Equações do Segundo Grau -- Primeira Edição

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Equações
 do 2º Grau
Leonardo Santos
1ª Edição
+30 Exemplos Resolvidos
Equações do Segundo Grau
Leonardo Santos Barbosa
23 de novembro de 2021
Equações do 2o. Grau ii
Sumário
1 Equações Quadráticas 9
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Equações Incompletas . . . . . . . . . 12
1.3.2 Equações Completas . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Demonstração da Fórmula . . . . . . . 21
1.4 Soma e Produto das Raízes . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Soma das Raízes . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Produto das Raízes . . . . . . . . . . . 25
1.4.3 Produto de Stevin . . . . . . . . . . . 27
1.4.4 Teorema Fundamental da Álgebra . . 29
1.4.5 Operações Algébricas com as Raízes . 31
1.5 As Somas de Newton . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.1 Potências das Raízes . . . . . . . . . . 38
1.6 Problemas do Segundo Grau . . . . . . . . . . 41
1.6.1 Equações Biquadradas . . . . . . . . . 41
1.6.2 Funções Quadráticas . . . . . . . . . . 43
1.6.3 Equações Fracionárias . . . . . . . . . 44
1
Equações do 2o. Grau 2
1.6.4 Sistemas e Problemas . . . . . . . . . 45
1.7 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . 46
Como Usar Este
Ebook
Embora o que vou dizer aqui não é uma lei (nem axioma,
nem princípio), você pode encarar como uma sugestão, não
só de uso deste livro, como também de todos os outros que
você tenha em mãos.
Este não é um livro “comum’. Digo, em vários sentidos.
Mas, talvez, o mais significante deles é que ele é focado em
duas características:
(i) ter um texto fluido, simples e acessível com profundi-
dade de conteúdo; e
(ii) estar cheio de exemplos resolvidos deste mesmo con-
teúdo.
Assim, embora eu acredite – de verdade – que você vai
aprender matemática fazendo muitos e muitos exercícios
(não vamos colocar uma meta, pois teríamos que dobrá-la
depois. . . !), aqui você não encontrará aqui aquelas listas in-
termináveis de centenas exercícios como na imensa maioria
3
Equações do 2o. Grau 4
dos livros. Justamente porque ele é focado em seu próprio
conteúdo e em exemplos resolvidos buscando ilustrar o as-
sunto!
Entretanto, nem tudo está perdido, a minha recomendação
é que você use os exemplos resolvidos justamente como seus
exercícios, simplesmente para verificar se de fato entendeu o
que foi abordado. Até mesmo para tentar, por que não, so-
luções alternativas e, mais uma vez, por que não, mais fáceis.
Para finalizar, você pode imprimir este livro (somente frente
e não frente-verso) caso queira, justamente para usar como
seu bloco de anotações e como material de consulta sempre
que necessário.
Bons estudos!
Leonardo Santos
Sobre o Autor
Engenheiro eletrônico e de computação formado pela Uni-
versidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), atuando como
professor de matemática e física em cursos preparatórios
para carreiras militares.
Ex-cadete da Academia da Força Aérea (AFA), praticante
de triatlo a cerca de cinco anos e maratonista, casado e pai.
É co-fundador do @def.preparatorio que é uma iniciativa
com o intuito de criar materiais de preparação para concur-
sos com alta qualidade tanto no que diz respeito ao conteúdo
em si, quanto ao tocante à parte gráfica. Esta última toda
feita em liguagem TEX.
Siga nosso perfil no instagramTM e fique por dentro de nos-
sos conteúdos.
Nos vemos por aí e, claro, sucesso!
5
Equações do 2o. Grau 6
Prefácio
Bom, vamos lá.
Em primeiro lugar, não há pretensão alguma de substituir
seu material didático atual. Porém, em um amplo segundo
lugar, há uma grande (imensa, na realidade) vontade de tra-
zer à tona algo que não seja apenas “mais do mesmo” sobre
este assunto que tratamos aqui no livro. Assim, o intuito é
única e exclusivamente complementar o que você já tem e
não substituir.
Você, com certeza verá aqui tópicos que já estudou, mas
como disse, a ideia é complementar ou “dar uma nova rou-
pagem”, por assim dizer. Para isso, precisamos organizar o
conteúdo em alguns momentos, talvez, de uma forma me-
nos óbvia, mas que para nós faz bastante sentido. Afinal,
se fizéssemos o que a grande maioria faz, estaríamos apenas
“chovendo no molhado” como se diz popularmente.
Claro que nada disso teria efeito, se o conteúdo fosse es-
crito de maneira extremamente densa e intricada. Embora,
tenhamos tentado dar profundidade ao máximo, tentamos
7
Equações do 2o. Grau 8
trazer isso sempre de forma leve com vários exemplos e uma
linguagem a mais simples possível para que, mesmo o aluno
com a menor experiência anterior possa acompanhar e, prin-
cipalmente, aprender.
Espero, então que este material consiga transmitir algo real-
mente útil a você em sua vida estudantil, seja ela na escola
ou na preparação para concursos e que te ajude a alcançar
seus objetivos.
Capítulo 1
Equações Quadráticas
1.1 Introdução
Este é um assunto, em geral, comum na vida dos “pobres
indefesos” estudantes desde o atual nono ano do ensino fun-
damental brasileiro até onde quer que a carreira deles aca-
dêmica envolva matemática.
Veremos, neste material, desde a definição até temas um
pouco mais profundos, tais como as somas de Newton e as
potências envolvendo raízes. Fizemos isso para dar uma
maior atratividade e, porque não, consistência ao conteúdo.
Este assunto envolve resultados comuns em problemas de
física, especialmente aqueles envolvendo o movimento uni-
formemente variado cujos espaços ao longo do tempo são
regidos por funções do segundo grau.
9
Equações do 2o. Grau 10
Assim, unicamente por este exemplo, já é possível ver que
saber resolver uma equação do segundo grau (ou quadrática)
é quase que preponderante para criar ferramentas para a so-
lução de problemas em várias áreas distintas.
Agora chega de conversa e vamos entrar no conteúdo.
1.2 Definição
Dizemos que uma equação é do segundo grau ou quadrática
quando a mesma é representada por um polinômio inteiro
do segundo grau, isto é, quando a equação é da forma:
ax2 + bx+ c = 0
Com a, b e c números reais e a 6= 0. Alguns exemplos de
equações do segundo grau são:
Exemplo: 3x2 + 3x+ 1 = 0; em que a = 3, b = 3 e c = 1.
Exemplo: 12x
2 + 6x = 0; em que a = 12 , b = 6 e c = 0. Veja
que a equação poderia ser representada por 12x
2+6x+0 = 0.
Exemplo: −x2 +
√
2 = 0; em que a = −1, b = 0 e c =
√
2.
