 43,21%. Boussinesq foi a pioneira entre essas duas analisadas e é válida, 
entretanto não leva em consideração a granulometria dos solos. Ela considera 
apenas a força aplicada, a profundidade do ponto em relação ao nível de 
referência e a distância horizontal entre a força aplicada e o ponto de análise. Já 
a equação de Westergaard leva em consideração no cálculo do ƞ o coeficiente 
de Poisson (µ), que é um parâmetro que reflete o quanto o solo deforma no 
sentido horizontal em relação à deformação no sentido do carregamento. Ou 
seja, as características de cada solo interferem no cálculo do acréscimo de 
tensão e em como a carga distribuída vai agir em um determinado terreno. O 
que torna a equação de Westergaard mais realista e precisa que a de 
Boussinesq.