01 Estrutura Hiperestática

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Edson Tejerina Calderón Teoria das Estruturas I 
Teoria das Estruturas I 
1 Estruturas planas isostáticas e hiperestáticas 
1.1 Vínculos 
São caracterizados pelo número de graus de mobilidade que retiram de uma estrutura. O 
quadro 1.1 traz exemplos de apoios externos e internos à estrutura, bem como a indicação das 
restrições que oferecem a determinado ponto da estrutura. 
 
 
 
 
a) Chapa (barra rígida) 
É um elemento estrutural capaz de transmitir qualquer tipo de esforço solicitante. 
Símbolo: traço grosso 
Exemplo: vigas, pilares, pórticos 
 
bv=
(M,Q,N)
bv=14414
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b) Barras simples 
É um elemento estrutural cuja função estática consiste em transmitir apenas forças 
normais. 
Símbolo: traço fino 
Exemplo: tirantes, escoras, barras das treliças 
 
 c) Vínculos externos 
São aparelhos vinculares que unem uma chapa com a chapa terra. 
 
Símbolo: 
Exemplo: 
 
d) Vínculos internos 
São articulações pelas quais se unem duas ou mais chapas. 
 
Símbolo: 
Exemplo: rótula. 
 
e) Nó 
É uma articulação pela qual se unem duas ou mais barras simples. 
Exemplo: Nó de treliça. 
 
1.2 Classificação de uma estrutura em função dos seus graus de liberdade 
Considerando-se uma estrutura composta por c chapas, n nós e b barras simples, a sua 
classificação decorre do número de graus de liberdade de movimento L, no plano, que são os dois 
para um nó e três para uma chapa. 
𝐿 = 2𝑛 + 3𝑐 
O número de barras simples é dado por: 
𝑏 = 𝑏 + 𝑏 
onde: 
br ... número de barras simples reais 
bv ... número de barras simples vinculares 
Apoio 
móvel 
Apoio 
fixo 
Engaste 
(N)
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Se o número de barras simples: 
 
 𝑏 < 𝐿 → Estrutura Hipostática. 
 𝑏 = 𝐿 → Estrutura Isostática. 
 𝑏 > 𝐿 → Estrutura Hiperestática. 
 
 
Exemplo 1.1 
Classificar as seguintes estruturas: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
chapas c = 1 
nós n = 0 
barras reais b = 1 
barras vinculares b = 1 
𝐿 = 2𝑛 + 3𝑐 
𝐿 = 2 ∙ 0 + 3 ∙ 1 
𝐿 = 3 
𝑏 = 𝑏 + 𝑏 
𝑏 = 1 + 4 
𝑏 = 5 
Como 𝑏 > 𝐿 a estrutura é hiperestática 
𝑐 = 1 
𝑛 = 1 
b = 2 
b = 3 
 
 
𝐿 = 2𝑛 + 3𝑐 
𝐿 = 2 ∙ 1 + 3 ∙ 1 
𝐿 = 5 
𝑏 = 𝑏 + 𝑏 
𝑏 = 2 + 3 
𝑏 = 5 
Como 𝑏 = 𝐿 a estrutura é isostática 
𝑐 = 0 
𝑛 = 10 
b = 17 
b = 3 
4
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d) 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
Este exemplo mostra que a condição b = L é necessária, mas não suficiente para classificar 
a estrutura como isostática. É preciso verificar a estabilidade global. Nota-se que a estrutura está 
livre para se movimentar horizontalmente, conforme indicado pelas setas. Trata-se de uma 
estrutura INSTÁVEL. 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
Como no caso anterior, a estrutura anterior, apesar de ter o número de graus de liberdade 
igual ao número de barras simples, é INSTÁVEL, pois pode mover-se livremente no sentido 
vertical. 
 