Mais uma representação seria −x2 + 0 · x+
√
2 = 0
Exemplo: 2x2 = 0; em que a = 2, b = 0 e c = 0. Po-
deríamos representar por 2x2 + 0 · x+ 0 = 0.
Quando a equação possui todos os coeficientes não nulos,
11 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
dizemos que ela é completa. Dos exemplos anteriores, ape-
nas o primeiro representa uma equação completa. As demais
são ditas incompletas.
Além disso, veja que a equação
0 · x3 + x2 + 2x+ 1 = 0
também é do segundo grau, uma vez que isto é o mesmo que
escrever:
x2 + 2x+ 1 = 0
Outro aspecto importante é que equações como a do exem-
plo a seguir
1
x2 + 2x
= −1
que, depois de desenvolvida, resulta em
x2 + 2x+ 1 = 0
não são equações do segundo grau, pois originalmente vem
de uma fração algébrica e que, inclusive, neste exemplo em
particular, tem a restrição de x 6= 0 sobre seu domínio, já
que precisamos ter x2 + 2x 6= 0 para que ela faça sentido.
Exemplo: A equação dada por (m−3)x3 +x2 +mx−2 = 0,
é do segundo grau em x, calcule m ∈ R.
Se é uma equação do segundo grau, devemos ter m− 3 = 0,
resultando emm = 3. A equação, então, fica x2+3x−2 = 0.
Exemplo: Calcule o valor de m ∈ R para que a equação
(m2−4)x5 + (m−2)x2 + (m+ 2)x+m2 = 0 seja uma equa-
ção do segundo grau na variável x.
Equações do 2o. Grau 12
Para que seja uma equação do segundo grau, o termo em
x5 deve ser nulo, logo m2 − 4 = 0, ou seja, m = ±2. Mas
perceba que, se m = 2, o termo em x2 também se anula,
portanto, só podemos ter m = −2. Ficando a equação
−4x2 + 4 = 0.
1.3 Resolução
Como qualquer equação, resolver uma equação quadrática,
significa encontrar um valor que substituído em sua incóg-
nita resulte em uma setença verdadeira. Por exemplo,x = 1
é solução da equação x2− 2x+ 1 = 0, pois 12− 2 · 1 + 1 = 0
é uma afirmação verdadeira.
Assim, tudo o que queremos é isolar o valor de x em um
dos “lados” da equação para poder explicitar seu valor. No
entanto, isso pode não ser tão simples assim, uma vez que
podemos ter termos com x2 e também com x na mesma
equação, inviabilizando este método de solução que isola a
incógnita.
Vejamos então, como proceder e, para facilitar o entendi-
mento, vamos separar em dois casos: equações incompletas
e completas.
1.3.1 Equações Incompletas
Como vimos, uma equação do segundo grau incompleta só
pode ter três formatos:
(i) ax2 = 0, em que b = c = 0; ou
13 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
(ii) ax2 + bx = 0, em que b 6= 0 e c = 0; ou
(iii) ax2 + c = 0, em que b = 0 e c 6= 0.
Lembre-se que sempre teremos a 6= 0.
Para resolver uma equação quadrática incompleta não é ne-
cessária nenhuma fórmula. Basicamente, o que vimos até
aqui é suficiente. Vamos analisar cada caso anterior, par-
tindo da equação a seguir:
ax2 + bx+ c = 0
Vamos lá.
(1) b = 0 e c = 0;
Nesta situação, temos uma equação do tipo ax2 = 0,
com a 6= 0. Portanto, basta fazermos:
ax2 = 0⇔ x2 = 0
a
⇔ x2 = 0
O que nos leva a x = ±
√
0, ou seja x = 0. Assim, seu
conjunto solução S é unitário e temos S = {0}. Assim,
já podemos ver que equações do segundo grau desse tipo
sempre apresentam conjunto solução unitário, ou seja,
sempre tem solução.
Exemplo: Resolva a equação 25x2 = 0.
Só precisamos escrever:
25x2 = 0⇔ x2 = 0
25
⇔ x = 0
Ou seja, S = {0}, como vimos anteriormente. Vamos
ao próximo caso.
Equações do 2o. Grau 14
(2) c = 0 e b 6= 0;
Neste caso, teremos uma equação do tipo ax2+bx = 0 e,
devo lembrar, a 6= 0. Neste caso, para resolvê-la, basta
por x em evidência, veja:
ax2 + bx = 0⇔ x · (ax+ b) = 0
Como o produto de dois termos só é zero se, pelo menos,
um deles for igual a zero, podemos dizer que só há duas
soluções:
(i) x = 0; ou
(ii) ax+ b = 0, o que resulta em x = − ba .
O que nos dá um conjunto solução S agora com dois
elementos: S = {0,− ba}. Assim, mais uma vez, sempre
temos solução e, neste caso, percebemos que são duas e
são distintas, já que b 6= 0. Vamos a um exemplo que
talvez possa esclarecer ainda mais.
Exemplo: Resolver a equação x2 − x = 0.
Como fizemos antes, colocando x em evidência, tere-
mos:
x(x− 1) = 0
Logo: x = 0 ou x−1 = 0, o que resulta em x = 1. Então,
temos {0, 1} como conjunto solução. Já sabíamos disso,
pois a = 1, b = −1 e x = −−11 é a solução não nula.
(3) b = 0 e c 6= 0;
No terceiro caso, teremos a equação do tipo ax2 +c = 0;
15 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
por favor, não esqueça que a 6= 0. Vamos resolvê-la. Di-
vidindo toda a equação por a, teremos:
x2 +
c
a
= 0⇔ x = ±
√
− c
a
Como a raiz é de índice igual a 2, ela só tem solução real
(solução em R) se − ca é positivo
1 ou nulo e, portanto, c
e a têm sinais diferentes, já que c 6= 0. Veja:
− c
a
> 0⇔ c
a
< 0
Isto implica c e a terem sinais diferentes para que a
divisão seja negativa2. Pensando então que a raiz qua-
drada está definida em R, teremos duas soluções reais:
x1 = −
√
− ca e x2 = +
√
− ca . Assim, o conjunto solução
S ou é vazio (S = ∅) ou S = {+
√
− ca ,−
√
− ca}. Veja-
mos exemplos.
Exemplo: Resolver a equação x2 − 4 = 0.
Usando o que vimos:
x2 − 4 = 0⇒ x2 = 4⇒ x = ±
√
4⇒ x = ±2
Veja que temos a = 1 e c = −4, portanto,
√
−−41 ∈ R e
não há restrições para calcular. Teremos {−2,+2} como
conjunto solução.
Exemplo: Resolver a equação x2 + 1 = 0, em R.
1Lembre-se que c é diferente de zero.
