Questões de regressão simples e multipla

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1.Considere o modelo de regressão simples padrão y = β0 + β1X + μ sob os pressupostos do método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). Assim os estimadores usuais de MQO, β0 e β1 são não viesados para seus respectivos parâmetros populacionais. Seja o estimador de β1 obtido por assumir um modelo com intercepto igual a zero. 
a) Encontre E() em termos de xi, β0 e β1. Verifique que é não viesado para β1 quando o intercepto populacional (β0) é zero. 
Sabemos que,
Inserindo y = β0 + β1X + μ na equação acima, obtemos,
Portanto, o numerador pode ser definido como,
 + + 
Condicionando a xi, temos,
E + 
Como E (ui) = 0 para todo i. Desse modo, o viés em é dado pelo primeiro termo nessa equação. É certo que quando = 0, o viés é zero. Também é zero quando = 0, que é o mesmo que No último caso, a regressão através da origem é idêntica a regressão com uma interceptação.
b) Encontre a variância de . (Dica: a variância não depende de β0).
c) Mostre que a Var () ≤ Var (). (Dica: para qualquer amostra de dados, 
 
 
 
 = 
Denominadores 
2. Considere o modelo de regressão múltipla contendo 3 variáveis independentes, onde atende as hipóteses do MQO: 
y = β0 + β1x1 + β1x2 + β3x3 + u
Você está interessado em estimar a soma dos parâmetros de x1 e x2; chame isto de Ө1 = β1 + β2. Mostre que é um estimador não viesado de Ө1.
Tendo em vista as quatro suposições da regressão múltipla:
A. O modelo da população é tal que a variável dependente se expressa como a combinação linear de variáveis explicativas e o termo de erro. É isso que é exibido pelo modelo populacional dado através da expressão acima.
B. As observações relativas às variáveis dependentes e independentes são observações aleatórias. Supõe-se que isso seja verdadeiro no caso dado.
C. As variáveis explicativas são independentes umas das outras, de tal forma que nenhuma relação linear entre as variáveis independentes se mantém. Isto é, não há problema de multicolinearidade.
D. O valor esperado do erro no modelo populacional é zero. Isso significa que: .
Dada essas suposições, pode-se garantir que:
 e 
Já que . Isso implica que:
Isso implica que que é um estimado não viesado de .