𝐿 = 2𝑛 + 3𝑐 
𝐿 = 2 ∙ 10 + 3 ∙ 0 
𝐿 = 20 
𝑏 = 𝑏 + 𝑏 
𝑏 = 17 + 3 
𝑏 = 20 
Como 𝑏 = 𝐿 a estrutura é isostática 
𝑐 = 2 
𝑛 = 0 
 b = 0 
b = 3 + 3 + 2 = 8 
𝐿 = 2𝑛 + 3𝑐 
𝐿 = 2 ∙ 0 + 3 ∙ 2 
𝐿 = 6 
𝑏 = 𝑏 + 𝑏 
𝑏 = 0 + 8 
𝑏 = 8 
Como 𝑏 > 𝐿 a estrutura é hiperestática 
𝑐 = 1 
𝑛 = 0 
 b = 0 
b = 3 
𝐿 = 2𝑛 + 3𝑐 
𝐿 = 2 ∙ 0 + 3 ∙ 1 
𝐿 = 3 
𝑏 = 𝑏 + 𝑏 
𝑏 = 0 + 3 
𝑏 = 3 
𝑐 = 1 
𝑛 = 0 
b = 0 
b = 3 
𝐿 = 2𝑛 + 3𝑐 
𝐿 = 2 ∙ 0 + 3 ∙ 1 
𝐿 = 3 
𝑏 = 𝑏 + 𝑏 
𝑏 = 0 + 3 
𝑏 = 3 
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INSTÁVEL!
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1.3 Determinação do grau de hiperestaticidade 
a) Hiperestaticidade externa (𝑔 ) 
 Ocorre em estruturas abertas, isto é, estruturas que não têm quadros. 
Exemplos de quadros: 
 
 
 
 
 
𝑔 = 𝑏 − 𝐿 
No caso de treliças utiliza-se: 
𝑔 = 𝑏 − 3 
 
Exemplo1.2 
Determinar o grau de hiperestaticidade externa da seguinte estrutura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Hiperestaticidade interna (𝑔 ) 
 Ocorre em estruturas fechadas, que tenham pelo menos um quadro. 
𝑔 = 3𝑞 
onde q representa o número de quadros. 
No caso de treliças utiliza-se: 
𝑔 = 𝑏 − 2𝑛 + 3 
𝑐 = 2 
𝑛 = 0 
b = 0 
b = 7 
𝐿 = 2𝑛 + 3𝑐 
𝐿 = 2 ∙ 0 + 3 ∙ 2 
𝐿 = 6 
𝑏 = 𝑏 + 𝑏 
𝑏 = 0 + 7 
𝑏 = 7 
𝑔 = 𝑏 − 𝐿 
𝑔 = 7 − 6 
𝑔 = 1 
(a) (b) 
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Exemplo1.3 
Determinar o grau de hiperestaticidade interno e externo da estrutura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Hiperestaticidade total. 
𝑔 = 𝑔 + 𝑔 
 
Exemplo 1.4 
Determinar o grau de hiperestaticidade total das estruturas abaixo. 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑐 = 1 
𝑛 = 0 
b = 0 
b = 3 
𝐿 = 2𝑛 + 3𝑐 
𝐿 = 2 ∙ 0 + 3 ∙ 1 
𝐿 = 3 
𝑏 = 𝑏 + 𝑏 
𝑏 = 0 + 3 
𝑏 = 3 
𝑔 = 𝑏 − 𝐿 
𝑔 = 3 − 3 
𝑔 = 0 
𝑔 = 3 ∙ 𝑞 
𝑔 = 3 ∙ 1 
𝑔 = 3 
𝑐 = 1 
𝑛 = 0 
b = 1 
b = 4 
𝑞 = 1 
𝐿 = 2𝑛 + 3𝑐 = 2 ∙ 0 + 3 ∙ 1 = 3 
𝑏 = 𝑏 + 𝑏 = 1 + 4 = 5 
𝑔 = 𝑏 − 𝐿 = 5 − 3 = 2 
𝑔 = 3 ∙ 𝑞 = 3 ∙ 1 = 3 
𝑔 = 𝑔 + 𝑔 = 2 + 3 = 5 
𝑐 = 3 
𝑛 = 0 
b = 0 
b = 14 
𝑞 = 0 
𝐿 = 2𝑛 + 3𝑐 = 2 ∙ 0 + 3 ∙ 3 = 9 
𝑏 = 𝑏 + 𝑏 = 0 + 14 = 14 
𝑔 = 𝑏 − 𝐿 = 14 − 9 = 5 
𝑔 = 3 ∙ 𝑞 = 3 ∙ 0 = 0 
𝑔 = 𝑔 + 𝑔 = 5 + 0 = 5