2O caso c = 0 já foi visto antes, lembra?
Equações do 2o. Grau 16
Veja que, agora, temos a = 1 e c = 1, então não ha-
verá solução real, pois
√
− 11 /∈ R. Mas, mesmo que
tentássemos por “mera teimosia”, veja:
x2 + 1 = 0⇒ x2 = −1⇒ x = ±
√
−1
Mas não há número real (nem positivo, nem negativo)
que elevado ao quadrado tenha como resultado um nú-
mero real negativo. Portanto, não há solução real. As-
sim o conjunto solução S é vazio.
Antes de passarmos para o estudo das equações completas,
veja que podemos fazer algumas observações sobre as solu-
ções de uma equação do segundo grau incompleta.
(i) Para c = 0, qualquer que seja b, sendo a 6= 0, a equa-
ção sempre tem solução, e uma destas é o próprio zero;
Exemplo: Calcule pelo menos uma raiz da equação
2x2 + bx = 0, considerando b ∈ R.
2x2 + bx = 0⇔ x(2x+ b) = 0
De modo que x = 0 ou x = −b2 .
(ii) O caso em que a 6= 0 e b = c = 0 pode ser pensado
como tendo duas soluções iguais a zero;
Exemplo: Mostre que uma equação do segundo grau
pode ter duas raízes iguais a zero.
Vamos assumir a equação ax2 + 0x + 0 = 0. Com
a 6= 0, teremos:
ax2 = 0⇒ x2 = 0
a
⇒ x = ±
√
0
a
17 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Teremos, então x = +0 ou x = −0, que claramente
são iguais.
(iii) Se b = 0 e houver solução real, elas serão simétricas
(ou opostas), isto é, terão soma igual a zero;
Exemplo: As soluções de 2x2 − 7 = 0, com x ∈ R
são α e β. Calcule o valor de α+ β.
Ficamos com
2x2 = 7⇔ x = ±
√
7
2
Então α = +
√
7
2 e β = −
√
7
2 (e vice-versa) e α+β = 0.
(iv) Embora tenhamos separado em casos, poderíamos ter
solucionado todas praticamente da mesma maneira.
Veja, por exemplo, o caso em que c = 0. As raízes
são 0 e − ba . Daí, se b = 0, as duas raízes são iguais a
zero, exatamente como vimos. Um caso acaba sendo
uma exceção ao outro e vice-versa.
Vamos então ver as equações completas.
1.3.2 Equações Completas
Agora vejamos o caso em que nenhum dos coeficientes a, b,
c são nulos, ou seja, a ·b ·c 6= 0. Veremos que a solução serve
para todos os casos, seja a equação completa ou incompleta
e que, neste último caso, temos apenas uma facilitação em
relação ao caso da incompleta.
As raízes podem ser chamadas de x1 e x2 e sempre terão
Equações do 2o. Grau 18
o formato a seguir, podendo ou não estar no conjunto dos
números reais. Aqui, neste material, estaremos preocupados
apenas com as soluções pertencentes ao conjunto dos núme-
ros reais.
A fórmula de resolução que fornece as raízes de uma equa-
ção quadrática do tipo ax2 + bx+ c = 0, com a, b e c sendo
números reais e a 6= 0, é:
x1 =
−b+
√
b2 − 4ac
2 · a
ou x2 =
−b−
√
b2 − 4ac
2 · a
Que pode ser escrito de forma compactada como:
x1,2 =
−b±
√
b2 − 4ac
2 · a
Em que x1 = −b+
√
b2−4ac
2·a e x2 =
−b−
√
b2−4ac
2·a são as raízes
(soluções) desta equação. Em geral, chamamos a expressão
b2 − 4ac de ∆, ficando com:
x1,2 =
−b±
√
∆
2 · a
Demonstraremos este fato a seguir, em breve. Mas antes,
vamos analisar o “papel” deste tal número ∆ no formato das
soluções.
Veja que este ∆ está dentro de uma raiz quadrada; assim,
três situações podem ocorrer: ∆ > 0, ∆ = 0 ou ∆ < 0.
Vejamos cada uma delas:
(i) ∆ > 0;
Nesta situação teremos
√
∆ ∈ R e, logicamente, duas
19 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
soluções reais e distintas, isto é, x1 6= x2.
Exemplo: Resolver, em R, a equação x2 − 5x+ 6 = 0.
Temos ∆ = (−5)2 − 4 · 1 · 6, logo ∆ = 1. Assim,
teremos:
x1 =
−(−5) +
√
1
2 · 1
=
5 + 1
2
= 3
e
x2 =
−(−5)−
√
1
2 · 1
=
5− 1
2
= 2
Confirmando que x1 6= x2, sendo o conjunto solução
{2, 3}.
(ii) ∆ = 0;
Se ∆ é nulo, claramente tem-se
√
∆ ∈ R e veja que
isto implica x1 = x2 = − b2·a .
Exemplo: Resolver, em R, a equação x2 + 4x+ 4 = 0.
Ficamos com ∆ = 42 − 4 · 1 · 4, logo ∆ = 0. Assim,
teremos:
x1 =
−4 +
√
0
2 · 1
=
−4 + 0
2
= −2
e
x2 =
−4−
√
0
2 · 1
=
−4− 0
2
= −2
Ou seja, x1 = x2 = −2. E, como dissemos ante-
riormente, − b2a = −
4
2·1 = −2. O conjunto solução
Equações do 2o. Grau 20
S então, é unitário, já que as duas raízes são iguais:
S = {−2}.
(iii) ∆ < 0.
Como a raiz quadrada de números negativos não está
definida em R, não haverá raízes reais.
Exemplo: Resolver, em R, a equação x2 + x+ 1 = 0.
Como fizemos antes, ∆ = 11 − 4 · 1 · 1 = −3 e, claro,
∆ < 0. Deste modo, não há raízes reais e o conjunto
solução S é vazio, ou seja, S = ∅.
Assim, quando queremos apenas saber de que “tipo” são as
raízes, se são reais e distintas; ou se são reais e iguais ou,
em último caso, nãoreais, só precisamos analisar o valor de
∆, que justamente por isso, é chamado de discriminante.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo: Qual o valor de m ∈ R para que a equação
x2 − 3x + 4m = 0, cuja incógnita é x, tenha raízes reais
e iguais?
Se as raízes são reais e iguais, teremos ∆ = 0, assim:
∆ = (−3)2 − 4 · 1 · 4m = 0
Portanto, 9− 16m = 0⇔ m = 916 .
Exemplo: Considere que a equaçãomx2+(2m+1)x+m = 0
possui duas raízes reais e distintas. Calcule o menor valor
21 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
do inteiro m tal que isto seja possível.
Teremos ∆ > 0. Ou seja: (2m+1)2−4 ·m ·m > 0. Ou seja:
4m2 + 4m+ 1− 4m2 > 0⇒ 4m+ 1 > 0
Daí m > − 14 . Os números inteiros maiores que −
1
4 são
0, 1, 2, . . .. Devemos ter m 6= 0, para que a equação seja do
segundo grau. Assim m = 1.
Antes de demonstrarmos a fórmula de resolução da equa-
ção do segundo grau, cabe uma observação: toda vez que
∆ = 0 em uma equação quadrática do tipo ax2 +bx+c = 0,
a expressão ax2 + bx + c é chamada de trinômio quadrado
perfeito e pode ser escrita na forma (mx+ n)2. Em um dos
exemplos anterores tínhamos a equação x4 +4x+4 = 0, que
pode ser escrita como (x+ 2)2 = 0.
No penúltimo exemplo, vimos que m = 916 tornava a ex-
pressão um trinômio quadrado perfeito, o que é verdade,
pois x2 − 3x+ 4 · 916 é o mesmo que (x−
3
2 )
2.
Vamos seguir.
1.3.3 Demonstração da Fórmula
A fórmula que apresentaremos aqui é bastante conhecida
como fórmula de Bhaskara, embora haja controvérsias sobre
isso. Deixando as “polêmicas” de lado, vamos lá3! Sabemos
que o formato é
ax2 + bx+ c = 0
3Alguns livros, inclusive, costumam chamar de fórmula de Bhas-
kara/Tartaglia.
Equações do 2o. Grau 22
com a 6= 0. Podemos então dividir tudo por a, ficando com:
x2 +
b
a
x+
c
a
= 0
Vamos adicionar o termo b
2
4a2 de ambos os lados:
x2 +
b
a
x+
b2
4a2
+
c
a
= 0 +
b2
4a2
Acontece que x2 + bax+
b2
4a2 = (x+
b
2a )
2 e teremos:(
x+
b
2a
)2
+
c
a
=
b2
4a2
Que resulta em: (
x+
b
2a
)2
=
b2
4a2
− c
a
Continuando: (
x+
b
2a
)2
=
b2 − 4ac
4a2
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados teremos:
x+
b
2a
= ±
√
b2 − 4ac
4a2
Veja que isso é o mesmo que:
x = − b
2a
±
√
b2 − 4ac√
4a2
E
√
a2 = |a|, logo:
x = − b
2a
±
√
b2 − 4ac
2|a|
23 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Assim, se a > 0 teremos |a| = a e podemos escrever:
x = − b
2a
±
√
b2 − 4ac
2a
Ou seja:
x =
−b±
√
b2 − 4ac
2a
E, fazendo ∆ = b2 − 4ac, teremos x1 = −b+
√
∆
2a e x2 =
−b−
√
∆
2a . Por outro lado, se a < 0 teremos |a| = −a e ficare-
mos com:
x = − b
2a
∓
√
b2 − 4ac
2a
Que é essencialmente o mesmo, apenas permutando x1 e x2.
A fórmula então serve, tanto para as equações completas,
quanto para as incompletas. Veja:
(i) Se b = c = 0, as soluções são x = −0±
√
02−4·a·0
2a = 0;
(ii) Se b 6= 0 e c = 0, as soluções são x = −b±
√
b2−4·a·0
2a = 0.
Ou seja, x = 0 ou x = − ba ;
(iii) Se b = 0 e c 6= 0, com ca < 0, as soluções são da forma
x = −0±
√
−4ac
2a = ±
√
−4ac
2a = ±
√
−4ac
4a2 = ±
√
− ca e
estão em R.
Um dos fatos interessantes desta abordagem é que podemos
usar isto para solucionar uma equação do segundo grau em
geral.
Exemplo: Resolva a equação x2 − 4x− 12 = 0, em R.
Equações do 2o. Grau 24
Podemos completar o quadrado adicionando +4 a ambos
os lados4:
x2 − 4x− 12 + 4 = 0 + 4
Mas x2 − 4x+ 4 = (x− 2)2, então:
(x− 2)2 − 12 = 4⇔ (x− 2)2 = 16
Portanto, teremos x− 2 = 4 ou x− 2 = −4, resultando em
x = 6 ou x = −2.
O importante é que você tente usar a fórmula e compare
as duas estratégias.
1.4 Soma e Produto das Raízes
Já vimos que as soluções de uma equação do segundo grau
do tipo ax2 + bx + c = 0, sendo x1 e x2, são da forma
x1 =
−b+
√
∆
2a e x2 =
−b−
√
∆
2a , com ∆ = b
2 − 4ac. Assim
queremos calcular x1 + x2 e x1 · x2.
1.4.1 Soma das Raízes
Vamos chamar de S a soma das raízes, isto é, S = x1 +x2 e,
de acordo com o que já vimos do formato das raízes, temos:
S =
−b+
√
∆
2a
+
−b−
√
∆
2a
Continuando:
S =
−b+
√
∆− b−
√
∆
2a
⇒ S = −2b
2a
4A estratégia é sempre adicionar o quadrado da metade do coefici-
ente b, ou seja, adicionar ( b
2
)2 a ambos os membros.
25 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Ou seja, S = − ba . Perceba que, mesmo que
√
∆ /∈ R, tere-
mos o cancelamento desta parcela.
Exemplo: Calcule a soma das raízes de 3x2 − 5x− 17 = 0.
Como vimos, basta fazer S = −−53 =
5
3 . Se fôssemos cal-
cular as raízes, teríamos x1 = 5+
√
229
6 e x2 =
5−
√
229
6 . Logo
S = 5+
√
229
6 +
5−
√
229
6 =
10
6 =
5
3 .
Raízes Simétricas
Uma consequência direta de sabermos que a soma das raízes
é igual a − ba é o fato de que, se as raízes são simétricas, sua
soma é zero, portanto − ba = 0, o que resulta em b = 0.
Exemplo: Considere a equação 3x2 + (b2 − 4)x − 17 = 0
do segundo grau em x. Calcule b ∈ R para que as raízes
sejam simétricas.
Devemos ter b2 − 4 = 0, portanto b2 = 4, logo b = ±2.
1.4.2 Produto das Raízes
Análogo ao que fizemos com a soma S, vamos chamar de
P = x1 ·x2 o produto das raízes e, mais uma vez, de acordo
com o que já vimos sobre o formato das raízes, temos:
P =
(
−b+
√
∆
2a
)
·
(
−b−
√
∆
2a
)
Continuando:
P =
(
−b+
√
∆
)
·
(
−b−
√
∆
)
2a · 2a
Equações do 2o. Grau 26
Teremos então:
P =
(−b)2 − (
√
∆)2
(2a)2
Com ∆ ≥ 0, teremos (
√
∆)2 = ∆, implicando P = b
2−∆
4a2 .
Com ∆ = b2 − 4ac, temos:
P =
b2 − (b2 − 4ac)
4a2
⇒ P = 4ac
4a2
Ou seja, P = ca .
Como observação, no caso em que ∆ < 0, esta fórmula tam-
bém é válida. Mas não entraremos na discussão já que a
justificativa envolve o conjunto dos números complexos que
não é objeto de abordagem deste ebook.
Exemplo: Calcule o produto das raízes, em R, da equação
23x2 − 41x− 29 = 0.
Bom, só precisamos fazer:
P =
c
a
⇒ P = −29
23
Somente a título de curiosidade, tente calcular achando as
raízes e multiplicando-a. . . boa sorte!
Raízes Inversas
Vimos que há uma consequência direta em saber que S =
− ba para raízes simétricas. O mesmo ocorre aqui, porém
quando as raízes são inversas uma da outra. Se isto acon-
tece, teremos P = x1 · x2 igual a 1 o que ocasiona ca = 1,
27 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
portanto c = a. Ou seja, toda vez que estes coeficientes são
iguais, teremos raízes simétricas.
Exemplo: Em 3x2 + 36x − 17m = 0, temos uma equação
do segundo grau com raízes inversas. Calcule m ∈ R.
Como as raízes são inversas, temos −17m = 3, logo m =
− 317 .
1.4.3 Produto de Stevin
Sabemos que uma equação do segundo grau ax2 +bx+c = 0
tem a 6= 0, logo, podemos colocar a em evidência:
a ·
(
x2 +
b
a
x+
c
a
)
= 0
Como − ba = S e
c
a = P , podemos escrever:
a · (x2 − Sx+ P ) = 0
Portanto teremos:
a · [x2 − (x1 + x2) · x+ x1x2] = 0
O que nos mostra que é possível ter várias equações do se-
gundo grau com as mesmas raízes, variando apenas o valor
de a. Ademais, se dividimos toda a expressão por a teremos:
x2 − (x1 + x2) · x+ x1x2 = 0
O que nos indica diretamente a soma e o produto das raízes
na própria equação. Por exemplo, x2 − 5x + 6 = 0 é uma
equação cujas raízes têm soma 5 e produto 6. É assim que
Equações do 2o. Grau 28
muitas pessoas falam em resolver uma equação do segundo
grau por soma e produto.
Exemplo: Resolva a equação x2 − 13x + 36 = 0, do se-
gundo grau.
Sendo as raízes m e n queremos m+ n = −−131 e mn =
36
1 .
Veja que a equação já está na forma x2 − Sx + P = 0, em
que S = m + n e P = mn. Assim, por observação direta,
temos m = 9 e n = 4 ou o contrário, o que não faria dife-
rença alguma.
Exemplo: Escreva uma possível equação do segundo grau
com raízes 37 e
11
19 .
Veja que, pelo Produto de Stevin, basta fazer:
a
[
x2 −
(
3
7
+
11
19
)
x+
3
7
· 11
19
]
= 0
Ou seja:
a
(
x2 − 134
133
x+
33
133
)
= 0
Assim para a = 133, por exemplo, teremos a equação de
forma ainda mais simples: 133x2 − 134x+ 33 = 0.
Exemplo: Uma equação do segundo grau tem o coeficiente
do termo de maior grau igual a 1, soma das raízes igual ao
produto das raízes e uma das raízes é 2. Qual o produto das
raízes?
Veja que a equação tem que ser do tipo:
x2 −mx+m = 0
29 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕESQUADRÁTICAS
Em que m é a soma das raízes. Se 2 é raiz, temos:
22 − 2m+m = 0
Logom = 4, o que nos dá x2−4x+4 = 0, ou seja x1 ·x2 = 4.
1.4.4 Teorema Fundamental da Álgebra
Em primeiro lugar, é preciso saber que, de acordo com o
Teorema Fundamental da Álgebra (às vezes, chamado de
T.F.A.), toda equação do segundo grau, ax2 + bx + c = 0,
(a 6= 0) pode ser fatorada usando suas raízes x1 e x2 como
segue:
a · (x− x1) · (x− x2) = 0
É bem fácil verificar que x1 e x2 são as raízes. Basta subs-
tituir x1 ou x2 no lugar de x e verificar que isto resulta em
zero.
O “T.F.A.” diz ainda que “toda equação do segundo grau
possui exatamente duas raízes (complexas)” e que ”são no
máximo duas raízes reais”. Exatamente o que pudemos per-
ceber até aqui.
Além disso, se x1 = −b+
√
∆
2a e x2 =
−b−
√
∆
2a , teremos:
a ·
(
x− −b+
√
∆
2a
)
·
(
x− −b−
√
∆
2 · a
)
= 0
Que é o mesmo que:(
2ax+ b−
√
∆
2
)
·
(
2ax+ b+
√
∆
2
)
= 0
Equações do 2o. Grau 30
Continuando:(
2ax+ b−
√
∆
)
·
(
2ax+ b+
√
∆
)
4
= 0
Resultando em
4a2x2 + 4abx+ b2 − (
√
∆)2
4
= 0
Considerando ∆ ≥ 0 teremos:
4a2x2 + 4abx+ b2 −∆
4
= 0
Como ∆ = b2 − 4ac teremos:
4a2x2 + 4abx+ b2 − b2 + 4ac
4
= 0
Logo, colocando 4a em evidência:
4a(ax2 + bx+ c)
4
= 0⇔ ax2 + bx+ c = 0
Justamente o que esperávamos encontrar. Mais uma vez,
se ∆ < 0, este resultado é igualmente válido. Mas não dis-
cutiremos isto aqui. Mas qual a utilidade disso? É o que
veremos adiante.
Exemplo: Encontre uma equação do segundo grau cujas raí-
zes sejam 13 e −7.
Simples, teremos:
a · (x− 13) · (x− (−7)) = 0
31 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Logo:
a · (x− 13) · (x+ 7) = 0
Para a = 1, teremos:
(x− 13) · (x+ 7) = 0⇔ x2 − 6x− 91 = 0
Uma observação é o fato de que poderíamos ter feito:
a[x2 − (13− 7)x+ 13 · (−7)] = 0
resultando em a · (x2 + 6x− 91) = 0, simplesmente usando
o produto de Stevin.
1.4.5 Operações Algébricas com as Raízes
Como vimos anteriormente, é possível obtermos expressões
que determinam a soma e o produto das raízes das equações
apenas relacionando-as aos seus coeficientes.
A pergunta é: será que há outras formulas além da obtida
para a soma e para o produto das raízes? Sim, há.
Por exemplo, para a diferença positiva (x1 > x2) entre as
raízes:
x1 − x2 =
−b+
√
∆
2a
− −b+
√
∆
2a
Logo x1 − x2 =
√
∆
a .
E, para a soma dos inversos:
1
x1
+
1
x2
=
x1 + x2
x1x2
Equações do 2o. Grau 32
Ou seja, como x1 + x2 = − ba e x1 · x2 =
c
a , encontramos
1
x1
+ 1x2 = −
b
c .
Exemplo: Considere a equação x2 − 12x + 35 = 0. Cal-
cule a soma dos inversos das raízes.
Se m e n são as raízes teremos: 1m +
1
n =
m+n
mn . Então:
m+ n
mn
=
−−121
35
1
=
12
35
Podemos ir além e pensar em outras possibilidades; abaixo,
listamos algumas. Todas podem ser obtidas meramente ope-
rando com as raízes ou simplemente manipulando as expres-
sões de soma e produto das raízes:
(i) Média aritmética: x1+x22 = −
b
2a ;
(ii) Média geométrica:
√
x1x2 =
√
c
a ;
(iii) Média harmônica 2x1x2x1+x2 =
2c
b ;
Outras operações algébricas com as raízes envolvem mani-
pulações com produtos notáveis e fatorações elementares.
Por exemplo, a soma dos quadrados das raízes é x21 + x22,
mas (x1 + x2)2 = x21 + 2x1x2 + x22, logo:
x21 + x
2
2 = (x1 + x2)
2 − 2x1x2
Assim:
x21 + x
2
2 =
(
− b
a
)2
− 2 · c
a
Com base então do que você deve (ou deveria. . . ) saber
sobre produtos notáveis, deixamos algumas dessas relações:
33 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
(i) Soma dos quadrados: x21 + x22 =
(
− ba
)2 − 2 · ca
(ii) Diferença dos quadrados: x21 − x22 = − b
√
∆
a
(iii) Soma dos cubos: x31 + x32 = (− ba ) · ((−
b
a )
2 − 3 · ca )
(iv) Diferença positiva dos cubos: x31−x32 = ∆a ·((−
b
a )
2− ca )
Exemplo: Considere a equação x2 − 2x + 1 = 0. Calcule o
valor de α3 + β3, sendo α e β as raízes da equação dada.
Dos produtos notáveis temos:
(α+ β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3
Logo:
(α+ β)3 = α3 + 3αβ(α+ β) + β3
Ou seja:
α3 + β3 = (α+ β)3 − 3αβ(α+ β)
Como α+ β = −−21 e αβ =
1
1 temos:
α3 + β3 = (2)3 − 3 · 1 · (1) = 2
Fiz de propósito, porque as raízes de x2 − 2x + 1 = 0 são
reais e iguais a 1.
Cada vez que queremos potências de expoentes maiores, pa-
rece que fica cada vez mais complicado. . . e é verdade!
Mas e se quiséssemos x51 + x52? Ou algo “pior”, tal como
x91 +x
9
2, o que faríamos? Bom, para isso existe o método do
qual falaremos a seguir.
Equações do 2o. Grau 34
1.5 As Somas de Newton
Como vimos, se ax2 + bx+ c = 0 é equação do segundo grau
em x e x1 e x2 são as suas raízes, podemos querer calcular
xn1 + x
n
2 para algum n natural e, como faremos isso? Bom,
não faremos a demonstração deste fato, mas podemos fazer
o que segue.
Considere que Sn é a soma das potências de expoente igual
a n da equação dada, ou seja, S3 = x31 + x32, por exemplo.
Então é verdade que:
a · Sn + b · Sn−1 + c · Sn−2 = 0
Para todo e qualquer n ∈ N em que a, b e c são os coefici-
entes da equação dada. Repare ainda que sempre teremos
S0 = n. Vejamos um exemplo.
Exemplo: Dada a equação x2 − 5x + 6 = 0, sendo m e
n suas raízes, calcule m5 + n5.
Temos a = 1, b = −5 e c = 6. Assim, ficamos com:
1 · Sn + (−5) · Sn−1 + 6 · Sn−2 = 0
Para n = 2 teremos
1 · S2 + (−5) · S1 + 6 · S0 = 0
Mas sabemos que S2 = m2 +n2, S1 = m+n e S0 = m0 +n0.
Ou seja, já temos S1 = −−51 e S0 = 1+1. Como observação,
veja que nenhuma raiz é zero, ja que c 6= 0. Assim:
S2 + (−5) · (5) + 6 · 2 = 0⇒ S2 = 13
35 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Já podemos calcular S3, pois para n = 3:
S3 + (−5) · S2 + 6 · S1 = 0
Ou seja:
S3 + (−5) · 13 + 6 · 5 = 0⇒ S3 = 35
Para n = 4, teremos para S4:
S4 + (−5) · S3 + 6 · S2 = 0
Calculando S4:
S4 + (−5) · 35 + 6 · 13 = 0⇒ S4 = 97
Finalmente, para S5:
S5 + (−5) · S4 + 6 · S3 = 0
Então:
S5 + (−5) · 97 + 6 · 35 = 0
Teremos S5 = 275.
Um observação: neste problema as raízes eram simples de
serem calculadas, pois eram m = 2 e n = 3. Assim, tería-
mos, de fato, S5 = 25 + 35 = 32 + 243 = 275.
Antes de seguir adiante, mais um exemplo, para você con-
ferir o “poder” de saber isso. . . !
Exemplo: Sabendo que m + n = 1 e que m3 + n3 = 3,
calcule m5 + n5.
Equações do 2o. Grau 36
Para resolver, pensaremos em m e n como raízes de uma
equação do segundo grau dada por ax2 + bx + c = 0. Já
sabemos que − ba = 1, pois m + n =
−b
a . Das somas de
Newton:
a · S2 + b · S1 + c · S0 = 0
Como S1 = 1 e S0 = 2, ficamos com a · S2 + b · 1 + c · 2 = 0.
Além disso:
a · S3 + b · S2 + c · S1 = 0
Logo, a ·3 + b ·S2 + c ·1 = 0. Já podemos achar uma relação
entre a, b e c. Veja:
a · S2 + b+ 2c = 0
3a+ b · S2 + c = 0
−b
a = 1
Usando a terceira equação temos a = −b, portanto:{
(−b) · S2 + b+ 2c = 0
3(−b) + b · S2 + c = 0
Isole c na segunda: c = 3b−b ·S2. Substituindo na primeira:
(−b) · S2 + b+ 2(3b− b · S2) = 0
Finalmente:
(−3b) · S2 + 7b = 0
Como b 6= 0, pois − ba = 1 temos −3S2 + 7 = 0, ou seja,
S2 =
7
3 e, substituindo S2, c =
2
3 · b; vamos agora, calcular
S4:
a · S4 + b · S3 + c · S2 = 0
Substituindo a = −b e c = 23 · b, teremos o “polinômio” que
calcula os Sn:
a · Sn + b · Sn−1 + c · Sn−2 = 0
37 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Ficamos com:
(−b) · Sn + b · Sn−1 +
2
3
b · Sn−2 = 0
Logo, dividindo tudo por b:
−Sn + Sn−1 +
2
3
· Sn−2 = 0
Para o cálculo de S4:
−S4 + S3 +
2
3
· S2 = 0
Substituindo S3 e S2, agora já conhecidos:
−S4 + 3 +
2
3
· 7
3
= 0⇔ S4 =
41
9
Agora S5:
−S5 + S4 +
2
3
· S3 = 0
Substituindo S4 e S3:
−S5 +
41
9
+
2
3
· 3 = 0
Ufa! Finalmente temos S5 = 599 . Achou ruim?! Tente fazer
resolvendo o sistema para comparar:{
m+ n = 1
m3 + n3 = 3
Teríamos n = 1−m e lógico:
m3 + (1−m)3 = 3
Equações do 2o. Grau 38
Ficando com m3 + 1− 3m+ 3m2 −m3 = 3, chegaríamos à
equação do segundo grau 3m2−3m−2 = 0, cujas raízes são
m1,2 =
3±
√
33
6 . Agora “só” precisamos calcular:
m5 + n5 =
(
3 +
√
33
6
)5
+
(
3−
√
33
6
)5
Boa sorte.
1.5.1 Potências das Raízes
Vamos supor que, dada uma equação do segundo grau com
raízes m e n, quiséssemos calcular 3m3 + 2n5, por exemplo.
Neste caso, o que vimos com assomas de Newton, podem
ajudar, mas talvez seja ainda mais complicado resolver, uma
vez que os exponentes de m e n são distintos. O que fazer
então?
Vamos voltar à equação do segundo grau ax2 + bx+ c = 0.
Nesse caso, temos:
x2 = − b
a
x− c
a
Se multiplicarmos esta expressão por x, teremos:
x3 = − b
a
x2 − c
a
x
Mas já sabemos que x2 = − bax−
c
a , ou seja:
x3 = − b
a
·
(
− b
a
x− c
a
)
︸ ︷︷ ︸
=x2
− c
a
x
39 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Ou seja:
x3 =
(
− b
a
)2
x+
bc
a2
− c
a
x
Ou ainda:
x3 =
[(
− b
a
)2
− c
a
]
· x+ bc
a2
Ou seja, já temos o cubo de uma das raízes. Poderíamos
agora, multiplicar por x2 e obter x5 em função de x3, já
conhecida em função de x, e o processo simplesmente conti-
nuaria, a fim de obtermos potências ainda maiores das raízes
em função dela. Vejamos exemplos.
Exemplo: Considere a equação x2 − 3x + 2 = 0. Se a e
b, com a > b, são suas raízes calcular a3 + b2.
Em um problema como esse, as raízes são 1 e 2. Assim,
bastaria fazer:
a3 + b2 = 23 + 12 = 9
Mas, e se as raízes fossem complicadas demais para serem
calculadas? Bom, é o que veremos. Isolando x2 na equação
dada:
x2 = 3x− 2
E, multiplicando por x, teremos:
x3 = 3x2 − 2x
Como x2 = 3x− 2, ficamos com:
x3 = 3 · (3x− 2)− 2x⇒ x3 = 7x− 6
Então a = 2 e a3 = 7a− 6, logo a3 = 7 · 2− 6 = 8. E, claro,
b = 1 e b2 = 3b − 2, portanto, b2 = 3 · 1 − 2 = 1. Ou seja,
Equações do 2o. Grau 40
a3 + b2 = 9.
Vamos ver uma situação em que as raízes são mais “com-
plicadas”.
Exemplo: Considere uma equação do segundo grau dada
por x2 − x − 1 = 0. Se α e β são suas raízes, com α > β,
calcule 2α3 + 3β4.
Temos x2 − x − 1 = 0, logo x2 = x + 1, daí, multiplicando
ambos por x:
x3 = x2 + x
Mas x2 = x + 1, então x3 = x + 1 + x, isto é, x3 = 2x + 1.
Agora, multiplicamos por x novamente, obtendo:
x4 = 2x2 + x
Mais uma vez, sabemos que x2 = x+1, logo x4 = 2(x+1)+x,
ou seja, x4 = 3x + 2. Voltando à equação, teremos como
raízes x1 = 1+
√
5
2 e x2 =
1−
√
5
2 . Como x1 > x2, sabemos
que x1 = α e x2 = β. Assim, como x3 = 2x+ 1:
α3 = 2α+ 1 = 2 · 1 +
√
5
2
+ 1 = 2 +
√
5
Como x4 = 3x+ 2 teremos:
β4 = 3 · β + 2 = 3 · 1−
√
5
2
+ 2 =
7− 3
√
5
2
Finalmente:
2α3 + 3β4 = 2 · (2 +
√
5) + 3 · 7− 3
√
5
2
41 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Resolvendo:
2α3 + 3β4 =
29− 5
√
5
2
Caso queira, você pode tentar elevar as raízes ao cubo e à
quarta potência pra conferir. Boa sorte!
1.6 Problemas do Segundo Grau
O que estamos chamando, nesta seção, de problemas do se-
gundo grau, são problemas e/ou equações que, mesmo não
sendo do segundo grau em sua essência, podem, com alguma
manipulação álgebrica resultar, em alguma parte de sua re-
solução, em uma equação quadrática.
Um dos exemplos mais comuns são as chamadas equações bi-
quadradas, que veremos a seguir. Temos também as frações
algébricas e outras equações que resultam em problemas
deste tipo. As funções chamadas de quadráticas também
têm estreita ligação com o assunto. Veremos isto também.
Esta parte é quase que uma justificativa, através de alguns
exemplos, do por quê de dedicarmos tanto tempo ao estudo
das soluções de uma equação do segundo grau.
1.6.1 Equações Biquadradas
Estas são equações da forma ax4+bx2+c = 0 com a, b, c ∈ R
em que a 6= 0. Deste modo, se fizermos a substituição
y = x2, como x4 = (x2)2, teremos a forma ay2 + by+ c = 0,
que claramente é uma equação do segundo grau, porém na
variável y.
Equações do 2o. Grau 42
As soluções y1 = −b+
√
∆
2a e y2 =
−b−
√
∆
2a , serão na realidade
uma etapa para acharmos as raízes da equação original que
serão da forma x1,2 = ±
√
y1 e x3,4 = ±
√
y2, ou seja:
x1,2 = ±
√
−b+
√
∆
2a
e x3,4 = ±
√
−b−
√
∆
2a
Uma análise simples mostra que a soma das raízes é zero,
pois as raízes são simétricas duas a duas5.
Podemos ver isso fazendo x1 =
√
y1, x2 = −
√
y1, x3 =
√
y2
e x4 = −
√
y2. De fato:
x1 + x2 + x3 + x4 =
√
y1 + (−
√
y1) +
√
y2 + (−
√
y2)
Ou seja, x1 + x2 + x3 + x4 = 0.
Dá para verificar também que a soma dos quadrados das
raízes reais S′ é igual − 2ba .
Claro que estamos pensando em ∆ ≥ 0 e que, tanto y1
quanto y2 são maiores ou iguais a zero. Mas no caso em
que ∆ < 0 não haverá raízes reais. Para o caso em que um
dos valores de y é negativo, a solução correspondente a este
valor em x não será real e por aí vai. Basta uma análise com
calma.
De maneira também simples, é possível ver que o produto
das raízes reais6 será ca .
5Quem já estudou polinômios pode usar a relação de Girard para
confirmar este fato!
6A ideia também valerá para raízes não reais, mas não entraremos
nesta discussão aqui.
43 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Não queremos avançar muito neste assunto, mas já é possível
ver que há alguns aprendizados que podem ser aproveitados.
Assim, há outros problemas que tem esse mesmo tratamento
de substituição de variável como, por exemplo, as equações
trigonométricas, entre outras.
Veja a equação sen2 x− 32 ·senx+
1
2 = 0; se fizermos senx = y,
teremos y2− 32 ·y+
1
2 = 0. De fato, uma equação do segundo
grau em y.
Exemplo: Resolva a equação x4 − 13x2 + 36 = 0, em R.
Fazendo y = x2, ficamos com y2 − 13y + 36 = 0. Cujas
raízes são y = 9 e y = 4. Portanto, teremos x = ±3 ou
x = ±2. Assim, veja que a soma das raízes é:
S = 2 + (−2) + 3 + (−3) = 0
e o produto é
P = 2 · (−2) · 3 · (−3) = 36 = 36
1
O interessante é a soma dos quadrados das raízes S′ é:
S′ = 22 + (−2)2 + 32 + (−3)2 = 26 = −2 · (−13)
1
1.6.2 Funções Quadráticas
Uma função quadrática é uma função de R em R dada por
f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ R e a 6= 0. Assim, se
queremos encontrar, por exemplo, um valor de x para uma
Equações do 2o. Grau 44
dada imagem f(x) estaremos resolvendo, na verdade, um
problema do segundo grau.
Exemplo: Considere que uma função real f : R → R é
dada por f(x) = x2−5x+6 e tem uma imagem y = 2. Para
que valor (ou valores) de x isto ocorre?
Teremos x2 − 5x+ 6 = 2, ou seja x2 − 5x+ 4 = 0. Usando
a fórmula, vemos que isto ocorre para x = 1 ou para x = 4.
Portanto, excluindo-se a teoria de função, o que temos é
uma equação do segundo grau, na qual estamos calculando
suas soluções reais já que a função tem como domínio o
conjunto R.
1.6.3 Equações Fracionárias
Para exemplificar, considere resolver a seguinte equação:
1
x− 1
+
1
x− 2
=
5
6
Em primeiro lugar, x 6= 1 e x 6= 2, o que, por si só já faz
com que estejamos em um contexto um pouco diferente das
equações quadráticas. Além disso, à primeira vista, pode
não parecer um problema que envolve uma equação quadrá-
tica. Mas veja:
x− 2 + x− 1
(x− 1)(x− 2)
=
5
6
Resultando em:
6(2x− 3) = 5(x− 1)(x− 2)
Daí:
5x2 − 27x+ 28 = 0
45 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Que, agora sim, é equação do segundo grau7. Calculando o
discriminante, teremos:
∆ = (−27)2 − 4 · 5 · 28 = 729− 560 = 169
Então:
x =
−(−27)±
√
169
2 · 5
Portanto x1 = 4 ou x2 = 75 , não acredita? Confere lá.
1.6.4 Sistemas e Problemas
Considere a seguinte situação:
Uma torneira enche um tanque que estava com-
pletamente vazio em algumas horas.
Outra torneira enche o mesmo tanque (inicial-
mente vazio) em 6 horas a mais que a primeira
e, as duas juntas, enchem o tanque desde vazio
até a capacidade máxima em 2 horas a menos do
que a torneira “mais rápida” o faria “sozinha”.
Quanto tempo cada torneira leva pra encher o
tanque?
Vamos supor que t é o tempo que a primeira torneira leva
pra encher o tanque. Para a outra torneira, teremos t+ 6 e,
para as duas, t− 2. Todos os tempos estão em horas.
Vamos chamar de vazão L a razão entre o volume v des-
pejado pela torneira e o intervalo ∆t considerado, isto é,
7Só não esqueça que precisamos manipular algebricamente para che-
gar até aqui.
Equações do 2o. Grau 46
L = v∆t . Dada a informação do problema, sendo V o vo-
lume total do tanque considerado, teremos L1 = Vt para a
primeira torneira e L2 = Vt+6 para a segunda torneira.
Obviamente, para as duas juntas, teremos uma vazão to-
tal L = L1 + L2. Além disso, L = Vt−2 , ficando com:
V
t− 2
=
V
t
+
V
t+ 6
Como V 6= 0, podemosdividir toda a expressão por V :
1
t− 2
=
1
t
+
1
t+ 6
Usando o mínimo múltiplo comum entre t e t+ 6, teremos:
1
t− 2
=
t+ 6 + t
t(t+ 6)
⇒ t(t+ 6) = (2t+ 6)(t− 2)
Resultando em:
t2 − 4t− 12 = 0
Cujas soluções são t = 6 h e t = −2 h, esta última não
convém, já que t > 0.
Isto só vem a confirmar que o problema não trata exclusiva-
mente de uma equação do segundo grau, visto que ∆ > 0 e
deveríamos ter duas raízes reais e distintas, mas temos ape-
nas um valor no conjunto solução.
Assim, as torneiras levam 6 h e 12 h cada uma.
1.7 Considerações Finais
Bom, chegamos ao fim. Não do assunto, mas do que quería-
mos tratar neste material. Considero, de verdade, bastante
47 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
abrangente para a maioria dos estudantes do ensino médio
brasileiro.
Tratamos da definição, dos tipos (completa e incompleta),
da fórmula de resolução e das operações com as raízes, além
(claro) dos tipos de raízes de acordo com o discriminante da
equação.
No final, falamos sobre problemas que recaem em equações
do segundo grau e o melhor: com exemplos!
Espero que este material tenha te ajudado a saber um pouco
mais sobre o assunto e a pesquisar ainda mais sobre ele, pois
certamente (e nem de longe) ele está esgotado.
@def.preparatorio